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1、常数函数与幂函数的导数 一、选择题 1设函数0()f xx在可导，则000()(3)limtf xtf xtt（）A0()fx B02()fx C04()fx D不能确定 2（20XX 年浙江卷）设()fx是函数()f x的导函数，将()yf x和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）3（20XX 年江西卷）设函数()f x是R上以 5 为周期的可导偶函数，则曲线()yf x在5x 处的切线的斜率为（）15 0 15 5 4已知函数xxf)(，在0 x处函数极值的情况是（）A没有极值 B有极大值 C有极小值 D极值情况不能确定 5曲线321xy 在点41,8R的切线方程是（
2、）A02048yx B48200 xy C48200 xy D4200 xy 6已知曲线)1000)(100(534002xxxy在点 M 处有水平切线，则点 M 的坐标是（）A（-15，76）B（15，67）C（15，76）D（15，-76）7已知函数xxxfln)(，则（）A在),0(上递增 B在),0(上递减 C在e1,0上递增 D在e1,0上递减 8 （20XX 年 福 建 卷）已 知 对 任 意 实 数x，有()()()()fxf xgxg x，且0 x 时，()0()0fxg x，则0 x 时（）A()0()0fxg x，B()0()0fxg x，C()0()0fxg x，D()0
3、()0fxg x，二、填空题 9函数53)(23xxxf的单调递增区间是_ 10若一物体运动方程如下：)2()3()3(329)1()30(2322tttts 则此物体在1t和3t时的瞬时速度是_ 11曲线xxy23在点（1，1）处的切线的倾斜角是_ y x O y x O y x O y x O A B C D 12已知cxxf2)(，且)1()()(2xfxffxg，设)()()(xfxgx，)(x在)1,(上是减函数，并且在（1，0）上是增函数,则=_ 13（20XX 年湖北卷）半径为 r 的圆的面积 S(r)r2,周长 C(r)=2r，若将 r 看作(0，)上的变量，则(r2)2r 1
4、，1式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R的球，若将 R 看作(0，)上的变量，请你写出类似于1的式子：2,2式可以用语言叙述为：14（20XX 年江苏卷）已知函数3()128f xxx在区间 3,3上的最大值与最小值分别为,M m，则Mm .三、解答题 15（1）求曲线122xxy在点（1，1）处的切线方程；（2）运动曲线方程为2221tttS，求 t=3 时的速度.16.设函数()f x是定义在1，0）（0，1上的奇函数，当 x1，0）时，21()2f xaxx（aR).（1）当 x(0，1时，求()f x的解析式；（2）若 a1，试判断()f x在（0，1
5、）上的单调性，并证明你的结论；（3）是否存在 a，使得当 x（0，1）时，f(x)有最大值6.17函数)(xf 对一切实数yx,均有xyxyfyxf)12()()(成立，且0)1(f，（1）求)0(f的值；（2）当102x时，()32f xxa恒成立，求实数a的取 值 范围 18（20XX 年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如右图所示）。试 问 当帐篷的顶点 O 到底面,中心1o的距离为多少时，帐篷的体积最大？19（20XX年天津卷）已知函数 cos163cos3423xxxf，其中,Rx为参数，且20（1）当时0cos，判
6、断函数 xf是否有极值；（2）要使函数 xf的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数 xf在区间aa,12 内都是增函数，求实数a的取值范围 20.（20XX 年广东高考压轴题）已知函数2()1f xxx，,是方程 f(x)=0 的两个根()，()fx是 f(x)的导数；设11a，1()()nnnnf aaafa（n=1,2,）（1）求,的值；（2）证明：对任意的正整数 n，都有naa；（3）记lnnnnabaa（n=1,2,），求数列bn的前 n 项和 Sn.O O 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B C
7、A C D B 二、填空题 9)0,(与),2(100 11.43 124.13V球343R，又32443RR（）故2式可填32443RR（），用语言叙述为“球的体积函数的导数等于球的表面积函数.”1432 三、解答题 15.分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数 y=f(x)在0 x处的导数就是曲线 y=f(x)在点),(00yxp处的切线的斜率。瞬时速度是位移函数 S(t)对时间的导数.解：（1）222222)1(22)1(22)1(2xxxxxxy，0422|1xy，即曲线在点（1，1）处的切线斜率 k=0.因此曲线122xxy在（1，1）处的切线方程为 y=1.（2）)2(
8、122tttS tttttttt4214)1(23242.2726111227291|3tS.16.（1）解：设 x(0，1，则x1，0)，f(x)=2ax+21x，f(x)是奇函数.f(x)=2ax21x，x(0，1.（2）证明：f(x)=2a+)1(2233xax，a1，x(0，1，31x1，a+31x0.即 f(x)0.f(x)在（0，1上是单调递增函数.（3）解：当 a1 时，f(x)在（0，1上单调递增.f(x)max=f(1)=6，a=25(不合题意，舍之），当 a1 时，f(x)=0，x=31a.如下表：fmax(x)=f(31a)=6，解出 a=22.x=22(0，1).x（，
9、31a）31a（31a，+）()fx+0 ()f x 最大值 存在 a=22，使 f(x)在（0，1）上有最大值6.17.（）因为xyxyfyxf)12()()(,令0,()(0)(1)yf xfxx，再令1,(1)(0)2,(0)2xfff.（）由知()(1)2f xxx,即2()2f xxx.由()32f xxa恒 成 立，等 价 于2213()231()24af xxxxx 恒 成 立，即2max13()24ax 当102x时，22max1313()(0)12424x 故(1,)a 18.解：设 OO1为xm，则41 x.由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3xxx，（m）故底
10、面正六边形的面积为：(43622)28xx=)28(2332xx，（2m）帐篷的体积为：)28(233V2xxx）（1)1(31x)1216(233xx（3m）求导得)312(23V2xx）（.令0V）（x，解得2x（不合题意，舍），2x，当21 x时，0V）（x，）（xV为增函数；当42 x时，0V）（x，）（xV为减函数.当2x时，）（xV最大.答：当 OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m.19.（）解：当cos0时，3()4f xx，则()f x在(,)内是增函数，故无极值.（）解：2()126 cosfxxx，令()0fx，得12cos0,2xx.由（），只需分下面两种
11、情况讨论.当cos0时，随 x 的变化()fx的符号及()f x的变化情况如下表：x(,0)0 cos(0,)2 cos2 cos(,)2()fx+0-0+()f x 极大值 极小值 因此，函数()f x在cos2x处取得极小值cosf()2，且 3cos13()cos2416f.要使cos()02f，必有213cos(cos)044，可得30cos2.由于30cos2，故3116226或 当时cos0，随 x 的变化，()fx的符号及()f x的变化情况如下表：x cos(,)2 cos2 cos(,0)2 0(0,)()fx+0-0+()f x 极大值 极小值 因此，函数()0f xx 在
12、处取得极小值(0)f，且3(0)cos.16f 若(0)0f，则cos0.矛盾.所以当cos0时，()f x的极小值不会大于零.综上，要使函数()f x在(,)内的极小值大于零，参数的取值范围为311(,)(,)6 226.（III）解：由（II）知，函数()f x在区间(,)与cos(,)2内都是增函数.由题设，函数()(21,)f xaa在内是增函数，则 a 须满足不等式组 21,0.aaa 或 21,121cos.2aaa 由（II），参数时311(,)(,)6 226 时，30cos2。要使不等式121cos2a 关于参数恒成立，必有3214a，即438a.综上，解得0a 或4318a
13、.所以a的取值范围是43(,0),1)8.20解析：（1）2()1f xxx，,是方程 f(x)=0 的两个根()，1515,22 ；（2）()21fxx，21115(21)(21)12442121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa=5114(21)4212nnaa，11a，有基本不等式可知25102a（当且仅当1512a时取等号），25102a，同样3512a，512na（n=1,2,），（3）1()()(1)2121nnnnnnnnaaaaaaaa，而1，即1 ，21()21nnnaaa，同理21()21nnnaaa，12nnbb，又113535lnln2ln1235b.352(21)ln2nnS.