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1、20092010 年高一数学备课组复习必修 14 讲义 第十九节 圆的方程、直线与圆的位置关系 一、内容提示：1.圆的方程：圆的标准方程：222()()xaybr（圆心(,)a b，半径为r）圆的一般方程：220 xyDxEyF（其中2240DEF），圆心为点)2,2(ED，半径2422FEDr（）当2240DEF时，方程表示一个点，这个点的坐标为(,)22DE（）当2240DEF时，方程不表示任何图形。2.直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种（）若22BACBbAad，dr相离，即直线与圆没有公共点；（）dr相切，即直线与圆只有一个公共点；（）dr相交，即直线与圆有两
2、个公共点。3.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为12,O O，半径分别为12,r r，dOO21。12drr外离；12drr外切；1212rrdrr相交；12drr内切；120drr内含。二、例题分析：【例 1】求经过原点，且过圆0216822yxyx和直线50 xy的两个交点的圆的方程。【例 2】已知直线l:052yx与圆C:36)1()7(22yx.（1）判断直线l圆的位置关系;（2）求直线l被圆C所截得的弦长.三、典题精练：1.圆22(2)5xy关于原点(0,0)P对称的圆的方程为()A.22(2)5xy B.22(2)5xy C.22(2)(2)5xy D.22(2)5xy 2.
3、若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A.03 yx B.032 yx C.01 yx D.052 yx 3.圆012222yxyx上的点到直线2 yx的距离最大值是()A.2 B.12 C.221 D.221 4.圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为()A.023yx B.043yx C.043yx D.023yx 5.圆心在直线270 xy上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)AB,则圆C的方程 为_.6.从点4,5P（）向圆（x2）2y24 引切线，求切线方程。7.自33A（，）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆
4、 C：224470 xyxy 相切，求光线l所在直线方程。8.求经过直线l：240 xy及圆 C：222410 xyxy 的交点，且面积最小的圆的方程。9.已知圆C和y轴相切，圆心在直线03 yx上，且被直线xy 截得的弦长为72，求圆C的方程。四、方法反馈：1、在求解有关直线与圆的位置关系的问题时，要充分利用圆的几何性质，从而达到简化运算的目的：(1)当圆与直线l相离时，圆心到l的距离大于半径；过圆心且垂直于l的直线与圆的两个交点，分别是圆上的点中到l的距离的最大、最小的点。(2)当圆与直线l相切时，圆心到l的距离等于半径；圆心与切点的连线垂直于l；过圆外一点可作两条圆的切线，且此两切线长相
5、等。(3)当圆与直线l相交时，圆心到l的距离小于半径，过圆心且垂直于l的直线平分l被圆截得的弦；连结圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的弦是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的弦是过这点的直径。2、求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点在圆上还是在圆外，再设切线方程为点斜式，用圆心到直线的距离等于半径或利用=0 求出切线的斜率，从而求得切线的方程，但要注意有时在求过圆外一点的切线方程时，其两条切线中往往有一条切线的斜率不存在，由此而产生漏解。3、已知圆的切线的斜率求圆的切线方程，可设切线方程为斜截式，具体操作方法同上。但此种情形的圆的切线应有两条。五、答案参考：【例 1】
6、解法一：由050216822yxyxyx，求得交点2,3或4,1 设所求圆的方程为220 xyDxEyF(0 0)(2 3)(41)，三点在圆上，04116032940FEDFEDF，解得199,055DEF 所求圆的方程为：22199055xyxy 解法二：设所求圆的方程为228-621-50 xyxyx y 将原点(0,0)代入上述方程得215，所求圆的方程为：22199055xyxy【例 2】（1）解法一:由方程组05236)1()7(22yxyx ()消去y后整理，得 0615052xx,012806154)50(2,方程组()有两组不同的实数解,即直线l与圆C相交.解法二:圆心(7,
7、1)到直线l的距离为 52)2(15127122d,因6 rd，故直线l与圆C相交.（2）解法一:由方程组05236)1()7(22yxyx，得0615052xx，设直线l与圆 C 的两交点为),(11yxA、),(22yxB，则561,102121xxxx 212|1ABxxk212125()482xxx x 直线l被圆C所截得的弦长为8。解法二:圆心(7,1)到直线l的距离为52)2(15127122d,又圆的半径r=6，直线l被圆C所截得的弦长为 2228rd 三、典题精练：1.A 解析：(,)x y关于原点(0,0)P得(,)xy，则得22(2)()5xy ，即22(2)5xy。2.A
8、 解析：设圆心为(1,0)C，则,1,1,12CPABABCP kkyx ,即03 yx。3.B 解析：圆心为(1,1),1,Cr 圆心到直线的距离为2，max12d。4.D 解析：圆2224xy（）的圆心为(2,0)C，则3PCk，133lPCkk,所以切线方程为：33(1)3yx，即 023yx。5.22(2)(3)5xy 解析：圆心既在线段AB的垂直平分线即3y ，又在 270 xy上，即圆心为(2,3)，5r，所以圆的方程为22(2)(3)5xy。6.解：当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为5(4)yk x 即540kxyk ，又圆心坐标为(2,02r）,因为圆心到切线的距
9、离等于半径，即2021,21|4502|2kkkk 所以切线方程为2120160 xy 当切线的斜率不存在时，也符合条件，所以还有一条切线是4x。所以，所求的切线方程为：2120160 xy 或4x。7.解：圆 C 的方程为：1)2()2(22yx，它关于x轴对称圆C的方程为：1)2()2(22yx，设光线l所在的直线方程为：33yk x，则光线l所在的直线必与圆C相切，故11|55|2kk，即01225122kk，解得4334kk或，光线l所在直线方程为0334 yx或0343yx 8.解：设所求圆的方程为0)42(14222yxyxyx，即041)4()22(22yxyx，则所求圆的圆心为)22,1(。04)22()1(2，解得58，所求圆的方程为03712265522yxyx.9.解：设圆心为(3,),t t由于圆C和y轴相切，半径为3rt，令圆心到直线的距离为d，则322ttdt，而22222(7),927,1rdttt 22(3)(1)9xy或22(3)(1)9xy