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1、高三数学暑期复习综合能力题 第 4 讲 三角函数的图象与性质 题型预测 我们在中学阶段所学习的函数的各种性质，如单调性、奇偶性、周期性等，在三角函数中都可以得到充分的体现，而且，不仅仅如此，三角函数还具有对称、有界等其他性质因此，三角函数的图象和性质就成为研究函数性质时的典型例证从这样一个角度出发，熟练掌握和运用三角函数的图象和性质，不仅是本章的要求，而且有助于我们对函数综合问题有进一步的理解 范例选讲 例1 已知函数 bxaxxxfcos6sin6sin（Rba,，且均为常数），（1）求函数 xf的最小正周期；（2）若 xf在区间0,3上单调递增，且恰好能够取到 xf的最小值 2，试求ba,
2、的值 讲解：研究三角函数的性质（如周期、最值、单调性、奇偶性等）时，首先应该对所给的函数关系式进行化简，最好化为一个角（形如wx）、一种三角函数的形式 （1）bxaxxxfcos6sin6sin bxaxcos6cossin2 bxaxcossin3bxasin32 （其中由下面的两式所确定：33cos,3sin22aaa）所以，函数 xf的最小正周期为2 （2）由（1）可知：xf的最小值为ba32，所以，232ba 另外，由 xf在区间0,3上单调递增，可知：xf在区间0,3上的最小值为3f，所以，3f=232ba 解之得：2,1ba 点评：三角函数的单调性、周期是本章考察的重点三角函数的值
3、域经常与二次函数等其它问题综合，考察函数在确定区间上的最值 例2 设Rx，试比较 xf=xcoscos与 xg=xsinsin的大小关系 讲解 观察所给的两个函数，它们均是两个三角函数的复合函数，因此，我们不难想到：它们可能仍然具备三角函数的某些性质，如单调性、周期性、奇偶性等 初步判断便可以确定：xf、xg都是周期函数，且最小正周期分别为、2所以，只需考虑,x的情形 另外，由于 xf为偶函数，xg为奇函数，所以，很自然的可以联想到：能否把需考虑的x的范围继续缩小？事实上，当0,x时，xf0，xg0恒成立，此时，xf xg 下面，我们只需考虑,0 x的情形 如果我们把 xf看作是关于xcos的
4、余弦函数，把 xg看作是关于xsin的正弦函数，那么这两个函数既不同名，自变量也不相同，为了能进行比较，我们可以作如下恒等变换，使之成为同名函数，以期利用三角函数的单调性 xxsin2cossinsin 至此为止，可以看出：由于xsin2和xcos同属于余弦函数的一个单调区间，（即xsin2，xcos,0），所以，只需比较xsin2与xcos的大小即可 事实上，（xsin2）xcos=xsin2xcos=4sin22x022 所以，利用余弦函数在,0上单调递减，可得：xsinsinxcoscos也即 xg xf 综上，xg xf 点评 本题好在充分地运用了正余弦函数的值域、周期性、奇偶性、单调
5、性等性质，对于训练学生思维、加深对这些性质的理解、以及学习利用函数的性质去解决问题有很大的帮助是一道很有训练价值的好题 高考真题 1（1998 年全国高考）关于函数f(x)4sin(2x3)(xR)，有下列命题:由 f(1x)f(2x)0 可得 x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可以改写成 y4cos(2x6)；yf(x)的图像关于点(6，0)对称；yf(x)的图像关于直线 x6对称.其中正确的命题序号是_.(注:把你认为正确的命题序号都填上)2（1999 年全国高考）函数 0sinxMxf在区间ba,上是增函数，且 ,MbfMaf则函数 xMxgcos在ba,上（A）是增函数 （B）是减函数（C）可以取得最大值 M （D）可以取得最小值M 3（2000 年全国高考）已知函数1cossin23cos212xxxy，Rx（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由Rxxy sin的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？答案与提示：1.2.（C）3.（1）Zkkxx,6；（2）略