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1、 第 2 课时 三角函数的图象与性质(二) 考点一 三角函数的周期性与奇偶性(基础型) 复习指导| 借助正弦、余弦、正切的图象，了解三角函数的奇偶性及周期性 核心素养：逻辑推理、数学运算 (1)函数 f(x)2cos2x41 是( ) A最小正周期为 的奇函数 B最小正周期为 的偶函数 C最小正周期为2的奇函数 D最小正周期为2的偶函数 (2)(2020 湖北宜昌联考)已知函数 y2sin(x)(0)为偶函数，其图象与直线 y2 的某两个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x2x1|的最小值为 ，则( ) A2，2 B12，2 C12，4 D2，4 【解析】 (1)因为 f(x)2cos2x41
2、 cos2x4cos2x2sin 2x. 所以 T22，f(x)sin 2x 是奇函数 故函数 f(x)是最小正周期为 的奇函数 (2)因为函数 y2sin(x)的最大值为 2， 且其图象与直线 y2 的某两个交点的横坐标分别为 x1，x2，|x2x1|的最小值为 ，所以函数 y2sin(x)的最小正周期是 . 由2 得 2. 因为函数 y2sin(x)为偶函数，所以 2k，kZ. 又 0，所以 2，故选 A 【答案】 (1)A (2)A (1)奇偶性的判断方法： 三角函数中奇函数一般可化为 yAsin x 或 yAtan x 的形式， 而偶函数一般可化为 yAcos xb 的形式 (2)周期
3、的计算方法：利用函数 yAsin(x)(0)，yAcos(x)(0)的最小正周期为2，函数 yAtan(x)(0)的最小正周期为求解 1下列函数中，最小正周期为 的奇函数是( ) Aysin2x2 Bycos2x2 Cysin 2xcos 2x Dysin xcos x 解析：选 Bysin2x2cos 2x 是偶函数，不符合题意；ycos2x2sin 2x是 T 的奇函数，符合题意；同理 C，D 均不是奇函数 2(2020 石家庄市质量检测)设函数 f(x)sinx4 0，|2的最小正周期为 ，且 f(x)f(x)，则( ) Af(x)在0，2上单调递增 Bf(x)在2，2上单调递减 Cf(
4、x)在0，2上单调递减 Df(x)在2，2上单调递增 解析：选 Af(x)sinx4，因为 f(x)的最小正周期为 ，所以 2，所以 f(x)sin2x4.f(x)f(x)，即 f(x)为偶函数，所以 4k2(kZ)，所以 k34(kZ)因为|2，所以 4，所以 f(x)cos 2x，所以 f(x)在0，2上单调递增，在2，0 上单调递减，故选 A 考点二 三角函数的对称性(基础型) 复习指导| 正弦、余弦函数图象的对称轴与 x 轴交点的横坐标均在三角函数取最值的地方(即波峰和波谷)取得，对称中心的横坐标均在三角函数值为 0 的地方(即平衡位置)取得 函数 f(x)Asin(x)A0，0，|2
5、的图象关于直线 x3对称，它的最小正周期为 ，则函数 f(x)图象的一个对称中心是( ) A3，1 B12，0 C512，0 D12，0 【解析】 由题意可得2，所以 2， 可得 f(x)Asin(2x)， 再由函数图象关于直线 x3对称， 故 f3Asin23 A， 故可取 6. 故函数 f(x)Asin2x6，令 2x6k，kZ， 可得 xk212，kZ，故函数的对称中心为k212，0 ，kZ. 所以函数 f(x)图象的一个对称中心是12，0 . 【答案】 B 三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 (1)思路： 函数 yAsin(x)图象的对称轴和对称中心可结合 ysin x
6、图象的对称轴和对称中心求解 (2)方法： 利用整体代换的方法求解， 令 xk2， kZ， 解得 x（2k1）22，kZ， 即对称轴方程； 令 xk， kZ， 解得 xk， kZ， 即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)对于 yAcos(x)，yAtan(x)，可以利用类似方法求解(注意 yAtan(x)的图象无对称轴) 1(2019 高考全国卷)若 x14，x234是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的极值点，则 ( ) A2 B32 C1 D12 解析： 选 A 依题意得函数 f(x)的最小正周期 T22(344)， 解得 2， 选 A 2已知函数 f(x)|sin x|cos x|，则下列
7、说法错误的是( ) Af(x)的图象关于直线 x2对称 Bf(x)的周期为2 C(，0)是 f(x)的一个对称中心 Df(x)在区间4，2上单调递减 解析：选 Af(x)|sin x|cos x|sin xcos x|12 |sin 2x|，则 f212|sin |0，则 f(x)的图象不关于直线 x2对称，故 A 错误；函数周期 T12222，故 B 正确；f()12|sin 2|0，则(，0)是 f(x)的一个对称中心，故 C 正确；当 x4，2时，2x2， ，此时 sin 2x0，且 sin 2x 为减函数，故 D 正确 考点三 三角函数的图象与性质的综合问题(综合型) 复习指导| 此类
8、问题常与三角恒等变换综合考查，其思路为：先将三角函数式转化为 yAsin(x)的形式，再求其周期、单调区间、最值等 已知函数 f(x)sin(2x) sin32x 3cos2x 3. (1)求 f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程； (2)当 x0，712时，求 f(x)的最小值和最大值 【解】 (1)由题意， 得 f(x)(sin x)(cos x) 3cos2x 3sin xcos x 3cos2x 312sin 2x32(cos 2x1) 312sin 2x32cos 2x32sin2x332， 所以 f(x)的最小正周期 T22； 令 2x3k2(kZ)，则 xk2512(kZ)，
9、故所求图象的对称轴方程为 xk2512(kZ) (2)当 0 x712时，32x356， 由函数图象(图略)可知，32sin2x31，即 0sin(2x3)322 32. 故 f(x)的最小值为 0，最大值为2 32. 解决三角函数图象与性质综合问题的方法 先将 yf(x)化为 yasin xbcos x 的形式， 然后用辅助角公式化为 yAsin(x)的形式，再借助 yAsin(x)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题 已知函数 f(x)2sin2x4. (1)求函数的最大值及相应的 x 值的集合； (2)求函数 f(x)的图象的对称轴方程与对称中心 解：(1)当 sin2x41
10、 时，2x42k2，kZ， 即 xk38，kZ，此时函数取得最大值为 2； 故 f(x)的最大值为 2，使函数取得最大值的 x 的集合为xx38k，kZ . (2)由 2x42k，kZ， 得 x3812k，kZ. 即函数 f(x)的图象的对称轴方程为 x3812k，kZ. 由 2x4k，kZ 得 x812k，kZ， 即对称中心为812k，0 ，kZ. 基础题组练 1函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为( ) A2 B23 C D2 解析：选 C因为 y232sin 2x12cos 2x 2sin2x6，所以 T22. 2f(x)tan xsin x1，若 f(b)2，则 f(b
11、)( ) A0 B3 C1 D2 解析：选 A因为 f(b)tan bsin b12， 即 tan bsin b1. 所以 f(b)tan(b)sin(b)1 (tan bsin b)10. 3 若8，0 是函数 f(x)sin xcos x 图象的一个对称中心， 则 的一个取值是( ) A2 B4 C6 D8 解析：选 C因为 f(x)sin xcos x 2sinx4， 由题意，知 f8 2sin840，所以84k(kZ)，即 8k2(kZ)，当 k1 时，6. 4设函数 f(x)cosx3，则下列结论错误的是( ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线 x83对称 Cf(
12、x)的一个零点为 x6 Df(x)在2， 上单调递减 解析：选 D函数 f(x)cosx3的图象可由 ycos x 的图象向左平移3个单位得到，如图可知，f(x)在2， 上先递减后递增，D 选项错误 5已知函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期为 4，则该函数的图象( ) A关于点3，0 对称 B关于点53，0 对称 C关于直线 x3对称 D关于直线 x53对称 解析：选 B函数 f(x)2sinx6(0)的最小正周期是 4，而 T24，所以 12，即 f(x)2sin12x6.函数 f(x)的对称轴为x262k，解得 x232k(kZ)；令 k0 得 x23.函数 f(x)的对称中心的
13、横坐标为x26k，解得 x2k13(kZ)，令 k1 得f(x)的一个对称中心53，0 . 6若函数 ycosx6(N*)图象的一个对称中心是6，0 ，则 的最小值为_ 解析：由题意知66k2(kZ)6k2(kZ)，又 N*，所以 min2. 答案：2 7(2020 无锡期末)在函数ycos|2x|；y|cos 2x|；ycos2x6；ytan 2x中，最小正周期为 的所有函数的序号为_ 解析：ycos|2x|cos 2x，最小正周期为 ；ycos 2x，最小正周期为 ，由图象知 y|cos 2x|的最小正周期为2；ycos2x6的最小正周期 T22；ytan 2x 的最小正周期 T2.因此的
14、最小正周期为 . 答案： 8已知函数 f(x)2sin(x6)1(xR)的图象的一条对称轴为 x，其中 为常数，且 (1，2)，则函数 f(x)的最小正周期为_ 解析： 由函数 f(x)2sin(x6)1(xR)的图象的一条对称轴为 x， 可得 6k2，kZ， 所以 k23，又 (1，2)，所以 53，从而得函数 f(x)的最小正周期为25365. 答案：65 9已知函数 f(x)2cos2x62sinx4sinx4.求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称中心 解：因为 f(x)2cos2x62sinx4sinx4 cos2x312sinx4sinx24 cos2x32sinx4cosx41
15、 12cos 2x32sin 2xsin2x21 32sin 2x12cos 2x1 sin2x61， 所以 f(x)的最小正周期为22，图象的对称中心为12k2，1 ，kZ. 10已知函数 f(x)sin(x)023的最小正周期为 . (1)求当 f(x)为偶函数时 的值； (2)若 f(x)的图象过点6，32，求 f(x)的单调递增区间 解：由 f(x)的最小正周期为 ，则 T2，所以 2， 所以 f(x)sin(2x) (1)当 f(x)为偶函数时，f(x)f(x) 所以 sin(2x)sin(2x)， 展开整理得 sin 2xcos 0， 已知上式对xR 都成立， 所以 cos 0.因
16、为 023，所以 2. (2)因为 f632，所以 sin26 32， 即332k 或3232k(kZ)， 故 2k 或 32k(kZ)， 又因为 023，所以 3， 即 f(x)sin2x3， 由22k2x322k(kZ)得 k512xk12(kZ)， 故 f(x)的单调递增区间为k512，k12(kZ) 综合题组练 1(多选)已知函数 f(x)tan12x6，则下列说法错误的是( ) Af(x)的周期是2 Bf(x)的值域是y|yR，且 y0 C直线 x53是函数 f(x)图象的一条对称轴 Df(x)的单调递减区间是2k23，2k3，kZ 解析：选 ABC函数 f(x)tan12x6的周期
17、 T122，故 A 错误；函数 f(x)tan12x6的值域为0，)，故 B 错误； 当 x53时，12x623k2，kZ，即 x53不是 f(x)图象的对称轴，故 C 错误； 令 k212x6k，kZ，解得 2k230，0)为偶函数，且其图象的两条相邻对称轴间的距离为2，则 f8的值为_ 解析： 由于 f(x) 3sin(x)cos(x)2sinx6为偶函数， 可得 6k 2，kZ，即 k23，kZ，由于 00，xR，且 f()12，f()12.若|的最小值为34，则 f34_，函数 f(x)的单调递增区间为_ 解析：函数 f(x)sinx612，0，xR，由 f()12，f()12，且|的
18、最小值为34，得T434，即 T32，所以 23.所以 f(x)sin23x612.则 f34sin312312.由22k23x622k，kZ，得23kx3k，kZ，即函数 f(x)的单调递增区间为23k，3k ，kZ. 答案：312 23k，3k ，kZ 5已知函数 f(x)sin xcos x(0)的最小正周期为 . (1)求函数 yf(x)图象的对称轴方程； (2)讨论函数 f(x)在0，2上的单调性 解：(1)因为 f(x)sin xcos x 2sinx4，且 T，所以 2.于是，f(x) 2sin2x4.令 2x4k2(kZ)，得 xk238(kZ)，即函数 f(x)图象的对称轴方
19、程为 xk238(kZ) (2)令 2k22x42k2(kZ)，得函数 f(x)的单调递增区间为k8，k38(kZ)注意到 x0，2，所以令 k0，得函数 f(x)在0，2上的单调递增区间为0，38；同理，其单调递减区间为38，2. 6已知函数 f(x)sin2x sin x 3cos2x32. (1)求 f(x)的最大值及取得最大值时 x 的值； (2)若方程 f(x)23在(0，)上的解为 x1，x2，求 cos(x1x2)的值 解：(1)f(x)cos xsin x32(2cos2x1) 12sin 2x32cos 2xsin2x3. 当 2x322k(kZ)，即 x512k(kZ)时，函数 f(x)取最大值，且最大值为 1. (2)由(1)知，函数 f(x)图象的对称轴为 x512k(kZ)， 所以当 x(0，)时，对称轴为 x512. 又方程 f(x)23在(0，)上的解为 x1，x2. 所以 x1x256，则 x156x2， 所以 cos(x1x2)cos562x2sin2x23， 又 f(x2)sin2x2323， 故 cos(x1x2)23.