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1、加强练(八)平面向量、复数 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 i 是虚数单位，若 abi(2i)2(a，bR)，则()Aa3，b4 Ba4，b4 Ca2，b1 Da2，b2 答案 A 解析 由题得 abi34i，则 a3，b4，故选 A.2(2021北京东城区一模)设 E 为ABC 的边 AC 的中点，BEmABnAC，则 m，n 的值分别为()A1，12 B.12，1 C12，1 D1，12 答案 A 解析 BE12(BABC)BABAAC2AB12AC，m1，n12.3(2021镇海中学模拟)已知复数
2、z 满足(12z)i10，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部是()A.12 B12 C.12i D12i 答案 B 解析 由(12z)i10 得 i2iz10，即 2iz1i，则复数 z1i2i（1i）（2i）2i（2i）22i412i2，则其虚部为12，故选B.4(2021重庆调研)已知向量 a(1，2)，b(1，0)，c(4，3)，且(ab)c，则实数()A.14 B.12 C1 D2 答案 D 解析 由题知 ab(1，2)，(ab)c4(1)320，2，故选 D.5(2021北京西城区二模)设向量 a，b 满足|a|2，|b|1，a，b60，则|atb|的取值范围是()A 2，)B
3、 3，)C 2，6 D 3，6 答案 B 解析|atb|（atb）2a22abtt2b242tt2（t1）23 3，当 t1 时取等号 6(2021温州中学模拟)若复数 z12i，z2cos isin(R)，其中 i 是虚数单位，则|z1z2|的最大值为()A.51 B.512 C.51 D.512 答案 C 解析 由题意可得|z1|5，|z2|1，所以|z1z2|z1|z2|51，故选 C.7已知平面向量 a，b 满足|a|1，|b|2，|ab|7，若对于任意实数 k，不等式|katb|1 恒成立，则实数 t 的取值范围是()A(，3)(3，)B.，3333，C(3，)D.33，答案 B 解
4、析 由题意可得|a|22ab|b|27，又|a|1，|b|2，所以 12ab47，即ab1.|katb|1 恒成立，即 k2|a|22ktabt2|b|21 恒成立，即 k22kt4t210 恒成立，则关于 k 的方程 k22tk4t210 的判别式 4t24(4t21)0，所以 t213，解得 t33或 t33，故选 B.8已知非零向量 a，b 满足|a|2|b|，且(ab)b，则 a 与 b 的夹角为()A.6 B.3 C.23 D.56 答案 B 解析 由(ab)b，可得(ab)b0，abb2.|a|2|b|，cosa，bab|a|b|b22b212.0a，b，a 与 b 的夹角为3.故
5、选 B.9 设长方形 ABCD 的边长分别是 AD1，AB2，点 P 是BCD(含边界)的动点，设APxAByAD，则 x2y 的取值范围为()A1，2 B1，3 C2，3 D0，2 答案 B 解析 取 AD 中点 E，APxAByADxAB2y12ADxAB2yAE，如图，连接 BE，当点 P 位于 B 点时，三点 B、E、P 共线，且APAB，即 x2y101，当点P 位于 C 点时，APACAB2AExAB2yAE，即 x2y123.10在ABC 中，P0是边 AB 上一定点，满足 P0B14AB，且对于边 AB 上任一点P，恒有PBPCP0BP0C，则()AABC90 BBAC90 C
6、ABAC DACBC 答案 D 解析 取 BC 边中点 D，由极化恒等式得PBPCPD214BC2，P0BP0CP0D214BC2，由PBPCP0BP0C，得PD2P0D2，即|PD|P0D|，D 到 AB 的最短距离为P0D，DP0AB，设 AB 的中点为 P，又 P0B14AB，DP0CP，CPAB，故 BCAC.二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分)11已知复数(a2i)(1i)的实部为 0，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是_ 答案 2 解析(a2i)(1i)a2(a2)i，因为其实部为 0，故 a2.12已知平面向量 a(2，1)
7、，b(1，x)，若 ab，则 x_；若 ab，则 x_ 答案 12 2 解析 由向量平行的充要条件可得 2x1(1)0，解得 x12；由向量垂直的充要条件得 21(1)x0，解得 x2.13(2021绍兴适考)已知 i 为虚数单位，复数 z 满足zi1i12i，则 z_，|z|_ 答案 32i 13 解析 由题得 z(1i)(12i)i32i，故|z|32（2）2 13.14(一题多解)(2021名校冲刺卷三)设点 O 是非直角ABC 的外接圆圆心，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对应的边，a6，b2 3，cos B32，则 sin C_，AOBC_ 答案 12 0 解析 由 cos B3
8、2可得 sin B12.由正弦定理得 sin Asin Bba32，则 A3或23，所以 sin C1(舍)或12.所以 BC6，A23，AOBCAO(ACAB)12(AC2AB2)12(b2c2)0.15(2021台州期末评估)如图，已知正方形 ABCD，点 E，F 分别为线段 BC，CD 上的动点，且|BE|2|CF|，设ACxAEyAF(x，yR)，则 xy 的最大值为_ 答案 212 解析 设正方形的边长为 1，|CF|a，则由|BE|2|CF|2a 得 0a12.以点 A 为坐标原点，AB，AD 所在的直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，C(1，1)，E(1，
9、2a)，F(1a，1)，则AC(1，1)，AE(1，2a)，AF(1a，1)，则由ACxAEyAF得x（1a）y1，2axy1，化简得xa2a22a1，y12a2a22a1，则 xy1a2a22a112（1a）11a212 22212，当且仅当2(1a)11a，即 a122时等号成立，所以xy 的最大值为212.16(2021新力量联盟期末)在ABC 中，ACBC1，AB 3，且CExCA，CFyCB，其中 x，y(0，1)，且 x4y1，若 M，N 分别为线段 EF，AB 的中点，当线段 MN 取最小值时，x_，y_ 答案 37 17 解析 连 接 CM，CN，如图所示 在等腰三角形 ABC
10、 中，ACBC1，AB 3，所以ACB120，所以CACB12.因为 CM 是CEF 的中线，所以CM12(CECF)12(xCAyCB)同理可得CN12(CACB)，所以MNCNCM12(1x)CA12(1y)CB，MN214(1x)212(1x)(1y)1214(1y)2.又 x4y1，所以MN2214y232y14，x，y(0，1)，故当 y17时，MN2有最小值，即 MN 取得最小值，此时 x14y错误!.17已知|a|b|1，向量 c 满足|c(ab)|ab|，则|c|的最大值为_ 答案 2 2 解析 由|c(ab)|ab|得向量 c 的终点的轨迹为以向量 ab 的终点为圆心，|ab|为半径的圆，则|c|的最大值为|ab|ab|，又因为|ab|ab|2（ab）2（ab）2 2（|a|22ab|b|2|a|22ab|b|2）2 2，当且仅当|ab|ab|，即 ab 时等号成立，所以|c|的最大值为 2 2.