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1、加强练(十二)平面解析几何 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2021温州适应性考试)双曲线 2y2x21 的一个顶点坐标是()A(2，0)B.22，0 C(0，2)D.0，22 答案 D 解析 双曲线 2y2x21 的标准方程为y212x21，则其顶点坐标为0，22，故选 D.2已知 04，则双曲线 C1：x2sin2y2cos21 与 C2：y2cos2x2sin21 的()A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 答案 D 解析 04，sin 0，b0)的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C
2、的离心率为()A2sin 40 B2cos 40 C.1sin 50 D.1cos 50 答案 D 解析 由题意可得batan 130，所以 e1b2a2 1tan21301sin2130cos21301|cos 130|1cos 50.故选 D.5已知 F1，F2分别为椭圆 C：x24y231 的左、右焦点，点 P 为椭圆 C 上的动点，则PF1F2的重心 G 的轨迹方程为()A.x236y2271(y0)B.4x29y21(y0)C.9x243y21(y0)Dx24y231(y0)答案 C 解析 依题意知 F1(1，0)，F2(1，0)，设 P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐
3、标关系可得xx0113，yy03 即 x03x，y03y，代入x204y2031，得重心 G 的轨迹方程为9x243y21(y0)6已知抛物线 y24x，过点 P(4，0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则 y21y22的最小值为()A12 B24 C16 D32 答案 D 解析 当直线的斜率不存在时，其方程为 x4，由x4，y24x，得 y14，y24，y21y2232.当直线的斜率存在时，设其方程为 yk(x4)，由y24x，yk（x4），得ky24y16k0，y1y24k，y1y216，y21y22(y1y2)22y1y216k23232，综上可知，y21y
4、2232.y21y22的最小值为 32.故选 D.7已知点 P 是椭圆x216y281(x0，y0)上的动点，F1，F2为椭圆的两个焦点，O 是原点，若 M 是F1PF2的角平分线上一点，且F1MMP，则|OM|的取值范围是()A0，3 B(0，2 2)C2 2，3)D0，4 答案 B 解析 采用特殊点法，当点 P 在椭圆短轴端点，垂足 M 与原点重合时，|OM|最小为 0，当点 P 在椭圆长轴端点，垂足 M 与 F1重合时，此时|OM|最大为|OF1|c2 2，但此时F1PF20，所以选 B.8(2020山东卷改编)已知曲线 C：mx2ny21，下列结论不正确的是()A若 mn0，则 C 是
5、椭圆，其焦点在 y 轴上 B若 mn0，则 C 是圆，其半径为 n C若 mn0，则 C 是双曲线，其渐近线方程为 ymnx D若 m0，n0，则 C 是两条直线 答案 B 解析 对于 A，当 mn0 时，有1n1m0，方程化为x21my21n1，表示焦点在 y轴上的椭圆，故 A 正确；对于 B，由 mn0，方程变形为 x2y21n，该方程表示半径为1n的圆，故 B错误；对于 C，由 mn0 知曲线表示双曲线，其渐近线方程为 ymnx，故 C 正确；对于 D，当 m0，n0 时，方程变为 ny21 表示两条直线，故 D 正确 9(2020天津卷)设双曲线 C 的方程为x2a2y2b21(a0，
6、b0)，过抛物线 y24x的焦点和点(0，b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行，另一条渐近线与 l 垂直，则双曲线 C 的方程为()A.x24y241 Bx2y241 C.x24y21 Dx2y21 答案 D 解析 由题意知抛物线的焦点为 F(1，0)，直线 l 的斜率 klb001bba，解得 a1.又ba(b)1，ba1，双曲线 C 的方程为 x2y21.故选 D.10(2021杭州质检)已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，抛物线 y22px(p0)的焦点为 F2.设两曲线的一个交点为 P，若PF2F1F216p2，则椭圆的离心率为()A.12
7、 B.22 C.34 D.32 答案 A 解析 设椭圆的焦点为 F1(c，0)，F2(c，0)，由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合得 p2c.由椭圆和抛物线的对称性不妨设点 P(x0，y0)位于第一象限，则由PF2F1F22c(cx0)16p223c2得 x023c，代入抛物线方程得 y2083c2.又因为点 P在椭圆上，则4c29a28c23b21，即 4b2c224a2c29a2b2，化简得 4e437e290.因为 0e0)经过点(3，4)，则 b_，该双曲线的渐近线方程是_ 答案 2 y 2x 解析 因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b
8、 2，即双曲线方程为x2y221，其渐近线方程为y 2x.12(2020新高考山东卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y24x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则|AB|_ 答案 163 解析 由题意得，抛物线焦点为 F(1，0)，设直线 AB 的方程为 y 3(x1)由y 3（x1），y24x，得 3x210 x30.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2103，所以|AB|x1x22163.13(2020浙江新高考仿真三)加斯帕尔蒙日是 19 世纪著名的几何学家，创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展 他给出了蒙日圆的定义，即“在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的
9、交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的算术平方根”已知椭圆方程为x25y241，写出该椭圆任意两条互相垂直的切线的交点形成的圆的方程_；过点(3，6)且与该圆相切的直线的一般方程为_ 答案 x2y29 x3 或 3x4y150 解析 由题意得椭圆的中心为(0，0)，长半轴为 5，短半轴为 2，则其蒙日圆的圆心为(0，0)，半径为543，所以所求圆的方程为 x2y29；当过点(3，6)的直线斜率不存在时，直线方程 x3 与圆相切；当过点(3，6)的直线斜率存在时，设其方程为 yk(x3)6，即 kxy3k60，则由直线与圆相切得|3k6|k213，解得 k34，则
10、所求直线方程为34xy33460，即 3x4y150.综上所述，过点(3，6)且与该圆相切的直线的一般方程为 x3 或 3x4y150.14(2021镇海中学模拟)已知点 A(4，4)在抛物线 y22px(p0)上，该抛物线的焦点为 F，过点 A 作直线 l：xp2的垂线，垂足为 B，则 p_，BAF 的平分线所在的直线方程为_ 答案 2 y12x2 解析 因为点 A(4，4)在抛物线 y22px(p0)上，所以 4224p，解得 p2，则抛物线的焦点为 F(1，0)，直线 l 为 x1，为抛物线的准线，则易得|AF|AB|5.设BAF 的平分线交 x 轴于点 C，则有ACFBACCAF，所以
11、|FC|AF|5，则点 C(4，0)，所以直线 AC 的方程为 y404（4）x(4)，即 y12x2.15(2021宁波十校联考)已知直线 l：yk(x1)(k0)，椭圆 C：x24y231，点F(1，0)，若直线和椭圆有两个不同交点 A，B，则ABF 的周长是_，ABF的重心纵坐标的最大值是_ 答案 8 36 解析 因为直线 l：yk(x1)(k0)过椭圆 C 的左焦点(1，0)，所以ABF 的周长为点 A，B 分别到两焦点的距离之和，即周长为 2a2a4a8；设点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点为(x0，y0)，且2x00)的焦点为 F，ABC 的顶点都在抛物线上，且满
12、足FAFBFC0，则1kAB1kAC1kBC_ 答案 0 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，Fp2，0，由FAFBFC0，得 y1y2y30.因为 kABy2y1x2x12py1y2，所以 kAC2py1y3，kBC2py2y3，所以1kAB1kAC1kBCy1y22py3y12py2y32p0.17(2021衢州、湖州、丽水质检)在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)上的异于顶点的任意一点，过点 M 作双曲线的切线 l，若 kOMkl13，则双曲线的离心率 e_ 答案 2 33 解析 设点 M(x0，y0)，则 kOM
13、y0 x0.又双曲线在点 M 处的切线方程为xx0a2yy0b21，即 yb2x0a2y0 xb2y0，即在点 M 处的切线的斜率 klb2x0a2y0.因为 kOMkly0 x0b2x0a2y0b2a213，所以双曲线的离心率 e1b2a21132 33.三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18(本小题满分 14 分)(2020全国卷)已知椭圆 C1：x2a2y2b21(ab0)的右焦点F 与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|43|AB
14、|.(1)求 C1的离心率；(2)设 M 是 C1与 C2的公共点若|MF|5，求 C1与 C2的标准方程 解(1)由已知可设 C2的方程为 y24cx，其中 c a2b2.不妨设 A，C 在第一象限，由题设得 A，B 的纵坐标分别为b2a，b2a；C，D 的纵坐标分别为 2c，2c，故|AB|2b2a，|CD|4c.由|CD|43|AB|得 4c8b23a，即 3ca22ca2.解得ca2(舍去)或ca12.所以 C1的离心率为12.(2)由(1)知 a2c，b 3c，故 C1：x24c2y23c21.设 M(x0，y0)，则x204c2y203c21，y204cx0，故x204c24x03
15、c1.因为 C2的准线为 xc，所以|MF|x0c，而|MF|5，故 x05c，代入得（5c）24c24（5c）3c1，即 c22c30，解得 c1(舍去)或 c3.所以 C1的标准方程为x236y2271，C2的标准方程为 y212x.19(本小题满分 15 分)(2021北京丰台区一模)如图，已知抛物线 x2y，点A12，14，B32，94，抛物线上的点 P(x，y)12x32，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q.(1)求直线 AP 斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值 解(1)由题意得 P(x，x2)，12x32.设直线 AP 的斜率为 k，故 kx214x12x12(
16、1，1)，故直线 AP 斜率的取值范围为(1，1)(2)由(1)知 P()x，x2，12x32，则直线 AP 的方程为：ykx12k14，直线 BQ 的方程为：y1kx32k94，联立直线 AP 与 BQ 的方程ykx12k14，y1kx32k94，解得点 Q 的横坐标是 xQ34kk22k22，因为|PA|1k2x12 1k2(k1)，|PQ|1k2(xQx)（k1）（k1）2k21，所以|PA|PQ|(k1)(k1)3，令 f(k)(k1)(k1)3，则 f(k)(4k2)(k1)2，当 k1，12时，f(k)0；当 k12，1 时，f(k)0，所以 f(k)在区间1，12上单调递增，在区
17、间12，1 上单调递减因此当 k12时，|PA|PQ|取得最大值2716.20(本小题满分 15 分)(2019浙江卷)如图，已知点 F(1，0)为抛物线 y22px(p0)的焦点过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在抛物线上，使得ABC 的重心 G 在 x 轴上，直线 AC 交 x 轴于点 Q，且 Q 在点 F 的右侧 记AFG，CQG的面积分别为 S1，S2.(1)求 p 的值及抛物线的准线方程；(2)求S1S2的最小值及此时点 G 的坐标 解(1)由题意得p21，即 p2.所以抛物线的准线方程为 x1.(2)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心 G
18、(xG，yG)令 yA2t，t0，则 xAt2.由于直线 AB 过 F，故直线 AB 的方程为 xt212ty1，代入 y24x，得 y22（t21）ty40，故 2tyB4，即 yB2t，所以 B1t2，2t.又 xG13(xAxBxC)，yG13(yAyByC)及重心 G 在 x 轴上，得 2t2tyC0，得 C1tt2，21tt，G2t42t223t2，0.所以直线 AC 的方程为 y2t2t(xt2)，得 Q(t21，0)由于 Q 在焦点 F 的右侧，故 t22.从而 S1S212|FG|yA|12|QG|yC|2t42t223t21|2t|t212t42t223t22t2t 2t4t
19、2t412t22t41.令 mt22，则 m0，S1S22mm24m321m3m4212m3m4132.当 m 3时，S1S2取得最小值 132，此时 G(2，0)21(本小题满分 15 分)(2020北京卷)已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)过点 A(2，1)，且 a2b.(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 B(4，0)的直线 l 交椭圆 C 于点 M，N，直线 MA，NA 分别交直线 x4 于点 P，Q，求|PB|BQ|的值 解(1)由椭圆过点 A(2，1)，得4a21b21.又 a2b，44b21b21，解得 b22，a24b28，椭圆 C 的方程为x28y221.(2)当直线
20、 l 的斜率不存在时，显然不合题意 设直线 l：yk(x4)，由yk（x4），x24y28得(4k21)x232k2x64k280.由 0，得12k12.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x232k24k21，x1x264k284k21.又直线 AM：y1y11x12(x2)，令 x4，得 yP2（y11）x121.将 y1k(x14)代入，得 yP（2k1）（x14）x12.同理 yQ（2k1）（x24）x22.yPyQ(2k1)x14x12x24x22(2k1)2x1x26（x1x2）16（x12）（x22）(2k1)2（64k28）4k216（32k2）4k2116（x12
21、）（x22）(2k1)128k216192k264k216（4k21）（x12）（x22）0.|PB|BQ|，|PB|BQ|1.22(本小题满分 15 分)(2021衢州、湖州、丽水质检)如图，设抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|1.(1)求 p 的值；(2)若直线 AF 交抛物线于另一点 B，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N，AN 与 x 轴交于点 M，求 M 的横坐标的取值范围 解(1)由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x1 的距离，由抛物线的定义得p21，即 p2.(2
22、)由(1)得抛物线方程为 y24x，F(1，0)，可设 A(t2，2t)，t0，t1.因为 AF 不垂直于 y 轴，可设直线 AF：xsy1(s0)，由y24x，xsy1，消去 x 得y24sy40.故 y1y24，所以 B1t2，2t.又直线 AB 的斜率为2tt21，故直线 FN 的斜率为t212t，从而得直线 FN：yt212t(x1)，直线 BN：y2t.所以 Nt23t21，2t.设 M(m，0)，由 A，M，N 三点共线得2tt2m2t2tt2t23t21，于是 m2t2t21，所以 m0 或 m2.经检验，m0 或 m2 满足题意 综上，点 M 的横坐标的取值范围是(，0)(2，)