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1、 1 2007 年数学一 一、选择题：(此题共 10 小题，每题 4 分，共 40 分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当0 x时，与x等价的无穷小量是(A)1xe.(B)1ln1xx.(C)11x.(D)1cosx.B 【分析】利用无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比拟分析找出正确答案.【详解】当0 x时，有1(1)xxeex；1112xx；2111 cos().22xxx 利用排除法知应选(B).(2)曲线1ln(1)xyex，渐近线的条数为(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.D 【分析】先找出无定义
2、点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。【详解】因为01limln(1)xxex，所以0 x 为垂直渐近线；又 1limln(1)0 xxex，所以 y=0 为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)limlimlimxxxxxyeexxxx=lim11xxxee，1lim1limln(1)xxxyxexx=limln(1)xxex =limln(1)lim ln(1)0 xxxxxeexe，于是有斜渐近线：y=x.故应选(D).(3)如图，连续函数 y=f(x)在区间3，2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间2，0，0，2的图形分别是直径为 2 的上、下
3、半圆周，设0()().xF xf t dt那么以下结论正确的选项是(A)3(3)(2)4FF.(B)5(3)(2)4FF.(C)2(43)3(FF.(D)2(45)3(FF.C 【分析】此题考查定积分的几何意义，应注意 f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。【详解】根据定积分的几何意义，知 F(2)为半径是 1 的半圆面积：1(2)2F，F(3)是两个半圆面积之差：22113(3)1()228F=3(2)4F，0330)()()3(dxxfdxxfF)3()(30Fdxxf 因此应选(C).2(4)设函数 f(x)在 x=0 处连续，以下命题错误的选项是(A)假设0()
4、limxf xx存在，那么 f(0)=0.(B)假设0()()limxf xfxx存在，那么 f(0)=0.(C)假设0()limxf xx存在，那么(0)f 存在.(D)假设0()()limxf xfxx存在，那么(0)f 存在 D 【分析】此题为极限的逆问题，某极限存在的情况下，需要利用极限的四那么运算等进行分析讨论。【详解】(A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0.假设0()limxf xx存在，那么00()(0)()(0)0,(0)limlim00 xxf xff xffxx，可见(C)也正确，故应选(D).事实上，可举反例：()f x
5、x在 x=0 处连续，且 0()()limxf xfxx=0lim0 xxxx 存在，但()f xx在 x=0 处不可导。(5)设函数 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且()0.fx 令),2,1)(nnfun,那么以下结论正确的选项是(A)假设12uu，那么nu必收敛.(B)假设12uu，那么nu必发散.(C)假设12uu，那么nu必收敛.(D)假设12uu，那么nu必发散.D 【分析】可直接证明或利用反例通过排除法进行讨论。【详解】设 f(x)=2x,那么 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12()0,fxuu，但2nun发散，排除(C);设 f(x)=1x,那么 f(x)在(0,)上
6、具有二阶导数，且12()0,fxuu，但1 nun收敛，排除(B);又假设设()lnf xx，那么 f(x)在(0,)上具有二阶导数，且12()0,fxuu，但 ln nun 发散，排除(A).故应选(D).(6)设曲线:(,)1(,)L f x yf x y具有一阶连续偏导数)，过第 II 象限内的点 M 和第 IV 象限内的点 N，T为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧，那么以下小于零的是(A)(,)Tf x y dx.(B)(,)Tf x y dy.(C)(,)Tf x y ds.(D)(,)(,)xyTfx y dxfx y dy.B 【分析】直接计算出四个积分的值，从而可确定正确选
7、项。【详解】设 M、N 点的坐标分别为11221212(,),(,),M x yN xyxxyy.先将曲线方程代入积分表达式，再计算有：21(,)0TTf x y dxdxxx;21(,)0TTf x y dydyyy;(,)0TTf x y dsdss;(,)(,)(,)0 xyTTfx y dxfx y dydf x y.故正确选项为(B).(7)设向量组321,线性无关，那么以下向量组线性相关的是 3(A)133221,.(B)133221,.(C)1332212,2,2.(D)1332212,2,2.A 【详解】用定义进行判定:令 0)()()(133322211xxx，得 0)()(
8、)(332221131xxxxxx.因321,线性无关，所以 1312230,0,0.xxxxxx 又 0110011101，故上述齐次线性方程组有非零解,即133221,线性相关.类似可得(B),(C),(D)中的向量组都是线性无关的.(8)设矩阵211121112A,000010001B,那么 A 与 B (A)合同,且相似.(B)合同,但不相似.(C)不合同,但相似.(D)既不合同,又不相似.B 【详解】由0|AE 得 A 的特征值为 0,3,3,而 B 的特征值为 0,1,1,从而 A 与 B 不相似.又 r(A)=r(B)=2,且 A、B 有相同的正惯性指数,因此 A 与 B 合同.
9、应选(B).(9)某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为 p(0p1),那么此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为(A)2)1(3pp (B)2)1(6pp.(C)22)1(3pp (D)22)1(6pp C 【详解】“第4次射击恰好第2次命中表示4次射击中第4次命中目标,前3次射击中有1次命中目标,由独立重复性知所求概率为：2213)1(ppC.应选(C).(10)设随机变量(,)服从二维正态分布，且与不相关，)()(yfxfYX分别表示，的概率密度，那么在y 的条件下，的条件概率密度)|(|yxfYX为(A)(xfX(B)(yfY (C)()(yfxfYX.(D)(
10、)(yfxfYX A 【详解】因(,)服从二维正态分布，且与不相关，故与相互独立，于是 )|(|yxfYX=)(xfX.因此选(A).二、填空题：(1116 小题，每题 4 分，共 24 分.把答案填在题中横线上)(11)12311xe dxx=121.2e 4【分析】先作变量代换，再分部积分。【详解】111213213211211()txttxe dxt edtte dtxt=111121112221.2ttttdetee dte (12)设 f(u,v)为二元可微函数，(,)yxzf xy，那么zx=112ln.yxfyxfyy【详解】利用复合函数求偏导公式，有zx=112ln.yxfyx
11、fyy (13)二阶常系数非齐次线性微分方程2432xyyye的通解为32122.xxxyC eC ee 其中21,CC为任意常数.【详解】特征方程为 2430，解得121,3.可见对应齐次线性微分方程430yyy的通解为 312.xxyC eC e 设非齐次线性微分方程2432xyyye的特解为*2xyke，代入非齐次方程可得 k=2.故通解为32122.xxxyC eC ee(14)设曲面:1xyz，那么dSyx|)|(=43.3【详解】由于曲面关于平面 x=0 对称，因此dSx=0.又曲面:1xyz具有轮换对称性，于是 dSyx|)|(=dSy|=dSx|=dSz|=dSzyx|)|(|
12、31=dS3123831=43.3(15)设矩阵0000100001000010A,那么3A的秩为 1.【详解】依矩阵乘法直接计算得 00000000000010003A,故 r(3A)=1.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,那么两数之差的绝对值小于21的概率为43【详解】这是一个几何概型,设 x,y 为所取的两个数,那么样本空间 1,0|),(yxyx,记21|,),(|),(yxyxyxA.5 故 SSAPA)(43143，其中SSA,分别表示 A 与 的面积.三、解答题：(1724 小题，共 86 分.)(17)(此题总分值 11 分)求函数2222(,)2f x yxyx y在
13、区域22(,)4,0Dx y xyy上的最大值和最小值。【分析】由于 D 为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极值讨论即可。【详解】因为 2(,)22xfx yxxy，2(,)42yfx yyx y，解方程：22220,420 xyfxxyfyx y 得开区域内的可能极值点为(2,1).其对应函数值为(2,1)2.f 又当 y=0 时，2(,)f x yx在22x 上的最大值为 4，最小值为 0.当224,0,22xyyx，构造拉格朗日函数 222222(,)2(4)F x yxyx yxy 解 方 程 组 22222220,4220,40,xyFxxyxFyx yyFxy
14、得 可 能 极 值 点：53(0,2),(,)22，其 对 应 函 数 值 为537(0,2)8,(,).224ff 比拟函数值72,0,4,8,4，知 f(x,y)在区域 D 上的最大值为 8，最小值为 0.(18)(此题总分值 10 分)计算曲面积分 23,Ixzdydzzydzdxxydxdy 其中为曲面221(01)4yzxz 的上侧。【分析】此题曲面不封闭，可考虑先添加一平面域使其封闭，在封闭曲面所围成的区域内用高斯公式，而在添加的平面域上直接投影即可。【详解】补充曲面：221:1,04yxz，取下侧.那么 123Ixzdydzzydzdxxydxdy123xzdydzzydzdxx
15、ydxdy =(2)3Dzz dxdydzxydxdy 6 其中为与1所围成的空间区域，D 为平面区域2214yx.由于区域 D 关于 x 轴对称，因此30Dxydxdy.又(2)3zz dxdydzzdxdy=1100332(1).zDzdzdxdyzz dz 其中zD22:14yxz.(19)(此题总分值 11 分)设函数 f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a),f(b)=g(b),证明：存在(,)a b，使得()().fg【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，假设令()()()F xf xg x，那
16、么问题转化为证明()0F,只需对()F x用罗尔定理，关键是找到()F x的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用 F(a)=F(b)=0,假设能再找一点(,)ca b，使得()0F c，那么在区间,a cc b上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x用罗尔定理即可。【证明】构造辅助函数()()()F xf xg x，由题设有 F(a)=F(b)=0.又 f(x),g(x)在(a,b)内具有相等的最大值,不妨设存在21xx,),(,21baxx使得 12,()max(),()max()a ba bf xMf x g xMg x，假设21xx，令1xc,那
17、么()0.F c 假设21xx，因111222()()()0,()()()0F xf xg xF xf xg x，从而存在 12,(,)cx xa b，使()0.F c 在区间,a cc b上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a cc b，使得 12()()0FF.再对()F x在区间12,上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b，有()0F，即 ()().fg (20)(此题总分值 10 分)设幂级数0nnna x在(,)内收敛，其和函数 y(x)满足 7 240,(0)0,(0)1.yxyyyy(I)证明：22,1,2,;1nnaa nn(II)求 y(x)的表达式.【分析】先
18、将和函数求一阶、二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推关系。【详 解】(I)记y(x)=0nnna x,那 么1212,(1),nnnnnnyna xyn na x代 入 微 分 方 程240,yxyy有 2210(1)240,nnnnnnnnnn na xna xa x 即 2000(2)(1)240,nnnnnnnnnnnaxna xa x 故有 2(2)(1)240,nnnnnanaa 即 22,1,2,;1nnaa nn(II)由 初 始 条 件(0)0,(0)1yy知，010,1.aa 于 是 根 据 递 推 关 系 式22,1nnaan 有22110,.!nnaan 故 y(x
19、)=0nnna x=21212001!nnnnnaxxn=2201().!nxnxxxen(21)(此题总分值 11 分)设线性方程组 04,02,03221321321xaxxaxxxxxx 与方程 12321axxx 有公共解，求 a 的值及所有公共解【分析】两个方程有公共解就是与联立起来的非齐次线性方程组有解.【详解】将与联立得非齐次线性方程组:.12,04,02,03213221321321axxxxaxxaxxxxxx 假设此非齐次线性方程组有解,那么与有公共解,且的解即为所求全部公共解.对的增广矩阵A作 8 初等行变换得:112104102101112aaaA11000)1)(2(
20、0001100111aaaaa.于是 1 当 a=1 时，有)()(ArAr=23，方程组有解,即与有公共解,其全部公共解即为的通解，此时 0000000000100101A，此时方程组为齐次线性方程组，其根底解系为:101,所以与的全部公共解为101k，k 为任意常数.2 当 a=2 时，有)()(ArAr=3，方程组有唯一解,此时 0000110010100001A，故方程组的解为:011,即与有唯一公共解:为123011xxxx.(22)(此题总分值 11 分)设 3 阶对称矩阵的特征值,2,2,1321 T)1,1,1(1是的属于1的一个特征向量,记EAAB354其中E为 3 阶单位矩
21、阵.(I)验证1是矩阵的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量(II)求矩阵【分析】根据特征值的性质可立即得 B 的特征值,然后由 B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.【详解】(I)由11A 得 1112 AA,进一步 113A,115A，故 1351)4(EAAB 113154AA 1114 12，从而1是矩阵的属于特征值2 的特征向量.因EAAB354,及的 3 个特征值,2,2,1321 得 B 的 3 个特征值为1,1,2321.9 设32,为 B 的属于132的两个线性无关的特征向量,又 为对称矩阵，得 B 也是对称矩阵,因此1与32,正交,即 0,03121TT
22、 所以32,可取为以下齐次线性方程组两个线性无关的解：0)1,1,1(321xxx,其根底解系为:011,101,故可取2=011,3=101.即 B 的全部特征值的特征向量为:1111k,10101132kk,其中01k,是不为零的任意常数,32,kk是不同时为零的任意常数.(II)令),(321P=101011111,那么 1121BPP，得 1112PPB=10101111111221112111131=10201211221112111131011101110.(23)(此题总分值 11 分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 2,01,01,(,)0,xyxyf x y其它.(I)
23、求YXP2；(II)求 Z+的概率密度)(zfZ.【详解】(I)YXP2yxdxdyyxf2),(12210)2(ydxyxdy247.(II)先求 Z 的分布函数:zyxZdxdyyxfZYXPzF),()()(当 Z0 时,0)(zFZ;当10 z时,1),()(DZdxdyyxfzFyzzdxyxdy00)2(3231zz；10 当21 z时,2),(1)(DZdxdyyxfzF111)2(1yzzdxyxdy 3)2(311z；当2z时,1)(zFZ.故 Z+的概率密度为)(zfZ=)(zFZ.,0,21,)2(,10,222其他zzzzz (24)(数 1,3)(此题总分值 11 分
24、)设总体 X 的概率密度为 .,0,1,)1(21,0,21),(其他xxxf 其中参数(01)未知,nXXX21,是来自总体 X 的简单随机样本,X是样本均值(I)求参数的矩估计量；(II)判断24X是否为2的无偏估计量,并说明理由.【详解】(I)dxxxfXE),()(dxxdxx10)1(22.412)1(414 令 X412,其中 niiXnX11，解方程得的矩估计量为:=212X.(II)()(4)(4)4(222XEXDXEXE)()(42XEnXD,而dxxfxXE),()(22dxxdxx1202)1(22.616132 )()()(22XEXEXD22)4121(61613 4851211212，故)4(2XE)()(42XEnXDnnnnnn12531331322,所以24X不是2的无偏估计量.