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1、欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案解析 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0 x 时，sinf xxax与 2ln 1g xxbx等价无穷小，则 A11,6ab.B11,6ab.C11,6ab .D11,6ab.【答案】A 【解析】2()sin,()ln(1)f xxax g xxbx为等价无穷小，则 222200000()sinsin1cossinlimlimlimli
2、mlim()ln(1)()36xxxxxf xxaxxaxaaxaaxg xxbxxbxbxbx 洛洛230sinlim166xaaxabbaxa 36ab 故排除,B C。另外201coslim3xaaxbx存在，蕴含了1cos0aax0 x 故1.a 排除D。所以本题选 A。（2）如图，正方形,1,1x yxy被其对角线划分为 四个区域1,2,3,4kDk，coskkDIyxdxdy，则 14maxkkI A1I.B2I.C3I.D4I.【答案】A【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。24,D D两区域关于x轴对称，而(,)cos(,)f xyyxf x y ，即被积函数
3、是关于y的奇函数，所以240II;13,D D两区域关于y轴对称，而(,)cos()cos(,)fx yyxyxf x y，即被积函数是-1-1 1 1 x y 1D 2D 3D 4D 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！关于x的偶函数，所以1(,),012cos0 x y y xxIyxdxdy；3(,),012cos0 x y yxxIyxdxdy.所以正确答案为 A.（3）设函数 yf x在区间1,3上的图形为：则函数 0 xF xf t dt的图形为 A B C D【答案】D 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由()yf x的
4、图形可见，其图像与x轴及y轴、0 xx所围的图形的代数面积为所求函数()F x，从而可得出几个方面的特征：0,1x时，()0F x，且单调递减。1,2x时，()F x单调递增。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！2,3x时，()F x为常函数。1,0 x 时，()0F x 为线性函数，单调递增。由于 F(x)为连续函数 结合这些特点，可见正确选项为D。（4）设有两个数列 ,nnab，若lim0nna，则 A当1nnb收敛时，1nnna b收敛.B当1nnb发散时，1nnna b发散.C当1nnb收敛时，221nnna b收敛.D当1nn
5、b发散时，221nnna b发散.【答案】C【解析】方法一：举反例 A 取1(1)nnnabn B 取1nnabn D 取1nnabn 故答案为（C）方法二：因为lim0,nna则由定义可知1,N使得1nN时，有1na 又因为1nnb收敛，可得lim0,nnb则由定义可知2,N使得2nN时，有1nb 从而，当12nNN时，有22nnna bb，则由正项级数的比较判别法可知221nnna b收敛。（5）设123,是 3 维向量空间3R的一组基，则由基12311,23到基 122331,的过渡矩阵为 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！A1
6、01220033.B120023103.C111246111246111246.D111222111444111666.【答案】A【解析】因为 1212,nnA ，则A称为基12,n 到12,n 的过渡矩阵。则由基12311,23到122331,的过渡矩阵M满足 12233112311,23M 12310111,22023033 所以此题选 A。（6）设,AB均为 2 阶矩阵，*,A B分别为,AB的伴随矩阵，若2,3AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为 A*32OBAO.B*23OBAO.C*32OABO.D*23OABO.【答案】B【解析】根据CCC E，若111,CC CCCC 分块矩阵
7、00AB的行列式2 2012 360AA BB （），即分块矩阵可逆 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！11110000066000100BBAAABBBBAAA 10023613002BBAA 故答案为 B。（7）设随机变量X的分布函数为 10.30.72xF xx，其中 x为标准正态分布函数，则EX A0.B0.3.C0.7.D1.【答案】C【解析】因为 10.30.72xF xx，所以 0.710.322xFxx，所以 10.30.352xEXxFx dxxxdx 10.30.352xxx dxxdx 而 0 xx dx，112
8、21222xxxdxuuu du 所以00.3520.7EX。（8）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布0,1N，Y的概率分布为1012P YP Y，记 ZFz为随机变量ZXY的分布函数，则函数 ZFz的间断点个数为 A0.B1.C2.D3.【答案】B 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】()()(0)(0)(1)(1)1(0)(1)21(00)(1)2ZFzP XYzP XYz YP YP XYz YP YP XYz YP XYz YP Xz YP Xz Y,X Y独立 1()(0)()2ZFzP XzP Xz（1）
9、若0z，则1()()2ZFzz（2）当0z，则1()(1()2ZFzz 0z 为间断点，故选（B）二、填空题：9-14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数,f u v具有二阶连续偏导数，,zf x xy，则2zx y 。【答案】12222xffxyf【解析】12zffyx，21222212222zxffyx fxffxyfx y （10）若二阶常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCC x e，则非齐次方程yaybyx满足条件 02,00yy的解为y 。【答案】2xyxex 【解析】由常系数线性齐次微分方程0yayby的通解为12xyCC
10、 x e可知 1xye，2xyxe为其线性无关解。代入齐次方程，有 111222(1)0102(1)020 xxyaybyab eabyaybyaab x ea 从而可见2,1ab。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！微分方程为 2 yyyx 设特解*yAxB代入，,1yA A 220,2AAxBxBB 特解*2yx 12()2xycc x ex 把(0)2y ，(0)0y代入，得120,1cc 所求2xyxex （11）已知曲线2:02L yxx，则Lxds 。【答案】136【解析】由题意可知，2,02xx yxx，则 22214ds
11、xydxx dx，所以222220011414148Lxdsxx dxx dx 23201 213148 36x（12）设222,1x y z xyz，则2z dxdydz 。【答案】415【解析】方法一：212222000sincosz dxdydzddd 2124000coscosddd 30cos1423515d 方法二：由轮换对称性可知2z dxdydz2x dxdydz2y dxdydz 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！所以，212222400011sin33z dxdydzxyzdxdydzddrdr 140002214
12、sinsin33515dr drd （13）若 3 维列向量,满足2T，其中T为的转置，则矩阵T的非零特征值为 。【答案】2【解析】2T 2TT ,T的非零特征值为 2.(14)设12,mXXX为来自二项分布总体,B n p的简单随机样本，X和2S分别为样本均值和样本方差。若2XkS为2np的无偏估计量，则k 【答案】1 【解析】2XkS为2np的无偏估计 22()E XkXnp 2(1)1(1)(1)11npknppnpkppkppk 三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 9 分）求二元函数22(
13、,)2lnf x yxyyy的极值。【解析】2(,)2(2)0 xfx yxy 2(,)2ln10yfx yx yy 故10,xye 2212(2),2,4xxyyxyfyfxfxyy 则 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！12(0,)1(0,)1(0,)12(2)0 xxexyeyyefeffe 0 xxf 而2()0 xyxxyyfff 二元函数存在极小值11(0,)fee （16）（本题满分 9 分）设na为曲线nyx与11,2,.nyxn所围成区域的面积，记 122111,nnnnSa Sa，求1S与2S的值。【解析】由题意，
14、nyx与n+1y=x在点0 x 和1x 处相交，所以112111111a()()001212nnnnnxxdxxxnnnn，从而1111111111Slimlim(-)lim()23122+22NnnNNNnnaaNNN 2211111111111111=)22+1232N2N+123456nnnSann（）（由2(1)1(1)2nnxxn ln(1+x)=x-取1x 得 22111ln(2)1()11 ln2234SS （17）（本题满分 11 分）椭球面1S是椭圆22143xy绕x轴旋转而成，圆锥面2S是过点4,0且与椭圆22143xy相切的直线绕x轴旋转而成。（）求1S及2S的方程（）求
15、1S与2S之间的立体体积。【解析】（I）1S的方程为222143xyz，欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！过点4,0与22143xy的切线为122yx，所以2S的方程为222122yzx。（II）记1122yx，由22143xy，记223 14xy，则424222221211111324344Vy dxy dxxxdxxdx 42323111143124xxxxx （18）（本题满分 11 分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数 f x在,a b上连续，在(,)a b可导，则存在,a b，使得 f bf afba（）证明：若函数 f x
16、在0 x 处连续，在0,0内可导，且 0limxfxA，则 0f存在，且 0fA。【解析】（）作辅助函数()()()()()()f bf axf xf axaba，易验证()x满足：()()ab；()x在 闭 区 间,a b上 连 续，在 开 区 间,a b内 可 导，且()()()()f bf axfxba。根据罗尔定理，可得在,a b内至少有一点，使()0，即()f()()0,()()()()f bf af bf afbaba（）任取0(0,)x，则函数()f x满足；在闭区间00,x上连续，开区间00,x内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在 000,0,xx，使得 000()(0)0
17、 xf xffx*又由于 0limxfxA，对上式（*式）两边取00 x时的极限可得：欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！0000000000()00limlim()lim()0 xxxxxf xffffAx 故(0)f存在，且(0)fA。（19）（本题满分 10 分）计算曲面积分32222xdydzydzdxzdxdyIxyz，其中是曲面 222224xyz的外侧。【解析】222 3/2()xdydzydxdzzdxdyIxyz，其中222224xyz 222222 3/2222 5/22(),()()xyzxxxyzxyz 2222
18、22 3/2222 5/22(),()()yxzyyxyzxyz 222222 3/2222 5/22(),()()zxyzzxyzxyz+=2223/22223/22223/2()()()0()()()xyzxxyzyxyzzxyz 由于被积函数及其偏导数在点（0，0，0）处不连续，作封闭曲面（外侧）222211:.016xyzRR有 11222 3/23333()134343xdydzydxdzzdxdyxdydzydxdzzdxdyxyzRRdVRR （20）（本题满分 11 分）设111111042A，1112（）求满足22131,AA的所有向量23,，（）对（）中的任一向量23,，证
19、明：123,线性无关。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】（）解方程21A 1111111111111,111100000211042202110000A ()2r A 故有一个自由变量，令32x，由0Ax 解得，211,1xx 求特解，令120 xx，得31x 故21101021k ，其中1k为任意常数 解方程231A 2220220440A 21111022012,2201000044020000A 故有两个自由变量，令231,0 xx，由20A x 得11x 令230,1xx，由20A x 得10 x 求特解21200 故
20、 3231102100010kk ，其中23,k k为任意常数（）证明：由于 12121 3121212211 3131121112(21)()2()(21)22221kkkkk kk kkkk kkkk kkk 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！102 故123,线性无关.（21）（本题满分 11 分）设二次型2221231231 323,122f x x xaxaxaxx xx x（）求二次型f的矩阵的所有特征值；（）若二次型f的规范形为2212yy，求a的值。【解析】（）0101111aAaa 0110|01()1111111a
21、aaEAaaaa 222()()(1)1 0()()()(1)2()2219()(1 2)24()(2)(1)aaaaaaaaaaaaaaaaa 123,2,1aaa（）若规范形为2212yy，说明有两个特征值为正，一个为 0。则 1)若10a，则 220 ，31，不符题意 2)若20，即2a，则120，330，符合 3)若30，即1a ，则110 ，230 ，不符题意 综上所述，故2a （22）（本题满分 11 分）袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,X Y Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。（）求10P XZ；（）求二维
22、随机变量,X Y的概率分布。欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！【解析】（）在没有取白球的情况下取了一次红球，利用压缩样本空间则相当于只有 1 个红球，2 个黑球放回摸两次，其中摸了一个红球 12113324(10)9CP XZCC（）X，Y 取值范围为 0，1，2，故 1111332311116666111223111166661122116611221166110,0,1,0461112,0,0,136311,1,2,10910,291,20,2,20CCCCP XYP XYCCCCCCCP XYP XYCCCCCCP XYP XY
23、CCCCP XYCCP XYP XY X Y 0 1 2 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 （23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为2,0()0,xxexf x其他，其中参数(0)未知，1X，2X,nX是来自总体X的简单随机样本 ()求参数的矩估计量；（）求参数的最大似然估计量 【解析】（1）由EXX 而22022xEXx edxXX为总体的矩估计量（2）构造似然函数 12111L,.,;niinnxnniiiixxf xx e 取对数11ln2 lnlnnniiiiLnxx 欢迎您阅读并下载本文档，本文档来源于互联网，如有侵权请联系删除！我们将竭诚为您提供优质的文档！令111ln222001ninniiiiidLnnxdxxn 故其最大似然估计量为2X