线性代数在中学数学中的应用.pdf

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1、实用文档.目 录 摘要.1 ABSTRACT.2 前言.3 第 1 章 行列式在中学数学中的应用.4 1.1 用行列式证明等式.4 1.2 用行列式分解因式.5 1.3 行列式在解析几何中的应用.6 第 2 章 线性方程组在中学数学中的应用.7 第 3 章 二次型理论在中学数学中的应用.8 第 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用.10 4.1 中学数学引入矩阵的意义.10 4.2 中学数学中矩阵与变换.11 4.3 线性变换面积定理.11 4.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系.12 4.5 中学数学中矩阵变换的常见类型.12 第 5 章 用向量法解决初等几何问题.13 结论.15 参

2、考文献.16 致谢.17 实用文档.摘要 线性代数是数学的一个分支，是一门数学根底课程近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用本文共分为五个局部：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的假设干应用以及有关例题的讲解过程 关 键 词：行列式 齐次线性方程组 二次型 矩阵 向量 实用文档.Abstract Linear algebra is a branch of mathematics.It is a ma

3、thematical foundation course.In recent years,some content of higher mathematics are begun to learn by middle school students.And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics.This paper is divided into five parts.In these parts,we will give a lot of examples to show some applica

4、tions of determinant,Linear equations,quadratic theory,matrix and transform,vector in elementary mathematics.Keywords:determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector 前言实用文档.线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的根底理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂作为高等学校根底课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维

5、和审美功能方面的作用也得到充分的重视可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识 学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力 实用文档.第 1 章 行列式在中学数学中的应用 随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式 利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明.例 1

6、0abc，求证3333abcabc.证明：令3333Dabcabc，那么 0000abcabcabcabcDcabcabcabbcabcabca，即33330abcabc 例 2 1axby，1bxcy，1cxay，求证：222abbccaabc.证明：令222()()()()Dabbccaabca bcb cbc ac，那么有 1101100110acabaxbyabDbacacxaycacbbcbxcybc.例 3 在ABC中，求证222coscoscos1 2coscoscosABCABC.证明 由于2221coscoscoscoscos2coscoscos1cos1coscoscos1

7、CBABCABCCABA coscoscoscos0coscos11coscos1cos01cos0coscoscos10cos1abCBCBCBaCbcAAAaaaBbBcAA 所以，在ABC中，222coscoscos1 2coscoscosABCABC成立.例 4 求证：222coscoscos()2coscoscos()1.实用文档.证明：因为 2221coscoscos1cos()1 2coscoscos()coscoscos()coscos()1D 又221000sinsinsin00sinsinsinD，故222coscoscos()2coscoscos()1 1.2 用行列式分

8、解因式 由行列式的定义，1112112212212122aaa aa aaa.由此启发，我们可以把一个代数式F看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即FMN PQ(,M N P Q均为代数式)，于是MPFQN.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进展因式分解.例 1 分解因式43262420 xxxx.解：4322262420(61)4(65)xxxxxxxx 22221165(4)461461xxxxxxx 22(4)(65)(2)(1)(2)(5)xxxxxxx.例 2 将3386abab分解因式.解：332111862(2)222ababababababbaba 22(

9、2)(224)a bababab.例 3 分解因式222222abbccaacbacb.解：222222222222()()()abbccaacbacba bcb cac ab实用文档.222()()()111abcabcab bc ca.利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规那么.1.3 行列式在解析几何中的应用 定理 1 21以平面内三点112233(,),(,),(,)A xyB xyC xy为顶点的ABC的面积 11223311121xySxyxy的绝对值.2通过两点1122(,),(,)P x yQ xy的直线方程为11221101xyxy

10、xy.例 求过点2,3和点1,4的直线的方程.解 由12310141xy，得直线的方程为50 xy.3平面内三条直线111122223333:0,:0,:0La x b ycLa x b ycLa x b yc.相较于一点或互相平行的充要条件是：1112223330abcabcabc.推论 2 平面上三点112233(,),(,),(,)P x yQ xyR xy在一条直线上的充要条件是1122331101xyxyxy.定理 2 2 通过平面上三点112233(,),(,),(,)A x yB xyC xy的圆的方程为 2222111122222222333311011xyxyxyxyxyxy

11、xyxy.例 1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，那么三条根轴互相平行或交于实用文档.一点.实用文档.证明：设三个圆的方程分别为220(1,2,3)iiixyD xE yFi.两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为 121212131313323232()()()0,()()()0,()()()0DDxEEyFFDDxEEyFFDDxEEyFF 三条直线方程的系数行列式为 1212121212121313132323233232323232320DDEEFFDDEEFFDDDEEFFDDEEFFDDEEFFDDEEFF 故三直线平行或相较于一点.此题实质是求一

12、封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解此题,居高临下,让人耳目一新.第 2 章 线性方程组在中学数学中的应用 线性方程组在中学就学过，主要是研究假设干变量的相互关系，比方下面就是一个线性方程组的例子：一个庙里有一百个和尚，这中间有大和尚有小和尚，这一百个和尚每顿饭总共吃一百个馒头，其中大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问大和尚和小和尚各多少人?解 设大和尚的数目是x，小和尚的数目是y，那么有 100131003xyxy，解之得 2575xy 其实，更多元的线性方程组也是同样的解法.定理 3 含有 n 个未知量 n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是:方程组

13、的系数行列式等零.例 1 函数2()f xxaxb,证明(1)f、(2)f、(3)f中至少有一个不小于12.解 把x=1,2,3 代入函数表达式,列方程组实用文档.(1(1)02(4(2)03(9(3)0abfabfabf 上述关于 a、b、1 的齐次线性方程组有非零解,故111(1)214(2)0319(3)fff,展开整理得(1)2(2)(3)2fff，假设结论不成立,即1(1)2f,1(2)2f,1(3)2f,易推出2(1)2(2)(3)2fff,从而产生矛盾,故命题成立.例 2 xayz，ybzx，zcxy，求证：12abbccaabc.证明：由得关于,x y z得方程组000 xay

14、azbxybzcxcyz 因为,x y z不可能为零，所以由定理知1101aabbcc 化简得10abcabcacbcab即12abbccaabc.由条件的构造特征与待解问题之间的关系建立齐次线性方程组,构造三阶行列式,其解题思路新颖,能够巧妙地解决中学数学中的假设干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.第 3 章 二次型理论在中学数学中的应用 考虑一个 n 元二次型：2221211 112121122222(,)2.22nnnnnnnnf x xxa xa x xa x xa xa x xa xX AX，其中12,1,(,.,)ijnaR i jn Xx xx,111

15、211222212nnnnnnAaaaaaaaaa.定义 4一个二次型12(,)nf x xx经过非线型替换变成的平方和实用文档.222121 122(,)nnnf x xxd xd xLd x，,1,(1)idR in称为12(,)nf x xx的标准型.定理1 4 实数域上任意一个二次型12(,)nf x xx 都可以经过非退化的线性替换变成平方和1的形式.定理2 4 一个实二次型可以分解成两个实数系的一次齐次多项式乘积的充要条件是它的秩等于2和符号差为0，或秩等于1.例 1 试判断以下多项式在 R 上能否分解，假设能，分解之.22121212121)(,)2423f x xxxx xxx

16、 2212121222)(,)3241f x xxxx xx 解 1)令2212312121323(,)2423g x xxxxx xx xx x,那么1212(,)(,1)f x xg x x，下面考虑123(,)g x xx的秩和符号差，对123(,)g x x x作非线性替换:112322333214yxxxyxxyx，即 11232233312214xyyyxyyxy 有2221231231(,)28g x xxyyy，可见123(,)g x x x的秩是3，有定理2，知123(,)g x x x不能分解，从而12(,)f x x也不能分解.解 2)令2221231212233(,)3

17、24g x x xxxx xx xx，那么1212(,)(,1)f x xg x x下面考虑123(,)g x x x的秩和符123(,)g x x x作非线性替换 112223332yxxyxxyx，即 11232233311221()2xyyyxyyxy 有2212312(,)g x x xyy，从而22121212(,)(,1)f x xg x xyy，可见12(,)f x x的秩为2，符号差为0，有定理2，知12(,)f x x可以分解，且2212121212121212(,)(,1)()()(31)(1)f x xg x xyyyyyyxxxx 定理 2 4 对于 n 元实二次型12

18、12(,.,),.,nnf x xxX AX为A的特征值,那么对于任意nXR,有 12min(,.,)maxiniX Xf x xxX X.例 3 设,x y是实数,且满足223xxy y.那么22xxy y的最大值与最小值是_.解 令22112(,)(,)112xf x yxxyyx yy ,那么(,)f x y的矩阵112112A.实用文档.令11312()()012212IA,因此,特征值1213,22.由定理得222213()(,)()22xyf x yxy,注意到(,)3f x y,解得2226xy.又2222222()(,)2()3xxyyxyf x yxy,从而2219xxyy,

19、所以22xxyy的最大值为9,最小值为 1.由此可见,运用高等代数中二次型定理可以顺利解决二次型12(,.,)nf x xx在条件21niixa下的取值范围,解法流程清晰,易于掌握.第 4 章 矩阵与变换引入中学数学的意义及应用 新课标中学数学的一个重大变化就是把大量原属高等数学的内容下放到中学供学生选修，以开阔学生的视野，满足不同学生的数学需要，促进学生的数学开展.被下放的有矩阵与变换、数列与差分、球面几何、对称与群等十几个专题。下面对中学数学引入矩阵知识的意义及作用，进展初步的探讨.4.1 中学数学引入矩阵的意义 中学数学引入矩阵初步知识的意义，本人认为，主要有四个方面：首先，为表达数据提

20、供新的工具.因此，中学数学引入矩阵知识可为学生提供一个表达数据的新工具，一是学生更好的学习概率、统计、技术原理等课程，也能使学生更好地适应现实生活中的需要；其次，为研究映射提供了一个新平台.在中学数学中，映射是最重要的根本概念.在新课程中学数学体系中，直接与映射有关的内容就有函数、向量、数列、复数、曲线与方程、极坐标与参数方程等十几个方面映射不仅是中学数学的重要概念，也是学习高等数学的必备根底.但映射的表示方法，中学数学中原来只有解析法、列表法和图像法，这对于扩大学生的知识视野，尤其是对学习高等数学的需要，似嫌缺乏.因此，中学数学引入矩阵可为表达映射提供一种新的方法;第三，给线性方程组的解法开

21、辟一条新的途径.引入矩阵知识及行列式以后，就可以得到解线性方程组的公式-克拉姆法那么，这不仅为中学数学解线性方程组找到一条新的途径，而且有利于与高等数学相连接；第四，综合应用，为高等数学与其他模块的学习提供帮助.例如网络图、信息与密码、概率与统计、生态学等，都可以用矩阵表实用文档.达或者求解，引入矩阵知识，可为学习这些知识提供有力的工实用文档.具.4.2 中学数学中矩阵与变换 中学数学中由矩阵建立的变换就是平面上的坐标变换，其中，矩阵起着“对应法那么abAcd确定的变换，就是构造映射，使平面上的点xy 变成点abxxcdyy ，这个映射的对应法那么就是左乘abcd，在这个变换中，矩阵abcd称

22、之为变换矩阵，变换矩阵不同，得到的是不同的变换.例 1 在一个二阶矩阵M对应变换作用，点1,2A变成了点7,10A,点2,0B变成了点2,4B，求矩阵M.解 设abMcd，那么17210abcd ，2204abcd .所以 272102224abcdac，解得 1324abcd，所以1324M.4.3 线性变换面积定理 定理 1 5 线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一倍数,这个倍数就是变换行列式的绝对值.例 1 在平面直角坐标系xoy中,平面区域(,)|1,0,0Ax yxyxy且,那么平面区域(,)|(,)Bxy xyx yA的面积为_.解 依题意,平面区域A 是由0,1O,(1,

23、0)C,(0,1)D围成的三角形,面积 S 为12,平面区域A实用文档.变成平面区域B所对应的变换矩阵为1111,那么变换行列式的绝对值11det211,所以平面区域B的面积S为1212.4.4 利用矩阵的秩判断两直线位置关系 定理 2 6 设空间两直线：111122220:0AxB yC zDLA xB yC zD，333344440:0A xB yC zDLA xB yC zD 设矩阵111222333444ABCABCAABCABC的秩为()r A,矩阵1111222233334444ABCDABCDAABCDABCD的秩为()r A，那么 1当()r A=4 时，两直线异面；2()r

24、A=2 时，两直线重合；3()r A=()r A=3 时，两直线相交；4()r A=()r A=3 时，两直线平行.例 判断两直线140:310 xyzLxyz 和22350:3560 xyzLxyz的位置关系.解 111411141021113202260113213501130000315602260000行变行变 故()r A=()r A=2，所以直线1L与直线2L重合.中学数学中矩阵变换的常见类型 中学数学中由矩阵确定的变换的常见类型，列表说明如下：表 1 7 中学数学中矩阵变换的常见类型 变换名称 变换矩阵 几何特征 恒等变换 10=01E 图形F变成图形F 实用文档.伸压变换 1、

25、沿x轴方向：10=01kM 2、沿y 轴方向210=0Mk 图形F变成图形F，大小和形状可能变化 反射变换 关于x轴反射110=01M关于y轴反射210=01M关于yx反射301=10M关于原点反射410=01M 图形F变成图形F，大小和形状不变，位置可能改变 旋转变换 cossinsincosM 图形F变成图形F，大小和形状不变，位置可能改变 投影变换 垂直投到x轴：110=00M垂直投到y轴：200=01M 图形F变成线或点 切变变换 1、沿x轴方向：11=01kM 2、沿y 轴方向210=1Mk 图形F变成图形F，大小和形状可能变化 第 5 章 用向量法解决初等几何问题 众所周知，向量是

26、现代数学的根本概念之一。在高中数学教材中引入向量概念也是数学现代化的需要。向量是初等数学与高等数学的衔接点，这也是向量在数学课程改革中受到青睐的魅力所在。向量有利于培养学生数形结合的思想方法，有利于拓宽解题思路，有利于开展学生的运算能力，有利于与高等教育衔接等方面。例 1 证明三角形的余弦定理.证明 在ABC中，设BCa，CAb，ABc且aa，bb，cc，那么0abc即()ab c 从而2222abcbc 所以2222cos()abca bA 即2222cosabcbcA.例 2 求证：连结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证明 M、N分别为三角形ABC的两边AB与AC的中点

27、，那么实用文档.FEBAPC11112222MNANAMACABACABBC,所以MNBC,且12MNBC.例 3 如 图，三 菱 锥PABC,PB 底 面ABC，90BAC，4 2PBBCCA,点EF、分别是PCAP、的中点，求二面角ABEF的余弦值.解 以 BP 所在直线为 z 轴，BC 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标 系，那么(0,0,0),(4 2,4 2,0),(0,4 2,0),(0,0,4 2),(0,2 2,2 2),(2 2,2 2,2 2)BACPEF.因为 PB平面 ABC，所以 PBAC,又 ACCB,所以 AC平面 PBC,所以 ACPC,所以EFPC,所以 P

28、C平面 BEF.而(0,4 2,4 2)PC，所以平面 BEF 的一个法向量1(0,1,1)n.设平面 ABE 的法向量2(,)nx y z，那么222 22 202 22 20nBEyznBAxy，那么 x:y:z=1:(-1):1.取 x=1，那么平面 ABE 的一个法向量2(1,1,1)n，所以126cos,3n n .所以二面角 A-BE-F 的平面角的余弦值为63.实用文档.结论 线性代数是数学的一个组成局部，是学习其它学科的重要工具，可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识而近年来先线性代数以被广泛的应用到了中学数学中 学生的数学学习活动不应只限于承受、记忆、模仿和练习，高中数

29、学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自习等学习数学的方式这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程称为在教师引导下的“再创造过程，高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探索活动、让学生体验数学发现和创造的历程，开展他们的创新意识而高等数学进入初等数学正为学生实现这种创新意识提供了很好的教学材料 实用文档.参考文献 1黎伯堂、刘桂真高等代数解题技巧与方法、济南、山东科学技术出版社、2003.2张夏强、邱云、例说行列式在中学数学中的应用、数学通讯、2021年06期.3欧阳新龙、齐次线性方程组有非零解条件的应用、中学数学、1987年06期.4白颉、二次型理论在中学数学中

30、的应用、.太原大学教育学院学报、2021年03月、第28卷第1期.5张夏强、邱云、矩阵在求变换图形面积中的应用、数学教学通讯、2021年9月、第24卷第6期.6陈荣海、浅谈矩阵的秩中学数学解析几何中的应用、福建泉州安溪一中.7彭玉忠、“矩阵与变换引入中学数学的意义及作用、河北北方学院学报、2021年9月.8余正光、林润亮、鲁自群、线性代数与几何、清华大学出版社、2021 年.9刘书田、王中良、线性代数学习辅导与解题方法、高等教育出版社、2003 年.实用文档.致谢 本文能顺利地完稿除了与我自己的辛勤努力、参阅了大量的参考资料有关外，我还得到了教师和同学的悉心指导和帮助，在此对指导、帮助过我的教师、同学表示衷心感谢 在毕业论文设计过程中,我遇到了一些困难，都是在指导教师储利忠教师的细心指点和帮助下,论文才得以完成.我要感谢储教师,在我论文从选题、文章框架、找参考资料到论文的修改及最后的定稿方面,我都得到了储教师的耐心教导和指正储教师是一位非常认真负责的教师,具有很强的敬业精神在此,我向储教师表示最诚挚的谢意.在学习期间，我的家人给予了我大力的支持，没有他们，我是无法顺利地完成学业的，在此对他们表达深深的爱意 除此以外，我还要感谢本文引用的参考文献的作者们 最后，衷心地感谢在百忙之中评阅论文和参加辩论的各位教师！如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！