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1、第 2 节 二次函数 知 识 梳 理 1二次函数表达式的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)顶点式：ya(xh)2k(其中 a0，顶点坐标为(h，k)(3)零点式：ya(xx1)(xx2)(其中 a0，x1，x2是二次函数的图象与 x 轴的两个交点的横坐标)2二次函数 yax2bxc 的图象和性质 a0 a0)，则二次函数 f(x)在闭区间m，n上的最大值、最小值有如下的分布情况：对称轴 与区间 的关系 mnb2a，即b2a(n，)mb2an，即b2a(m，n)b2amn，即b2a(，m)图象 最值 f(x)maxf(m)，f(x)minf(n)f(x)max maxf(n)，f
2、(m)，f(x)minfb2a f(x)maxf(n)f(x)minf(m)4.一元二次方程根的分布 设方程 ax2bxc0(a0)的不等两根为 x1，x2且 x1x2，相应的二次函数为 f(x)ax2bxc(a0)，方程的根即为二次函数图象与 x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是等价条件)表一：(两根与 k 的大小比较)分布 情况 两根都小于 k 即x1k，x2k，x2k 一个根小于 k，一个根大于 k，即x1k0)综合结 论(不讨 论 a)0)(20kfakab 0)(20kfakab af（k）0 表二：（根在区间上的分布）分布 情况 两根都在（m，n）内 两根都在
3、区间（m，n）外（x1n）一根在（m，n）内，另一根在（p，q）内，mnp0）综合结 论（不讨 论 a）若两根有且仅有一根在（m，n）内，则需分三种情况讨论：当0 时，由 0 可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去；当 f（m）0 或 f（n）0，方程有一根为 m 或 n，可以求出另外一根，从而检验另一根是否在区间（m，n）内；当 f（m）f（n）0（0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.（2）不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0或a0，0.诊 断 自 测 1.判断下列说法的正误.（1）如果二次函数
4、f（x）的图象开口向上且关于直线 x1 对称，且过点（0，0），则此二次函数的解析式为 f（x）（x1）21.（）（2）已知函数 f（x）ax2x5 的图象在 x 轴上方，则 a 的取值范围是120，.（）（3）二次函数 yax2bxc（xR）不可能是偶函数.（）（4）二次函数 yax2bxc（xa，b）的最值一定是4acb24a.（）答案（1）（2）（3）（4）2.已知 f（x）x2pxq 满足 f（1）f（2）0，则 f（1）的值是（）A.5 B.5 C.6 D.6 答案 C 解析 由 f（1）f（2）0 知方程 x2pxq0 的两根分别为 1，2，则 p3，q2，f（x）x23x2，f（
5、1）6.3.若方程 x2（m2）xm50 只有负根，则 m 的取值范围是（）A.4，）B.（5，4 C.5，4 D.（5，2）答案 A 解析 由题意得（m2）24（m5）0，x1x2（m2）0，解得 m4.4.已知函数 yx22x3 在闭区间0，m上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围为（）A.0，1 B.1，2 C.（1，2 D.（1，2）答案 B 解析 画出函数 yx22x3 的图象（如图），由题意知 1m2.5.已知方程 x2（m2）x2m10 的较小的实根在 0 和 1 之间，则实数 m 的取值范围是 .答案 12，23 解析 令 f（x）x2（m2）x2m1.由题意得 f（0
6、）0，f（1）0，1（m2）2m10，解得12m0，其图象如图所示，f（|x|）在6，6上的单增区间为 1，0和1，6，单减区间为6，1）和（0，1）.感悟升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：（1）抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；（2）要注意数形结合思想的应用.【训练 2】（1）如图是二次函数 yax2bxc（a0）图象的一部分，图象过点 A（3，0），对称轴为 x1.给出下面四个结论：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正确.对称轴为 x1，即b2a1，2ab0，错误.结合图象，当 x1 时，y0，即
7、abc0，错误.由对称轴为 x1 知，b2a.根据抛物线开口向下，知a0，所以 5a2a，即 5a0 时，函数 f（x）在区间1，2上是增函数，最大值为 f（2）8a14，解得 a38；当 a0 时，函数 f（x）在区间1，2上是减函数，最大值为 f（1）1a4，解得 a3.综上可知，a 的值为38或3.（2）f（x）（xa）21a2，f（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为 xa，当a12时，f（x）maxf（2）4a5；当a12，即 a12时，f（x）maxf（1）22a.综上，f（x）max4a5，a12，22a，a12.感悟升华 研究二次函数的性质，可以结合图象进行；对于含参数的二次
8、函数问题，要明确参数对图象的影响，进行分类讨论.【训练 3】设函数 f（x）x22x2，xt，t1，tR，求函数 f（x）的最小值.解 f（x）x22x2（x1）21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为 x1.当 t11，即 t1 时，函数图象如图（3）所示，函数 f（x）在区间t，t1上为增函数，所以最小值为 f（t）t22t2.综上可知，f（x）mint21，t1.考点四 一元二次方程根的分布 角度 1 两根在同一区间【例 41】若二次函数 yx2mx1 的图象与两端点为 A（0，3），B（3，0）的线段 AB 有两个不同的交点，求实数 m 的取值范围.解 线段 AB 的方程为x3y31
9、（x0，3），即 y3x（x0，3），由题意得方程组y3x，yx2mx1，消去 y 得 x2（m1）x40，由题意可得，方程在 x0，3内有两个不同的实根，令 f（x）x2（m1）x4，则（m1）2160，0m123，f（0）40，f（3）103m0，解得m3，1m5，m103，所以 3m103.故实数 m 的取值范围是3，103.角度 2 两根在不同区间【例 42】求实数 m 的取值范围，使关于 x 的方程 x22（m1）x2m60.（1）一根大于 1，另一根小于 1；（2）两根，满足 014；（3）至少有一个正根.解 令 f（x）x22（m1）x2m6，（1）由题意得 f（1）4m50，解
10、得 m0，f（1）4m50，解得m3，m75，所以75m0，f（0）2m60，2（m1）20，解得3m1.当方程有一个正根一个负根时，f（0）2m60，解得 m0，（2）24m0，无解.f（0）0，（2）m0，解得m0，（3）m0，（2）24m0.解得 m1，经验证，满足题意.又当 m0 时，f（x）2x1，它显然有一个为正实数的零点.综上所述，m 的取值范围是（，01.感悟升华 利用二次函数图象解决方程根的分布的一般步骤：（1）设出对应的二次函数；（2）利用二次函数的图象和性质列出等价不等式（组）；（3）解不等式（组）求得参数的范围.【训练 4】（1）已知二次函数 y（m2）x2（2m4）x
11、（3m3）与 x 轴有两个交点，一个大于 1，一个小于 1，求实数 m 的取值范围.（2）若关于 x 的方程 x22（m1）x2m60 有且只有一根在区间（0，3）内，求实数 m 的取值范围.解（1）令 f（x）（m2）x2（2m4）x（3m3）.由题意可知（m2）f（1）0，即（m2）（2m1）0，所以2m12.即实数 m 的取值范围是2，12.（2）令 f（x）x22（m1）x2m6，4（m1）24（2m6）0，0（m1）3，解得m1或m5，2m1，所以 m1.f（0）f（3）（2m6）（8m9）0，解得3m98.f（0）2m60，即 m3 时，f（x）x28x，另一根为 8（0，3），所
12、以舍去；f（3）8m90，即 m98时，f（x）x2174x154，另一根为54（0，3），满足条件.综上可得，3f（1），则（）A.a0，4ab0 B.a0，2ab0 D.af（1），所以函数图象应开口向上，即 a0，且其对称轴为 x2，即b2a2，所以 4ab0.2.设二次函数 f（x）ax22axc 在区间0，1上单调递减，且 f（m）f（0），则实数 m 的取值范围是（）A.（，0 B.2，）C.（，02，）D.0，2 答案 D 解析 f（x）的对称轴为 x1，由 f（x）在0，1上递减知 a0，且 f（x）在1，2上递增，f（0）f（2），f（m）f（0），结合对称性，0m2.3.若
13、函数 f（x）x2axa 在区间0，2上的最大值为 1，则实数 a（）A.1 B.1 C.2 D.2 答案 B 解析 函数 f（x）x2axa 的图象为开口向上的抛物线，函数的最大值在区间的端点取得.f（0）a，f（2）43a，a43a，a1或a43a，43a1，解得 a1.4.若关于 x 的不等式 x2ax10 的解集中只有一个整数，且该整数为 1，则 a的取值范围为（）A.2，52 B.2，52 C.2，52 D.2，52 答案 A 解析 令 f（x）x2ax1，则 f（0）0，由题意可得f（1）0，f（2）0，解得 2a0，二次函数 f（x）ax2bxc 的图象可能是（）答案 D 解析
14、由 A，C，D 知，f（0）c0，所以 ab0，知 A，C 错误，D 满足要求；由 B 知 f（0）c0，所以 ab0，所以对称轴 xb2a0），若 f（m）0，则 f（m1）的值为（）A.正数 B.负数 C.非负数 D.正数、负数和零都有可能 答案 A 解析 设 f（x）x2xa0 的两个根为，由 f（m）0，则 m0，则|0，故选 A.8.（2016浙江卷）已知函数 f（x）x2bx，则“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 f（x）x2bxxb22b24，当 xb2
15、时，f（x）minb24.又 f（f（x）（f（x）2bf（x）f（x）b22b24，当 f（x）b2时，f（f（x）minb24，当b2b24时，f（f（x）可以取到最小值b24，即 b22b0，解得 b0 或 b2，故“b0”是“f（f（x）的最小值与 f（x）的最小值相等”的充分不必要条件.9.在交通工程学中常作如下定义：交通流量 Q（辆/小时）为单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度 V（千米/小时）为单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度 K（辆/千米）为单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的 V 和 K 满足一个线性关系，即 Vv01Kk0（其中 v0，k0是正数
16、），则以下说法正确的是（）A.随着车流密度增大，车流速度增大 B.随着车流密度增大，交通流量增大 C.随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D.随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 答案 D 解析 由 Vv01Kk0，得 Kk0k0v0V，由单位关系得 QVKVk0k0v0V k0v0V2k0V，可以看成 Q 与 V 的二次函数，开口向下，图象先增大，再减小，所以随着车流速度 V 的增大，交通流量 Q 先增大、后减小.二、填空题 10.已知函数 f（x）x24xa，x0，1，若 f（x）有最小值2，则 f（x）的最大值为 .答案 1 解析 f（x）x24xa（x2）2a4，函数 f（x
17、）x24xa 在0，1上单调递增，当 x0 时，f（x）取得最小值，当 x1 时，f（x）取得最大值，f（0）a2，f（1）3a321.11.已知二次函数 f（x）满足 f（2x）f（2x），且 f（x）在0，2上是增函数，若 f（a）f（0），则实数 a 的取值范围是 .答案 0，4 解析 由题意可知函数 f（x）的图象开口向下，对称轴为 x2（如图），若 f（a）f（0），从图象观察可知 0a4.12.已知 f（x）x2（xt），x（xt），若存在实数 t，使函数 yf（x）a 有两个零点，则 t 的取值范围是 .答案（，0）（0，1）解析 由题意知函数 f（x）在定义域上不单调，如图，当
18、 t0或 t1 时，f（x）在 R 上均单调递增，当 t0 时，在（，t）上 f（x）单调递增，且 f（x）0，在（0，）上 f（x）单调递增，且 f（x）0.故要使得函数 yf（x）a 有两个零点，则 t 的取值范围为（，0）（0，1）.13.已知 f（x1）x25x4.（1）f（x）的解析式为 ；（2）当 x0，5时，f（x）的最大值和最小值分别是 .答案（1）x27x10（2）10，94 解析（1）f（x1）x25x4，令 x1t，则 xt1，f（t）（t1）25（t1）4t27t10，f（x）x27x10.（2）f（x）x27x10，其图象开口向上，对称轴为 x72，720，5，f（x
19、）minf7294，又 f（0）10，f（5）0.f（x）的最大值为 10，最小值为94.14.（2018浙江卷）已知 R，函数 f（x）x4，x，x24x3，x.当 2 时，不等式 f（x）0 的解集是 .若函数 f（x）恰有 2 个零点，则 的取值范围是 .答案（1，4）（1，3（4，）解析 若 2，则当 x2 时，令 x40，得 2x4；当 x2 时，令 x24x30，得 1x2.综上可知 1x4，所以不等式 f（x）0 的解集为（1，4）.令 x40，解得 x4；令 x24x30，解得 x1 或 x3.因为函数 f（x）恰有 2 个零点，结合函数的图象（图略）可知 14.15.设对任意
20、的实数 x1，1，不等式 x2ax3a12 解析 法一 令 f（x）x2ax3a，则要使满足条件，则f（1）0，f（1）0，1a3a0，1a3a12.法二 因为 x1，1，所以不等式 x2ax3ax23x恒成立，即 ax23xmax.令 yx23x，再令 t3x2，4，则 y（3t）2tt9t6，因为该函数在2，3）上递减，在（3，4上递增，且 y|t212，y|t414，所以可知a12.16.已知在（，1上递减的函数 f（x）x22tx1，且对任意的 x1，x20，t1，总有|f（x1）f（x2）|2，则实数 t 的取值范围是（）A.2，2 B.1，2 C.2，3 D.1，2 答案 B 解析
21、 由于 f（x）x22tx1 的图象的对称轴为 xt，又 yf（x）在（，1上是减函数，所以 t1.则在区间0，t1上，f（x）maxf（0）1，f（x）minf（t）t22t21t21，要使对任意的 x1，x20，t1，都有|f（x1）f（x2）|2，只需 1（t21）2，解得 2t 2.又 t1，1t 2.能力提升题组 17.二次函数 f（x）ax2bxc，a 为正整数，若 f（0）2，f（2）2，f（x）有两个小于 2 的不等正零点，则 a 的最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6 答案 A 解析 因为 a 为正整数，所以当 a 越大时，yf（x）的图象的开口越小，当 a 越小时，y
22、f（x）的图象的开口越大，结合二次函数图象的对称性知，当 yf（x）的图象的开口最大时，yf（x）的图象过（0，2），（2，2）两点，a 的取值符合题意，则 c2，4a2bc2，b2a1，可得 b2a，又 b24ac0，解得 a2，因为 a 为正整数，所以 a 的最小值为 3，故选 A.18.（2020浙江新高考仿真卷四）设函数 f（x）sin2xacos xb 在0，2上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm（）A.与 a 有关，且与 b 有关 B.与 a 有关，且与 b 无关 C.与 a 无关，且与 b 无关 D.与 a 无关，且与 b 有关 答案 B 解析 令 tcos x，则 g（t）
23、t2atb1（0t1），由题意，当a20，即 a0 时，g（0）为最大值，g（1）为最小值，此时 Mm1a；当a21，即 a2 时，g（0）为最小值，g（1）为最大值，此时 Mma1；当12a21，即 1a2 时，Mga2，mg（0），此时 Mma24；当 0a212，即 0a1 时，Mga2，mg（1），此时 Mma241a.综上所述，Mm 与 a 有关，但与 b 无关，故选 B.19.（2021杭州学军中学模拟）已知函数 f（x）x2txt（t0），若 x1，0时，f（x）max2，则 t ；记集合 Ax|f（x）0，若 AZ（Z 为整数集）中恰有一个元素，则t 的取值范围为 .答案 12
24、 92，4 解析 因为 t0，所以当 x1，0时，由t20，得 f（x）maxf（1）1tt2，解得 t12，因为 AZ 中恰有一个元素，所以 t24（t）0，解得 t0 或 t4，又因为 t0，所以 t4，则 f（1）10，f（2）4t0，则 f（3）92t0，解得 t92，即 t 的取值范围为92，4.20.已知函数 f（x）x2axb（a，bR），对于任意实数 a，总存在实数 m，当xm，m1时，使得 f（x）0 恒成立，则 b 的取值范围为 .答案，14 解析 设 f（x）x2axb0 有两根 x1，x2，4ba2，x1x2a，x1x2b，对于任意实数 a，总存在实数 m，当 xm，m1时，使得 f（x）0 恒成立，（x1x2）21 恒成立，a214b 恒成立，4b（a21）min1，b14，故 b 的取值范围为，14.