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1、 一元二次方程 一、教材分析 本章的主要内容包括：21.1 一元二次方程及其有关概念,21.2 一元二次方程的解法（配方法、公式法、因式分解法）,21.3 运用一元二次方程分析和解决实际问题。其中解一元二次方程的基本思路和具体解法是本章的重点内容。方程是科学研究中重要的数学思想方法,也是后续内容学习的基础和工具,本章是对一元一次方程知识的延续和深化,同时为二次函数的学习作好准备。数学建模思想的教学在本章得到进一步渗透和巩固。二、学情分析 学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本章将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方
2、程的一般形式.根据已学的平方根的意义来解形如 x2=p（p0）的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p（p0）型的一元二次方程解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。这样容易完成学习内容。三、教学目标（结合课标）1.理解一元二次方程的定义关键注意三点：整式、一个未知数、最高次数为 2。对一元二次方程理解时，一定注意“a 0”这一条
3、件。把一个方程化为一般形式时应用了解一元一次方程的变形方法：去分母-去括号-移项-合并同类项。注意:当 a 是负值时，一般转化为正数；多给出 b=0 或 c=0 或 b、c 同时为 0 的例子。如：03,01,0222xxxx。2.直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法是一元二次方的基本解法，解二次方程的基本策略是将其转化为一元一次方程降次。本单元首先通过简单的一元二次方程，引导学生认识直接开平方法解方程；然后讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比已变为完全平方式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法；以配方法为基础推 导一元二次方程的求根公式，于是得到公式法。最后讨论因式分解法。
4、本节知识学习时，注意对相关知识的复习、联系，多鼓励学生应用不同的解法发表自己的意见，体会数学思想方法的作用，逐步养成主动探究和应用的习惯。3.结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。（1）直接开平方法（1 课时）：初一已学过平方根和算术平方根，学生见过此类型，当时只是求值，没有提到过一元二次方程，现在变成正规解法。教学时，计划由浅入深的安排一下类型题：x2=a(a0)bx2=a(a、b 同号，b 0)（x-b）2=a(a0)m(x-b)2=a (a、m 同号,m
5、0)m(nx-b)2=a (a、m 同号,m、n 0)（2）配方法（2 课时）：配方法不仅是解一元二次方程的一种基本方法，而且在以后讨论二次函数等其他数学概念时也离不开配方法。因此，配方法在数学中成为一种很重要的式子变形。它的背后隐含了创造条件实现化归的思想，这种思想对培养学生的数学能力影响很大。教学中对配方法及化归思想应充分重视。引导学生理解这种方法的道理，结合道理去记忆配方的具体步骤。第一课时：安排 a=1的情况,主要掌握配方的方法：方程两边加一次项系数一半的平方。注意：如 x2-4x-1=0中，一次项系数为负数时易出错。第二课时：安排 a 1 的情况，总结出配方法的步骤：方程两边除以二次
6、项系数，把方程化为二次项系数为 1 的类型；方程两边加一次项系数一半的平方，配成完全平方式；直接开平方；写出结果。（3）公式法（2 课时）由配方法引出求根公式。推导求根公式时，特别给出条件“当 b2-4ac0时”。教学中应 当使学生认识到这一条件是根据2)2(abx 非负而产生的，如果 b2-4ac0,就有2)2(abx 0.这在实数范围是不可能的。因此，这里要约定 b2-4ac0.得出求根公式后，可知方程ax2+bx+c=0(a0)根是由系数 a、b、c 所确定的。教科书中没有提出判别式的名称，但在公式法之后进行了归纳，总结了 b2-4ac值的三种情况和他们对应的一元二次方程根的三种情况：有
7、两个不等的实数根；有两个相等的实数根；合称为有实数根，没有实数根，但不能说没有根，这时方程的根是虚根。教学时总结出公式法解题的一般步骤：化为一般式；指出 a、b、c，带符号；写出求根公式；代入求解。（4）因式分解法（1 课时）：教科书中所用的因式分解法包括提公因式和公式法，这与以前学过的因式分解方法是一致的。对于某些一元二次方程，虽然用配方法和公式法可以解，但是用因式分解的方法解起来更简便。（5）习题课（1 课时）选择适当的方法解一元二次方程。21.2.4一元二次方程根与系数的关系（1课时）：本节内容为选学内容，进一步加深对一元二次方程及其根的认识。利用一元二次方程根与系数的关系，可以灵活地解
8、决许多问题，建议讲授本节内容为以后的学习做准备。但是在难度上要有所控制。学法点拨：公式法、配方法是对于任何一元二次方程都适用的方法，每个学生必须掌握，但解题时应先考虑因式分解法，当方程符合 ax2=c(a、c 同号，a 0)时，可用直接开平方法解方程。解一元二次方程时，要根据方程实际，灵活选择适当的方法。对于一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c=0(a0),当 b2-4ac0时，可用公式法，一定要注意 b2-4ac的取值问题。配方法要先配方再降次；“配方法”不仅应用在一元二次方程中，注意配方在其他方面的应用。因式分解法要先使方程的一边为两个一次因式相乘，另一边为 0，再分别使各一次因式为0
9、。配方法和公式法适用于所有的一元二次方程，因式分解法应用时要观察方程的特点，灵活选择方法。易错点 用因式分解法没有注意方程是否写成 A*B=0形式。如，解方程（x-1）(x-3)=8,误解为 x1=1,x2=3.(2)用公式法解方程时，没有化为一般式，造成符号错误或混淆 a、b、c。如，解方程 x2-4x=2，误认为 a=1,b=4,c=2.(3)丢根。如，解方程 3(x+2)=x2+2x,两边同时除以(x+2),只解得 x=3.21.3 实际问题与一元二次方程 结合实际问题，分别讨论传播问题、增长率问题、几何图形面积问题。本节的重点是分析实际问题中的数量关系并以方程的形式进行表示。体现了数学
10、建模思想的“螺旋式上升，不断深化”的理念。教学重点：进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力。教学难点：在探究过程中正确地建立一元二次方程。突破难点的关键：弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系。学法点拨：列一元二次方程解应用题的一般步骤为：审、设、列、解、验、答。（3）列方程；（4）解方程；（6）写出答案；（7）答话。增长率问题常用公式 a(1x)2=b，a为原数，b为增长或降低后的数（即现在的数），x为增长率或降低率，2 表示两次增长或降低。易错点 审题不清，误解题意，不能正
11、确地找出等量关系；解方程后未经检验就盲目作答。检查方程两根是否符合实际意义，尤其当两根都是正数的情况。如教材,探究 2 问题中，方程两根都是正数，但他们并不都适合问题的解。必须根据它们的值的大小来确定哪个合乎实际。这种取舍更多的要考虑问题的实际意义，教学中应注意培养学生将数学知识与实际问题相结合的能力。四、教学重点难点 应对措施和思路 教学重点 1.一元二次方程及有关概念的理解.2.一元二次方程的四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。教学难点 一元二次方程及有关概念的理解.选择合适的解法 五、课时安排 21.1 一元二次方程 2课时 21.2 降次解一元二次方程 7课时 *21.2.4 一元二次方程根与系数的关系 1课时 21.3 实际问题与一元二次方程 3课时 小结 2课时 六、知识结构 七、其它补充