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1、.人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数一元，并且未知数的最高次数是 2二次的方程，叫做一元二次方程。注意一下几点：只含有一个未知数；未知数的最高次数是 2；是整式方程。知识点二 一元二次方程的一般形式 一般形式：a*2+b*+c=0(a 0).其中，a*2是二次项，a 是二次项系数；b*是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。知识点三 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。典型例题：1、关于*的方程m+3*
2、21m+m-3-1=0 是一元二次方程，求 m 的值。21.2 降次解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如*2=a(a0)的方程，根据平方根的定义可解得*1=a,*2=a.（2）直接开平方法适用于解形如*2=p 或(m*+a)2=p(m0)形式的方程，如果 p0，就可以利用直接开平方法。.（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是
3、：移项；使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1；两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；解一元一次方程，求出原方程的根。知识点二 配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。1把常数项移到等号的右边；2方程两边都除以二次项系数；3方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；4假设等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。21.2.2 公式法 知识点一 公式法解一元二次方程（1）一般地，对于一元二次方程 a*2+b*
4、+c=0(a0)，如果 b2-4ac0，则方程的两个根为*=aacbb242，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数 a,b,c 的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程a*2+b*+c=0(a0)的过程。.（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：方程化为一般形式：a*2+b*+c=0(a0)，一般 a 化为正值 确定公式中 a,b,c 的值，注意符号；求出 b2-4ac 的值；假设 b2-4ac0，则把 a,b,c 和 b-4ac 的值代入公式即可求解，假设 b2-4ac0
5、，则方程无实数根。知识点二 一元二次方程根的判别式 式子 b2-4ac 叫做方程 a*2+b*+c=0(a0)根的判别式，通常用希腊字母表示它，即=b2-4ac.0，方程 a*2+b*+c=0(a0)有两个不相等的实数根 一元二次方程 =0，方程 a*2+b*+c=0(a0)有两个相等的实数根 根的判别式 0，方程 a*2+b*+c=0(a0)无实数根 21.23 因式分解法 知识点一 因式分解法解一元二次方程（1）把一元二次方程的一边化为 0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法。（2）因式分解法的详细步骤：移项，将所有的项都移到
6、左边，右边化为 0；把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式；令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；解一元一次方程即可得到原方程的解。.知识点二 用适宜的方法解一元一次方程 方法名称 理论依据 适用围 直接开平方法 平方根的意义 形如*2=p 或m*+n2=p(p0)配方法 完全平方公式 所有一元二次方程 公式法 配方法 所有一元二次方程 因式分解法 当 ab=0，则 a=0 或 b=0 一边为 0，另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程。21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 假设一元二次方程*2+p*+q=0 的两个根为*1,*2,则有*
7、1+*2=-p,*1*2=q.假设一元二次方程 a2*+b*+c=0(a0)有两个实数根*1,*2,则有*1+*2=ab,*1*2=ac 22.3 实际问题与一元二次方程 知识点一 列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审：是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系。（2）设：是指设元，也就是设出未知数。（3）列：列方程是关键步骤,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程。（4）解：就是解方程，求出未知数的值。（5）验：是指检验方程的解是否保证实际问题有意义，符合题意。（6）答：写出答
8、案。.知识点二 列一元二次方程解应用题的几种常见类型（1）数字问题 三个连续整数：假设设中间的一个数为*，则另两个数分别为*-1，*+1。三个连续偶数奇数：假设中间的一个数为*，则另两个数分别为*-2,*+2。三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c，则这个三位数是100a+10b+c.2增长率问题 设初始量为 a，终止量为 b，平均增长率或平均降低率为*，则经过两次的增长或降低后的等量关系为 a1x2=b。3利润问题 利润问题常用的相等关系式有：总利润=总销售价-总本钱；总利润=单位利润总销售量；利润=本钱利润率 4图形的面积问题 根据图形的面积与图形的边、高等相关元素
9、的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程。中考回忆 1.(2017 中考)关于*的方程 2*2+m*+n=0 的两个根是-2 和 1,则nm的值为(C)A.-8 B.8 C.16 D.-16 2.(2017*中考)关于*的方程*2+*-a=0 的一个根为 2,则另一个根是(A)A.-3 B.-2 C.3 D.6 3.(2017 中考)一元二次方程 2*2-5*-2=0 的根的情况是(B)A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.(2017 中考)假设*1,*2是一元二次方程*2+3*-5=0 的两个根,则*2+*1的值是
10、 15.5.(2017 中考)如果关于*的方程*2-4*+2m=0 有两个不相等的实数根,则m的取值围是m0,即m-;由根与系数的关系可知*1+*2=2m+3,所以 2m+3=m2,得m1=-1,m2=3,故m=3.8.*地特产专卖店销售核桃,其进价为 40 元/千克,如果按 60 元/千克出售,则平均每天可售出 100 kg.后来经过市场调查发现,单价每降低 2 元,则平均每天的销售量可增加 20 kg.假设该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2 240 元,请答复:(1)每千克核桃应降价多少元“(2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售“(1
11、)设每千克核桃应降价*元,根据题意,得(60-*-40)=2 240.化简,得*2-10*+24=0.解得*1=4,*2=6.答:每千克核桃应降价 4 元或 6 元.(2)由(1)可知每千克核桃可降价4元或6元,因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.此时,售价为60-6=54(元),所以100%=90%.答:该店应按原售价的九折出售.第 22 章 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一局部 根底知识 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，则y叫做x的二次函数.2.二次函数2axy 的性质 1抛物线2axy 的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2函数2axy 的图像
12、与a的符号关系.当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点.3顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a.3.二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于包括重合y轴的抛物线.4.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越大，抛物线的开口越小；a越小，抛物线的开口越大。
13、平行于y轴或重合的直线记作hx.特别地，y轴记作直线0 x.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a一样，则抛物线的开口方向、开口大小完全一样，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 1公式法：abacabxacbxaxy442222，.顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.3抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对
14、称性进展验证，才能做到万无一失.9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用 1a决定开口方向及开口大小，这与2axy 中的a完全一样.2b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线 abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab即a、b同号时，对称轴在y轴左侧；0ab即a、b异号时，对称轴在y轴右侧，“左同右异.3c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点0，c：0c，抛物线经过原点;0c,与y轴交于正半轴；0c,与y轴交于负半轴.10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶
15、点坐标 2axy 当0a时 开口向上 当0a时 开口向下 0 xy轴 0,0 kaxy2 0 xy轴(0,k)2hxay hx (h,0)khxay2 hx (h,k)cbxaxy2 abx2(abacab4422，)11.用待定系数法求二次函数的解析式.1一般式：cbxaxy2.图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：khxay2.图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3交点式：图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.12.直线与抛物线的交点 1y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).2与y轴平行的直线hx 与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(
16、h,cbhah2).3抛物线与x轴的交点 二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点顶点在x轴上0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点 同3一样可能有 0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.5一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组 cbxaxynkxy2
17、的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点.6抛物线与x轴两交点之间的距离：假设抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故 中考回忆.1.(2017*中考)抛物线y=*2-4*+3 与*轴相交于点A,B(点A在点B左侧),顶点为M.平移该抛物线,使点M平移后的对应点M落在*轴上,点B平移后的对应点B落在y轴上,则平移后的抛物线解析式为(A)A.y=*2+2*+1 B.y=*2+2*-1C.y=*2-2*+1D.y=*2-2*-1 2.(2017 中考)在平面
18、直角坐标系*Oy中,二次函数y=a*2+b*+c的图象如下图,以下说确的是(B)A.abc0 B.abc0,b2-4ac0 C.abc0,b2-4ac0,b2-4ac0 3.(2017 中考)如果关于*的方程*2-4*+2m=0 有两个不相等的实数根,则m的取值围是m0),则P(m,-m+3),M(m,-m2+2m+3),PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=-,PM最大值为 (3)如图,过点Q作QGy轴交BD于点G,作QHBD于点H,则QH=2 设Q(*,-*2+2*+3),则G(*,-*+3),QG=|-*2+2*+3-(-*+3)|=|-*2+3*|.DOB是等腰直角三角形
19、,3=45,2=1=45.sin1=,QG=4.得|-*2+3*|=4,当-*2+3*=4 时,=9-160,方程无实数根.当-*2+3*=-4 时,解得:*1=-1,*2=4,Q1(4,-5),Q2(-1,0).模拟预测 1.二次函数y=k*2-6*+3 的图象与*轴有交点,则k的取值围是(D)A.k3 B.k3,且k0C.k3 D.k3,且k0 2.假设点M(-2,y1),N(-1,y2),P(8,y3)在抛物线y=-*2+2*上,则以下结论正确的选项是(C)A.y1y2y3 B.y2y1y3C.y3y1y2D.y1y3y2 解:*=-2 时,y1=-*2+2*=-(-2)2+2(-2)=
20、-2-4=-6,.*=-1 时,y2=-*2+2*=-(-1)2+2(-1)=-2=-2,*=8 时,y3=-*2+2*=-82+28=-32+16=-16.-16-6-2,y3y10)的两个实数根*1,*2满足*1+*2=4和*1*2=3,则二次函数y=a*2+b*+c(a0)的图象有可能是()解析:*1+*2=4,-=4.二次函数的对称轴为*=-=2.*1*2=3,=3.当a0 时,c0,二次函数图象交于y轴的正半轴.4.小明在用“描点法画二次函数y=a*2+b*+c的图象时,列了如下表格:*-2-1 0 1 2 y -6 -4-2 -2-2 根据表格中的信息答复以下问题:该二次函数y=a
21、*2+b*+c在*=3 时,y=-4.5.假设关于*的函数y=k*2+2*-1 与*轴仅有一个公共点,则实数k的值为k=0 或k=-1.6.抛物线y=-*2+b*+c的图象如图,假设将其向左平移 2 个单位长度,再向下平移 3 个单位长度,则平移后的解析式为.解析:由题中图象可知,对称轴*=1,所以-=1,即b=2.把点(3,0)代入y=-*2+2*+c,得c=3.故原图象的解析式为y=-*2+2*+3,即y=-(*-1)2+4,然后向左平移2 个单位,再向下平移 3 个单位,得y=-(*-1+2)2+4-3,即y=-*2-2*.答案:y=-*2-2*7.如图,假设抛物线L1的顶点A在抛物线L
22、2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上(点A与点B不重合),我们把这样的两抛物线L1,L2互称为“友好抛物线,可见一条抛物线的“友好抛物线可以有很多条.(1)如图,抛物线L3:y=2*2-8*+4 与y轴交于点C,试求出点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标;(2)请求出以点D为顶点的L3的“友好抛物线L4的解析式,并指出L3与L4中y同时随*增大而增大的自变量的取值围;(3)假设抛物线y=a1(*-m)2+n的任意一条“友好抛物线的解析式为y=a2(*-h)2+k,请写出a1与a2的关系式,并说明理由.解:(1)抛物线L3:y=2*2-8*+4,y=2(*-2)2-4.顶点为(2,-4
23、),对称轴为*=2,设*=0,则y=4,C(0,4).点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为(4,4).(2)以点D(4,4)为顶点的L3的友好抛物线L4还过点(2,-4),L4的解析式为y=-2(*-4)2+4.L3与L4中y同时随*增大而增大的自变量的取值围是 2*4.(3)a1=-a2,理由如下:抛物线L1的顶点A在抛物线L2上,抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上,可以列出两个方程 由+,得(a1+a2)(m-h)2=0,a1=-a2.第二十三章 旋转 23.1 图形的旋转 知识点一 旋转的定义 在平面，把一个平面图形绕着平面*一点 O 转动一个角度，就叫做图形的旋转，点 O 叫做
24、旋转中心，转动的角叫做旋转角。我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。知识点二 旋转的性质 旋转的特征：1对应点到旋转中心的距离相等；2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3旋转前后的图形全等。理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。2对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。3图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。知识点三 利用旋转性质作图 旋转有两条重要性质：1任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；2对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。步骤可分为：连：即连接图形中每一个关键点与旋转中
25、心；转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度作旋转角 截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；接：即连接到所连接的各点。23.2 中心对称 知识点一 中心对称的定义.中心对称：把一个图形绕着*一个点旋转 180，如果它能够与另一个图形重合，则就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。注意以下几点：中心对称指的是两个图形的位置关系；只有一个对称中心；绕对称中心旋转 180两个图形能够完全重合。知识点二 作一个图形关于*点对称的图形 要作出一个图形关于*一点的成中心对称的图形，关键是作出该图形上关键点关于对称中心的对称点。最后将对称点按照原图形的形状连接
26、起来，即可得出成中心对称图形。知识点三 中心对称的性质 有以下几点：（1）关于中心对称的两个图形上的对应点的连线都经过对称中心，并且都被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形能够互相重合，是全等形；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行或共线且相等。知识点四 中心对称图形的定义 把一个图形绕着*一个点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，则这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。知识点五 关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点 p*,y关于原点对称点为-*,-y。中考回忆 1.(2017 中考)以下图案中,属
27、于轴对称图形的是(A)2.(2017*中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面 4 个汉字中,可以看作是轴对称图形的是(C)3.(2017 呼和浩特中考)图中序号对应的四个三角形,都是ABC这个图形进展了一次变换之.后得到的,其中是通过轴对称得到的是(:A)A.B.C.D.解析:轴对称是沿着*条直线翻转得到新图形,通过轴对称得到的是.应选 A.4.(2017 中考)以下图形中,是轴对称图形但不是中心对称图形的是(A)A.等边三角形 B.平行四边形 C.正六边形 D.圆 5.(2017 中考)点P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(C)A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D
28、.(-2,1)解析:P(1,-2)关于y轴对称的点的坐标是(-1,-2),应选 C.6.(2017 中考)如图,在矩形ABCD中,BC=8,CD=6,将ABE沿BE折叠,使点A恰好落在对角线BD上的点F处,则DE的长是(C)A.3 B.C.5 D.解析:在矩形ABCD中,BAE=90,且由折叠可得BEFBEA,BFE=90,AE=EF,AB=BF,在 RtABD中,AB=CD=6,BC=AD=8,根据勾股定理得BD=10,即FD=10-6=4,设EF=AE=*,则有ED=8-*,根据勾股定理得*2+42=(8-*)2,解得*=3,所以DE=8-3=5,应选 C.7.(2017 枣庄中考)如图,
29、把正方形纸片ABCD先沿对边中点所在的直线对折后展开,折痕为MN,再过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,折痕为BE.假设AB的长为 2,则FM的长为(B)A.2 B.C.D.1 解析:四边形ABCD为正方形,AB=2,过点B折叠纸片,使点A落在MN上的点F处,FB=AB=2,BM=1,则在 RtBMF中,FM=,应选 B.8.(2017 中考)如图,将正方形ABCD折叠,使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重合),折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD的周长为m,CHG的周长为n,则 的值为(B)A.B.C.D.随H点位置的变化而变化
30、DHE+CHG=90.解析:设CH=*,DE=y,则DH=-*,EH=EA=-y,EHG=90,DHE+DEH=90,.DEH=CHG,又D=C=90,DEHCHG,即,CG=,HG=,CHG的周长n=CH+CG+HG=,在 RtDEH中,DH2+DE2=EH2,即+y2=,整理得-*2=,n=CH+HG+CG=.故.应选 B.模拟预测 1.以下标志中,可以看作是中心对称图形的是(D)2.以下图形中,是轴对称图形,但不是中心对称图形的是(B)3.如图,把一矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC相交于点E,则以下结论一定正确的选项是()A.DAB=CAB B.ACD=BC
31、D C.AD=AE D.AE=CE 答案:D 4.如图,把一长方形纸片对折,折痕为AB,再以AB的中点O为顶点把平角AOB三等分,沿平角的三等分线折叠,将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形,则剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是(D)A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 解析:根据第一次对折以及三等分平角可知将 360进展 6 等分,即多边形的中心角为 60,由最后的剪切可知所得图形符合正六边形特征.应选 D.5.如图,直线l是四边形ABCD的对称轴.假设AB=CD,有下面的结论:ABCD;ACBD;AO=OC;ABBC.其中正确的结论有.(填序号)答案:
32、6.如图,在四边形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,将BMN沿MN翻折,得FMN,假设MFAD,FNDC,则B=95.解析:FNDC,BNF=C=70.MFAD,BMF=A=100.由翻折知,F=B.又BMF+B+BNF+F=360,100+B+70+F=360,F=B=95.7.如图,在平面直角坐标系中,假设ABC与A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是(3,-1)8.在 RtABC中,BAC=90,AB=3,M为边BC上的点,连接AM(如图).如果ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,则点M到AC的距离是 2.解析:如图,过点M作MNAC于N,由折叠性质
33、可知,BAM=CAM=45.点B恰好落在边AC的中点处,AC=2AB=6.ANM=90,CAM=AMN=45.MN=AN.由 RtMRtCAB,得,.MN=2.9.ABC在平面直角坐标系中的位置如图.(1)作出ABC关于y轴对称的A1B1C1,并写出A1B1C1各顶点的坐标;(2)将ABC向右平移 6 个单位,作出平移后的A2B2C2,并写出A2B2C2各顶点的坐标;(3)观察A1B1C1与A2B2C2,它们是否关于*直线对称“假设是,请在图上画出这条对称轴.解:(1)A1B1C1如图,A1(0,4),B1(2,2),C1(1,1).(2)A2B2C2如图.A2(6,4),B2(4,2),C2
34、(5,1).(3)A1B1C1.与A2B2C2关于直线*=3 对称.如图.第二十四章 圆 24.1.1 圆 知识点一 圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。比拟圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进展描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。知识点二 圆的相关概念（1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。（2）弧：圆上
35、任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3）等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。（4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知识点二 垂径定理 1垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如下图，直径为MD，AB 是弦，且 CDAB，M A B.垂径定理的推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦
36、所对的两条弧 如上图所示，直径 MD 与非直径弦 AB 相交于点 C，CDAB AC=BC AM=BM AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点 弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余的各组量也相等。（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比方两个同心圆中，两个圆心角一
37、样，但此时弧、弦不一定相等。24.1.4 圆周角 知识点一 圆周角定理 （1）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。（2）圆周角定理的推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，90的圆周角所对弦C AC=BC AM=BM 垂足为 C .是直径。（3）圆周角定理提醒了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。“同弧或等弧是不能改为“同弦或等弦的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。知识点二 圆接四边形及其性质 圆接多边形：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆接四边形的性质：(1)圆
38、接四边形的对角互补。(2)四个角的和是 360(3)圆接四边形的外角等于其对角 24.2 点、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系 知识点一 点与圆的位置关系（1）点与圆的位置关系有：点在圆外，点在圆上，点在圆三种。（2）用数量关系表示：假设设O 的半径是 r，点 P 到圆的距离 OP=d，则有：点 P 在圆外 dr；点 p 在圆上 d=r；点 p 在圆 dr。知识点二 1经过在同一条直线上的三个点不能作圆 2不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。知识点三 三角形的外接圆与外心（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三
39、角形的外接圆。（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。知识点四 反证法 .（1）反证法：假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。（2）反证法的一般步骤：假设命题的结论不成立；从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与等相矛盾的结论；由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。24.2.2 直线和圆的位置关系 知识点一 直线与圆的位置关系（1）直线与圆的位置关系有：相交、相切、相离三种。（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示 假设设O 的半径是 r，直线 l 与圆
40、心 0 的距离为 d，则有：直线 l 和O 相交 d r；直线 l 和O 相切 d=r；直线 l 和O 相离 d r。知识点二 切线的判定和性质（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。（3）切线的其他性质：切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。知识点三 切线长定理（1）切线长的定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和
41、圆心的连线平分两条切线的夹角。（3）注意：切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。知识点四 三角形的切圆和心(1)三角形的切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆。这个三角形叫做圆的外切三角形。(2)三角形的心：三角形切圆的圆心叫做三角形的心。(3)注意：三角形的心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的心时，过三角形的顶点和心的射线，必平分三角形的角。(4)直角三角形切圆半径的求解方法：直角三角形直角边为 a.b，斜边为 c，直角三角形切圆半径为 r.a-r+b-r=c,得 2cb
42、ar。根据三角形面积的表示方法：21ab=rcba)(21,cbaabr.24.3 正多边形和圆 知识点一 正多边形的外接圆和圆的接正多边形 正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成 nn 是大于 2 的自然数等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。正多边形的中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径。正多边形的中心角：正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。正多边形的边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。.知识点二 正多边形的性质（1）各边相等，各角相等；（2）都是
43、轴对称图形，正 n 边形有 n 条对称轴，每一条对称轴都经过 n 边形的中心。（3）正 n 边形的半径和边心距把正多边形分成 2n 个全等的直角三角形。（4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正 n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都经过正 n 边形的中心；当正 n 边形的边数为偶数时，这个正 n 边形也是中心对称图形，正 n 边形的中心就是对称中心。（5）正 n 边形的每一个角等于nn180)2(，中心角和外角相等，等于n360。24.4 弧长和扇形面积 知识点一 弧长公式 L=180Rn 在半径为 R 的圆中，360的圆心角所对的弧长就是圆的周长 C=2R，所以 n的圆心角所对的弧长的计
44、算公式 L=360n2R=180Rn。知识点二 扇形面积公式 在半径为 R 的圆中，360的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积 S=R2，所以圆心角为 n的扇形的面积为 S扇形=3602Rn。比拟扇形的弧长公式和面积公式发现：S扇形=lRlRRRnRns21,21211803602扇形所以 知识点三 圆锥的侧面积和全面积 圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为 r，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为 2r，因此圆锥的侧面积122r lrls 圆锥侧。圆锥的全面积为2rrlsss底圆锥侧圆锥全。.中考回忆 1.
45、(2017 中考)如图,AB是O的直径,弦CDAB,BCD=30,CD=4,则S阴影=(B)A.2B.C.D.2(2017 中考)如图,AB是O的直径,且AB经过弦CD的中点H,cos CDB=,BD=5,则OH的长度为(D)A.B.C.1 D.3.(2017 中考)如图,在O中,点D在O上,CDB=25,则AOB=(B)A.45 B.50 C.55 D.60 4.(2017 中考)如图,AB是O的直径,点C,D,E在O上,假设AED=20,则BCD的度数为(B)A.100 B.110C.115 D.120 5.(2017 黄冈中考)如图,在O中,OABC,AOB=70,则ADC的度数为(B)
46、A.30 B.35 C.45 D.70 6.(2017 中考)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.以下四个角中,一定与ACD互余的角是(D)A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD 7.(2017 黔东南州中考)如图,O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,A=15,半径为 2,则弦CD的长为(A)A.2 B.-1 C.D.4 模拟预测 1.如图,点A,B,C在O上,ABO=32,ACO=38,则BOC等于(B)A.60 B.70C.120 D.140 解析:如图,过点A作O的直径,交O于点D.在OAB中,OA=OB,.BOD=OBA+OAB=232=64.同理可得,COD
47、=OCA+OAC=238=76,BOC=BOD+COD=140.应选 D.2.如图,AB是O的弦,半径OA=2,AOB=120,则弦AB的长是(B)A.2 B.2C.D.3 3.如图,四边形ABCD接于O,F是上一点,且,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.假设ABC=105,BAC=25,则E的度数为(B)A.45 B.50 C.55 D.60 4.如图,O是ABC的外接圆,B=60,O的半径为 4,则AC的长等于(A)A.4 B.6C.2 D.8 5.如图,AB是O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,BAC=BOD,则O的半径为(B.)A.4B.5C.4 D.3 BAC
48、=BOD,ABCD.AE=CD=8,DE=CD=4.设OD=r,则OE=AE-r=8-r.在 RtODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.OD2=DE2+OE2,r2=42+(8-r)2,解得r=5.6.假设O的半径为 1,弦AB=,弦AC=,则BAC的度数 为 15或 75.7.如图,ABC是O的接三角形,点D是的中点,AOB=98,COB=120.则ABD的度数是 101.8.如图,将三角板的直角顶点放在O的圆心上,两条直角边分别交O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则APB为45.9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,P与*轴
49、交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),P的半径为,则点P的坐标为(3,2).10.如图,AB是O的直径,AC是弦,过点O作ODAC于点D,连接BC.(1)求证:OD=BC;(2)假设BAC=40,求的度数.(1)证明:(证法一)AB是O的直径,OA=OB.又ODAC,ODA=BCA=90.ODBC.AD=CD.OD=BC.(证法二)AB是O的直径,C=90,OA=AB.ODAC,即ADO=90,C=ADO.又A=A,ADOACB.OD=BC.(2)解:(解法一)AB是O的直径,A=40,C=90的度数为:2(90+40)=260.(解法二)AB是O的直径,A=40,C=90,B=50.的度数
50、为 100.的度数为 260.第 25 章 随机事件与概率 25.1.1 随机事件 知识点一 必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件和不可能事件是否会发生，是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。知识点二 事件发生的可能性的大小 必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。25.1.2 概率 知识点 概率 一般地，对于一个随机事件 A，我们把刻画