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1、备课偶得 三角形中位线定理的再证明 王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。笔者在备课中发现它的证法有 8 种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。已知：如图 1，ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点，求证：DEBC 且 证法一、（构造法）如图 2，延长 DE 到 F，使 EF=DE，连结 AF、CF、DC E 为 AC 中点 AE=CE EF=DE 四边形 ADCF为平行四边形 CF AD D为AB中点 AD=BD BD CF 四边形 DBCF 为平行四边
2、形 DF BC DE=EF DEBC 且 证法二、（构造法）如图 3，过 CF 作 CFAB 交 DE 的延长线于 F，则 A=ACF E 为 AC 中点 AE=CF ADECFE（ASA）CF=AD D 为 AB 中点 AD=BD CF=BD CFBD CF BD 四边形 DBCF 为平行四边形 DF BC ADECFE DE=EF DEBC 且 证法三、（同一法）如图 4，过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，过 E作 EFAB，交 BC 于 F，则 B=ADE=EFC，AED=C 四边形 DBFE是平行四边形 EF=BD D 为 AB 中点 AD=BD EF=ADADEEFC（AAS）
3、AE=CE即 E为 AC 中点 E 为 AC 中点 E 与 E重合即 DEBC，ADEEFC，四边形 DBFE 为平行四边形 DE=CF DE=BF 即 DEBC 且 证法四、（相似法）如图 5，图 1 B C A D E 图 2 B C A D E F 图3 B C A D E F C 图 4 B A D E F E 图 5 B C A D E 12DEBCPPP12DEBCPP12DEBC12DEBC12DEBC12ADAEABACD、E 分别为 AB、AC 中点 A=A ADEABC ADE=B DEBC 且 证法五、（旋转拼图法）如图 6，以 AC 的中点 E 为中心，将ABC 绕点
4、E 旋转 180得ACF，取 CF 中点 G，连结 EG、DG，则四边形 ABCF 为平行四边形 AF BC D、G 分别为 AB、CF 的中点 AD FG 四边形 ADGF 为平行四边形 DG AF BC CFAB DAE=GCE ADECGE（SAS）AED=CEG D、E、G 在一条直线上 DEBC ADECGE DE=EG DEBC 且 证法六、（面积法）如图 7，取 BC 中点 F，连结 AF、EF，分别过 A、E作 AHBC，EGBC，垂足分别为 H、G，过 D 作 DMBC 于 M，则 F 为BC 中点 同理 DM EG 四边形 DMGE 为矩形 DEBC 同理 EFAB 四边形
5、 DBFE 为平行四边形 DE=BF DEBC 且 证法七、（解析法）如图 8，以点 B 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设 A（a，b）C（c，0）（c0）则，D（），E（）则 DEx 轴，DE=BC=c DEBC 且 证法八、（三角法）如图 9，取 BC 中点 F，连结 EF，设 AB=2c，AC=2b BC=2a，A=则 AD=c，AE=b，在ADE 中，在ABC 中，图 6 B C A D E F G H G 图 7 B C F M A D E yxO（B）C A D E 图 8 12DEADBCAB12DEBCPPPP12DEBC12DEBC,ABFACFAEFCEFSSSSVVVV14CEFABCSSVV12CFBC111242CF EGBC AHgggg12DMAHP12BFCFBC12DEBC12EGAH,2 2a b,22ac b222acac12DEBC222222cos2cosAD AEAbccbDEADAEgg222222cos2(2)(2)cos(2)(2)AB ACAcbcbBCACABggg224(2cos)bccb BC=2DE F 为 BC 的中点 DE=BF 同理 EF=BD 四边形 DBFE 为平行四边形 DEBF 即 DEBC 且 图 9 B C A D E F 224BCDE12DEBC