导数在研究函数中的应用测试题.pdf

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1、 1 导数在研究函数中的应用测试题 一 选择题本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1 假设函数 f(x)在 R 上是一个可导函数，那么 f(x)0 在 R 上恒成立是 f(x)在区间(-,+)内递增的()A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 2 原创题函数214yxx单调递增区间是 A.),0(B.(,1)C.1(,)2 D.),1(3 函数1)(23xaxxxf在),(上是单调函数,那么实数a的 取值范围是 A.),33,(B.3,3 C.),3()3,(D.)3,3(4 对于R上可

2、导的任意函数()f x，假设满足(1)()0 xfx，那么必有 A.(0)(2)2(1)fff B.(0)(2)2(1)fff C.(0)(2)2(1)fff D.(0)(2)2(1)fff 5 函数323922yxxxx有 A.极大值5，极小值27 B.极大值5，极小值11 C.极大值5，无极小值 D.极小值27，无极大值 6 f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1 有极大值和极小值，那么 a 的取值范围是()A -1a2 B -3a6 C a-1 或 a2 D a-3 或 a6 7改编题函数)(xf的定义域为开区间),(ba，导函数)(xf 在),(ba内的图象如下图，那么函数)(xf在

3、开区间),(ba内有极小值点 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8 原创题函数lnyxx的最小值为 abxy)(xfy?O 2 A.1e B.1e C.2e D.310 9 函数 f(x)x3bx2cxd 在区间1,2上是减函数，那么 bc()A 有最大值152 B 有最大值152 C 有最小值152 D 有最小值152 10 函数322xxy在区间2,a上的最大值为415,那么 a 等于()A.23 B.21 C.21 D.21或23 11 原创题半径为 5 的半圆有一内接矩形，当周长最大时其边长等于()A.52和152 B.5和4 5 C.4和7 D.以上都不对 122021山东高考

4、函数 y=x2-2sinx 的图象大致是()二 填空题共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的位置上 13 原创题.函数ln xyx的单调递增区间是_.14 函数322(),f xxaxbxa在1x时有极值10，那么ba,的值分别为_.15 假设函数 f(x)2xxa(a0)在1，)上的最大值为33，那么 a 的值为_.16 改编题.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,那么高为_.三 解答题本大题五个小题，共 52 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (本小题 10 分)cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，且在1x 处的切线方程是

5、2yx 1求)(xfy 的解析式；2求)(xfy 的单调递增区间.3 18 (本小题 10 分)函数32()f xxaxbxc在23x 与1x 时都取得极值(1)求,a b的值与函数()f x的单调区间(2)假设对 1,2x，不等式2()f xc恒成立，求c的取值范围.20 (本小题 10 分)某商品每件本钱 9 元，售价 30 元，每星期卖出 432 件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x 单位：元，0 x21的平方成正比商品单价降低 2 元时，一星期多卖出 24 件 1将一个星期的商品销售利润表示成 x 的函数；2如何定价才能使一个星期的商品销售利润

6、最大 20 改编题(本小题 10 分)a 为实数，)(4()(2axxxf.求导数)(xf；假设0)1(f，求)(xf在2，2 上的最大值和最小值；假设)(xf在(，2)和2，+上都是递增的，求 a 的取值范围.21 (原创题)(本小题 12 分)函数 f(x)ln(x+1)axa0 求函数 f(x)的单调区间；当1a 时，假设1x ，证明：11ln(1)1xx 【挑战能力】1 函数 2af xxx，lng xxx，其中0a 1假设1x 是函数 h xf xg x的极值点，求实数a的值；2假设对任意的12,1x xe，e为自然对数的底数都有 1f x 2g x成立，求实数a的取值范围 2 1x

7、 是 函 数1nxx)1m(3mx)x(f23的 一 个 极 值 点,其 中,0m,Rn,m(1)求 m 与 n 的关系式;(2)求)x(f的单调区间;(3)当 1,1x时,函数)x(fy 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值范围.3 两县城 A 和 B 相聚 20km，现方案在两县城外以 AB 为直径的半圆弧上选择一点 C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度 与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的 4 总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查说明：垃圾处

8、理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k,当垃圾处理厂建在的中点时，对称 A 和城 B 的总影响度为 0.0065.1将 y 表示成 x 的函数；11讨论1中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？假设存在，求出该点到城 A 的距离，假设不存在，说明理由.导数在研究函数中的应用测试题答案 一 选择题本大题共 12 小题，每题 3 分，共 36 分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1【答案】A.【解析】当 f(

9、x)0 在 R 上恒成立时，f(x)递增，反之，f(x)递增时，f(x)0.2【答案】C 【解析】令3222181180(21)(421)02xyxxxxxxx 3【答案】B 【解析】2()3210fxxax 在),(恒成立，2412033aa 4【答案】C【解析】当1x 时，()0fx，函数()f x在(1,)上是增函数；当1x 时，()0fx，()f x在(,1)上是减函数，故()f x当1x 时取得最小值，即有(0)(1),(2)(1),ffff得(0)(2)2(1)fff 5【答案】C 【解析】23690,1,3yxxxx 得，当1x 时，0y；当1x 时，0y 当1x 时，5y极大值

10、；x取不到3，无极小值 6【答案】D【解析】.由题意：f(x)=3x2+2ax+(a+6)=0 有两个不等实根,=4a2-12(a+6)0,解得:a-3 或 a6.7【答案】A 【解析】极小值点应有先减后增的特点，即 ()0()0()0fxfxfx 5 8【答案】A 【解析】令1ln10yxxe ，当1xe时0y，；当1xe时，0y 所以11()yfee 极小值，在定义域内只有一个极值，所以1ye min 9【答案】B【解析】.由 f(x)在1,2上是减函数，知 f(x)3x22bxc0，x1,2，那么 f(1)32bc0f2124bc0 152b2c0 bc152.10 【答案】C 【解析】

11、当1a时,最大值为 4,不合题意,当21a时,xf在2,a上时减函数,af最大,415322aa,解得21a,或23a(舍去).11 【答案】B 【解 析】设 矩 形 的 一 边 长 为x，那 么 另 一 边 长 为22 25x，那 么42 xl225xRx 0，24225xlx，令0l，解得15x，25x 舍去 .当05x时,0l,当55x时,0l,所以当5x 时,l 取最大值,即周长最大的矩形的边长为5,4 5.12 【答案】C.【解析】因为 y=12-2cosx，所以令 y=12-2cosx0，得 cosx14，此时原函数是增函数；令 y=12-2cosx14，此时原函数是减函数，结合余

12、弦函数图象，可得 C 正确.二 填空题共 4 小题，每题 3 分共 12 分，把答案填在相应的位置上 13 【答案】0,e 【解析】因为21 ln xyx,所以21 ln00 xyxex 14【答案】4,11 【解析】22()32,(1)230,(1)110fxxaxb fabfaab 6 22334,3119abaabbaab 或，当3a 时，1x 不是极值点 15【答案】31【解析】f(x)2222222xa2xaxxaxa,当 xa时，f(x)0，f(x)单调递减，当ax0，f(x)单调递增，当 xa时，f(x)a32a3，a321，不合题意.f(x)maxf(1)131a3，a31.1

13、6【答案】3320 cm 【解 析】设 圆 锥 的 高 为x,那 么 底 面 半 径 为2220 x,其 体 积 为20020 x3122xxV,2340031xV,令0V,解 得3320,332021xx(舍去).当 x0 3320时,0V;当203320 x时,0V,所以当3320 x时,V 取最大值.三 解答题本大题五个小题，共 52 分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 【解析】：1cbxaxxf24)(的图象经过点(0,1)，那么1c，3()42,(1)421,fxaxbx kfab 切点为(1,1)，那么cbxaxxf24)(的图象经过点(1,1)得591,22abca

14、b 得 4259()122f xxx 233 103 10()1090,0,1010fxxxxx或 单调递增区间为3 103 10(,0),(,)1010 18【解析】：1322(),()32f xxaxbxc fxxaxb 由2124()0393fab，(1)320fab得1,22ab 7 2()32(32)(1)fxxxxx，函数()f x的单调区间如下表：x 2(,)3 23 2(,1)3 1 (1,)()fx 0 0 ()f x 极大值 极小值 所以函数()f x的递增区间是2(,)3 与(1,),递减区间是2(,1)3；2321()2,1,22f xxxxc x，当23x 时，222

15、()327fc 为极大值，而(2)2fc，那么(2)2fc为最大值，要使2(),1,2f xcx 恒成立，那么只需要2(2)2cfc，得1,2cc 或.20 【解析】1设商品降低 x 元，那么多卖的商品数为 kx2，假设记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，那么依题意有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2)又条件，24k22，于是有 k6，所以 f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x0,21.2根据1，我们有 f(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12).故 x12 时，f(x)到达极大值 11 664，因为

16、f(0)=9 072，f(12)=11 664，所以定价为 301218 元时能使一个星期的商品销售利润最大.20【解析】：由原式得,44)(23axaxxxf.423)(2axxxf 由0)1(f 得21a,此时有43)(),21)(4()(22xxxfxxxf.由0)1(f得34x或 x=-1,又,0)2(,0)2(,29)1(,2750)34(ffff 所以 f(x)在2,2上的最大值为,29最小值为.2750 解法一:423)(2axxxf的图象为开口向上且过点(0,4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(ff 即480840aa 2a2.所以 a 的取值范围为2,2.解 法 二:

17、令0)(xf即,04232 axx 由 求 根 公 式 得:8 21,21212()3aaxxx 所以.423)(2axxxf在1,x和,2x上非负.由题意可知,当 x-2 或 x2 时,)(xf 0,从而 x1-2,x22,即6122.6122aaaa 解不等式组得2a2.a 的取值范围是2,2.21【解 析】：函 数f(x)的 定 义 域 为(1,)()fx11x a 1()1aa xax.110,11aaaa ,当11(1,),()0;(,),()0aaxfxxfxaa 当 x1(1,)aa时，f(x)是增函数，即 f(x)的单调递增区间为1(1,)aa；当 x1(,)aa时，f(x)是

18、减函数，即 f(x)的单调递减区间为1(,)aa.证明：由知，令1()ln(1)11g xxx，那么211()1(1)g xxx2(1)xx 当 x1，0时，()g x0，当 x0，时，()g x0 当1x 时，()g x(0)g，即 1ln(1)11xx0，1ln(1)11xx 综上可知，当1x 时，有11ln(1)1xxx【挑战能力】1【解析】1 22lnah xxxx，其定义域为0 ，2212ahxxx 1x 是函数 h x的极值点，10h，即230a 0a，3a 经检验当3a 时，1x 是函数 h x的极值点，3a 2 对任意的12,1x xe，都有 1f x 2g x成立等价于对任意

19、的12,1x xe，都 9 有 minf x maxg x 当x1，e时，110gxx 函数 lng xxx在1 e，上是增函数 max1g xg ee 2221xaxaafxxx，且 1,xe，0a 当01a且x1，e时，20 xaxafxx，函数 2af xxx在1，e上是增函数，2min11f xfa.由21a1e，得ae，又01a，a不合题意 当1ae时，假设1xa，那么 20 xaxafxx，假设axe，那么 20 xaxafxx 函数 2af xxx在1,a上是减函数，在ae，上是增函数 min2f xf aa.由2a1e，得a12e，又1ae，12eae 当ae且x1，e时，20

20、 xaxafxx，函数 2af xxx在1 e，上是减函数 2minaf xf eee.由2aee1e，得ae，又ae，ae 综上所述，a的取值范围为1,2e 2【解析】:(1)nx)1m(6mx3)x(f2因为1x 是函数)x(f的一个极值点,10 所以0)1(f,即,0n)1m(6m3所以6m3n(2)由(1)知,6m3x)1m(6mx3)x(f2)m21(x)1x(m3 当0m 时,有,m211当 x 变化时，)x(f与)x(f的变化如下表:故有上表知,当0m 时,)x(f在)m21,(单调递减,在)1,m21(单调递增,在),1(上单调递减.(3)由得m3)x(f,即02x)1m(2m

21、x2 又0m 所以0m2x)1m(m2x2,即 1,1x,0m2x)1m(m2x2 设,m2x)m11(2x)x(g2 其函数开口向上,由题意知式恒成立,所以0m34010m2m2210)1(g0)1(g,即 m 的取值范围为)0,34(3【解析】：1如右图,由题意知 ACBC,22400BCx,224(020)400kyxxx，当垃圾处理厂建在弧 AB 的中点时,垃圾处理厂到 A、B 的距离都相等，且为10 2km，所以有2240.065(10 2)(10 2)k，解得9k，2249(020)400yxxx 22249()400yxx=322818(400)xxx=423221064001280000(400)xxxx，令0y，得426401280000 xx，解得2160 x，即4 10 x，又因为020 x，所以函数2249400yxx在(0,4 10)x上是减函数，在(4 10,20)x上是增函数，当4 10 x 时，y 取得最小值，A B C x 11 所以在弧 AB 上存在一点，且此点到城市 A 的距离为4 10km，使建在此处的垃圾 处理厂对城市 A、B 的总影响度最小.