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1、导数在研究函数中的应用1 导数在研究函数中的应用【自主归纳，自我查验】一、自主归纳1利用导函数判断函数单调性问题函数 f(x)在某个区间 (a，b)内的单调性与其导数的正负有如下关系(1)若_ _，则 f(x)在这个区间上是增加的(2)若_ _，则 f(x)在这个区间上是减少的(3)若_ _，则 f(x)在这个区间内是常数2利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求 f(x)(2)在定义域内解不等式f(x)0 或 f(x)0.(3)根据结果确定f(x)的单调区间3函数的极大值在包含0 x的一个区间 (a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都_0 x点的函数值，称点0 x为函数 yf(x)的
2、极大值点，其函数值f(0 x)为函数的极大值4函数的极小值在包含x0的一个区间 (a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都_0 x点的函数值，称点0 xx0为函数 y f(x)的极小值点，其函数值f(0 x)为函数的极小值极大值与极小值统称为_，极大值点与极小值点统称为极值点5函数的最值与导数1函数y f(x)在 a，b上的最大值点0 x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f(0 x)2函数y f(x)在 a，b上的最小值点0 x指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都_f(0 x)二、自我查验1函数 f(x)xeln x 的单调递增区间为()A(0， ) B( ，0)C(，0)和
3、(0， ) DR2若函数f(x)x3 x2 mx1 是 R 上的单调增函数，则m 的取值范围是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页导数在研究函数中的应用2 3.函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间 (a，b)内有极小值点()A1 个B2 个C3 个D4 个4若函数f(x)x3 ax23x9 在 x 3 时取得极值，则a等于 ()A2 B3C4 D55.函数ln xyx的最大值为（） A 1eBe C 2eD103【典型例题】考点一利用导数研究函
4、数的单调性【例 1】 (2015 高考全国卷 )已知函数f(x) ln xa(1x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 f(x)有最大值，且最大值大于2a2 时，求 a 的取值范围【变式训练1】已知3222fxxaxa x（1）若1a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）若0a，求函数fx的单调区间精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页导数在研究函数中的应用3 考点二利用导函数研究函数极值问题【例 2】已知函数ln3,fxxaxaR.（1）当1a时，求函数的极值；（2）求函数的单调区间. 【变式训练2】(
5、2011 安徽 )设 f(x)ex1 ax2，其中 a 为正实数 .当 a43时，求 f(x)的极值点；考点三利用导函数求函数最值问题【例 3】已知a为实数，.（1）求导数；（2）若，求在2,2上的最大值和最小值.【应用体验】1.函数lnyxx的单调递减区间为（） A 1,1 B0, C 1, D0,1)(4(2axxxfxf01fxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页导数在研究函数中的应用4 2. 函数exfxx的单调递减区间是（） A (1,)B (, 1)C(,1)D( 1,)3. 函数3 exfxx的单调递
6、增区间是（） A 0,3B1,4 C 2,D,24. 设函数2lnfxxx，则（） A 12x为fx的极大值点 B 12x为fx的极小值点 C 2x为fx的极大值点 D 2x为fx的极小值点5函数32( )23f xxxa的极大值为6，那么a的值是（） A 0 B1 C 5 D6【复习与巩固】A 组夯实基础一、选择题1已知定义在R上的函数fx，其导函数fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（） A f bf cf dBfbfaf e C f cf bfaDfcfefd2. 函数2lnfxxax在1x处取得极值，则a等于（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
7、- - - - - -第 4 页，共 17 页导数在研究函数中的应用5 A 2B2 C 4D43. 函数exfxx（e为自然对数的底数）在区间1,1上的最大值是（） A.1 1eB.1 C.e 1 D.e1二、填空题4.若 函 数321fxxxmx是R上 的 单 调 增 函 数 ， 则 实 数m的 取 值 范 围 是_5. 若函数23exxaxfx在0 x处取得极值，则a的值为 _.6. 函数( )exf xx在 1 , 1上的最小值是 _. 三、解答题7.已知函数21ln,2fxxx求函数fx的单调区间8.已知函数,1lnxfxax xx（1）若fx在1,上单调递减，求实数a的取值范围；（2
8、）若2a，求函数fx的极小值 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页导数在研究函数中的应用6 B 组能力提升一、选择题1已知函数213ln22fxxx在其定义域内的一个子区间1,1aa内不是单调函数，则实数a的取值范围是（） A 1 3,2 2B51,4 C 31,2D31,22.若函数32yxaxa在0,1内无极值，则实数a的取值范围是（） A 30,2B,0 C 3,0,2UD3,23.若函数3232fxxxa在1,1上有最大值3， 则该函数在1,1上的最小值是 （） A B0 C D1 二、填空题4已知函数f(
9、x)12x22axln x，若 f(x)在区间13，2 上是增函数，则实数a 的取值范围为_5设 x1，x2是函数 f(x)x32ax2a2x 的两个极值点，若x120 （2）f (x)0， 故单调增区间是 (0， )答案： A 2. 解析： f (x) x3x2mx 1，f (x) 3x22xm . 又f (x) 在 R上是单调增函数，f (x)0恒成立， 412m 0， 即 m 13. 答案：13，3. 解析：导函数f(x) 的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在 x 轴上方的只有一个，故选A. 答案： A 4. 解析： f(x) 3x22ax3，由题意知f(3) 0，即 3
10、( 3)22(3) a30，解得 a5. 答案： D 5.A 【解析】2ln1lnxxyyxx，令21ln0exyxx，当(0,e)x时函数单调递增，当(e,)x时函数单调递减，1max1eey，故选 A.三典型例题【例题 1】 (1) f (x) 的定义域为 (0 ， )，f (x) 1xa. 若 a0， 则 f (x)0，所以 f ( x) 在(0，)单调递增若a0，则当 x 0，1a时，f (x)0；当 x1a， 时，f (x)0时，f ( x) 在 x1a处取得最大值，最大值为f1aln1aa 11aln aa1. 因此 f1a2a2 等价于 ln aa10. 令 g(a) ln aa
11、1，则 g( a) 在(0 ，)单调递增， g(1) 0. 于是，当 0a1 时，g(a)1时，g(a)0. 因此， a 的取值范围是 (0,1) 【变式训练 1】 （1）当1a时，322fxxxx，2321fxxx，切线斜率为14kf， 又13f， 切点坐标为1,3 ，所求切线方程为341yx，即 410 xy（2）22323fxxaxaxaxa ，由0fx，得xa或3ax.0,.3aaaQ由0fx，得xa或3ax，由0fx，得.3aax函数 f x 的单调递减区间为,3aa，单调递增区间为, a 和,3a【例题 2】 （1）当1a时，ln3fxxx，1110 xfxxxx，令0fx，解得0
12、1x，所以函数 fx 在 (0,1)上单调递增；令0fx，解得1x，所以函数 fx 在 1,上单调递减；所以当1x时取极大值，极大值为12f，无极小值 . （2）函数 fx 的定义域为0,，1fxax. 当0a时，1( )0fxax在 0,上恒成立，所以函数 fx 在 0,上单调递增；当0a时，令0fx，解得10 xa，所以函数fx 在10,a上单调递增；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页导数在研究函数中的应用10 令0fx，解得1xa，所以函数 fx 在1,a上单调递减 . 综上所述，当0a时，函数 fx 的单调
13、增区间为0,；当0a时，函数 fx的单调增区间为10,a，单调减区间为1,a. 【变式训练 2】解对 f ( x) 求导得f (x)ex1ax22ax1ax22. 当 a43时，若 f (x)0，则 4x28x30，解得 x132，x212. 结合，可知x ( ，12) 12(12，32) 32(32，)f (x)0 0 f ( x)极大值极小值所以 x132是极小值点， x212是极大值点 . 【例题 3】1）. （2）由得，故，则43x或，由，41641205504.39329627f故，. 【变式训练 3】1）当0a时，函数( )e20 xfxa，( )f x 在 R 上单调递增，当0a
14、时，( )e2xfxa， 令 e20 xa， 得ln( 2 )xa ， 所以当(,ln(2 )xa423)4()(222axxxaxxxf01f21a2421)21)(4()(232xxxxxxf34, 1432xxxxxf或0)2()2(ff29)1(f29)(maxxf2750)(minxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页导数在研究函数中的应用11 时，( )0fx，函数( )f x 单调递减； 当(ln( 2 ),)xa时，( )0fx，函数( )f x单调递增 . （2）由（ 1）可知，当0a时，函数(
15、 )e20 xf xax，不符合题意 . 当0a时，( )f x 在 (,ln( 2 )a上单调递减，在 (ln( 2 ),)a上单调递增 . 当 ln( 2 )1a，即e02a时，( )f x 最小值为(1)2efa. 解2e0a，得e2a，符合题意 . 当 ln( 2 )1a，即e2a时，( )f x 最小值为(ln( 2 )22 ln( 2 )faaaa ，解22 ln( 2 )0aaa，得2ea，不符合题意 . 综上，e2a. 应用体验：1.D 【解析】 函数的定义域为0,， 令1110 xyxx， 解得0,1x， 又0 x，所以0,1x，故选 D. 考点：求函数的单调区间. 2.A
16、【解析】导数为ee1exxxfxxx，令0fx，得1x，所以减区间为 1,. 考点：利用导数求函数的单调区间3.C 【解析】e3 ee2xxxfxxx，令e20 xfxx，解得2x，所以函数 fx 的单调增区间为2,故选 C4. 【解析】22212xfxxxx， 由0fx得2x， 又函数定义域为0,，当 02x时，0fx， fx 递减，当2x时，0fx， fx 递增，因此精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页导数在研究函数中的应用12 2x是函数 fx 的极小值点故选D考点：函数的极值点5.D 【解析】322( )2
17、3,6661f xxxafxxxx xQ，令0,fx可得0,1x，容易判断极大值为06fa. 考点：函数的导数与极值. 复习与巩固A组1.C 【解析】 由 fx 图象可知函数 fx 在,c 上单调递增，在, c e 上单调递减，在, e上单调递增，又, ,a b cc ，且 abc ，故 f cf bf a 考点：利用导数求函数单调性并比较大小2.B 【解析】2afxxx， 由题意可得12 1201afa，2a. 故选 B. 考点：极值点问题 . 3.D 【解析】e1xfx，令0,fx得0 x. 又010e01,1e 1 1,111,efff且11e11e2ee2e2e10e，所以max1e
18、1,fxf故选 D. 考点：利用导数求函数在闭区间上的最值. 4.1,3【 解析 】由 题 意 得( )0fx在 R 上恒 成 立 ，则2320fxxxm， 即232mxx 恒 成 立 . 令232g xxx ， 则maxmg x， 因 为 g x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页导数在研究函数中的应用13 232xx 为 R 上 的 二 次 函 数 ， 所 以2max11333g xg11233，则m的取值范围是1,3. 5.0 【解析】2226e3e36eexxxxxaxaxxa xafx，由题意得00fa考
19、点：导数与极值6. 1【解析】因为( )e1xfx，( )00,( )00fxxfxx，所以( )f x 在 1,0单调递减，在 0,1单调递增，从而函数( )exf xx在 1 , 1上的最小值是0(0)e01f. 考点：函数的最值与导数. 7. 【解析】21ln2fxxx的定义域为0,，211xfxxxx，令0fx，则1x或1（舍去） . 当 01x时，0fx，fx递减，当1x时，0fx，fx递增， f x 的递减区间是0,1 ，递增区间是1,考点：利用导数求函数的单调区间8. （1）14a（2） 4 e【解析】（ 1）函数,1lnxfxax xx，则2ln1lnxfxax，由题意可得0f
20、x在1,x上恒成立，2211111lnlnln24axxx，1,x，ln0,x021ln1x时，函数2111ln24tx取最小值41，41a，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页导数在研究函数中的应用14 （2）当2a时，2lnxfxxx，22ln12lnlnxxfxx，令0fx，得22lnln10 xx，解得21ln x或 ln1x（舍去） ，即ex. 当1ex时，0fx，当ex时，0fx， fx 的极小值为e4 ef. B组1.D 【解析】因为函数213ln22fxxx在区间1,1aa上不单调，所以214122
21、2xfxxxx在区间1,1aa上有零点，由0fx，得12x，则10,111,2aaa得312a，故选 D考点：函数的单调性与导数的关系2.C 【解析】232yxa ，当0a时，0y，所以32yxaxa在 0,1 上单调递增，在0,1 内无极值，所以0a符合题意；当0a时，令0y，即2320 xa，解得1266,33aaxx，当66,33aaxU时，0y，当66,33aax时，0y，所以32yxaxa 的单调递增区间为66,33aa，单调递减区间为66,33aa，当63ax时原函数取得极大值， 当63ax时，原函数取得极小值， 要满足原函数在0,1 内无极值， 需满足613a， 解得32a. 综
22、合得， a的取值范围为3,0,2U，故选 C. 考点：导函数，分类讨论思想. 3.C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页导数在研究函数中的应用15 【解析】23331fxxxx x，当0fx时，1x或0 x，当0fx时，10 x，所以 fx 在区间1,0 上函数递增，在区间1 , 0上函数递减，所以 当0 x时， 函 数 取 得 最 大 值30af， 则32332fxxx， 所 以211f，251f，所以最小值是211f考点：利用导数求函数在闭区间上的最值. 4. 解析：由题意知f(x)x2a1x0 在13，2上
23、恒成立，即2ax1x在13，2 上恒成立，x1xmax83，2a83，即 a43. 答案：43，5. 解析：本题考查利用导数研究函数的极值及不等式的解法由f (x)3x24axa20 得 x1a3，x2a. 又x122，a32，2a6. 答案： (2,6) 6. 解析： f (x) x2exax，f (x)2xexa，函数 f ( x)x2exax 在 R上存在单调递增区间，f (x) 2xexa0，即 a2xex有解，设 g( x) 2xex，则 g(x)2ex，令 g(x)0，解得 xln 2，则当 x0，g(x) 单调递增，当 xln 2 时，g(x)0，f (x) 12xax2. 由函
24、数 f (x) 在定义域上是增函数，得f (x)0，即 a2 xx2( x1)21( x0)因为 ( x1)211(当 x1 时，取等号 ) ，所以 a 的取值范围是 1 ，)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页导数在研究函数中的应用16 (2)g(x)ex2x12ln xx，由(1) 得a2 时，f(x) x2ln x2x1，且 f (x) 在定义域上是增函数，又f (1) 0，所以，当 x(0,1) 时，f ( x)0. 所以，当 x(0,1) 时，g(x)0，当 x(1，)时， g(x)0. 故当 x1 时，
25、g(x)取得最大值 e. 8. 解：(1) 当 k1 时，f (x)(x1)exx2，f (x) ex(x1)ex2xxex2xx(ex2) ，令 f (x)0，得 x10，x2ln 2. 当 x 变化时， f (x) ，f (x) 的变化如下表：x (， 0)0(0，ln 2)ln 2(ln 2 ，)f (x)00f (x)极大值极小值由表可知，函数 f ( x) 的单调递减区间为 0 ，ln 2 ，单调递增区间为 ( ，0 ，ln 2 ，)f (x) 的极大值为 f (0) 1，极小值为 f (ln 2)(ln 2)22ln 2 2. (2) f (x) ex( x1)ex2kxxex2k
26、xx(ex2k) ，当 x1 时，f ( x)0，f ( x) 在1 ，)上有且只有一个零点若ke2，则f(x) 在1 ，ln 2k 上单调递减，在 ln 2k，)上单调递增f (1) k2，则 g(t ) et2t ，g(t) et2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页导数在研究函数中的应用17 t2，g(t)0，g(t)在(2，)上单调递增g(t )g(2) e240，g(t ) 在(2，)上单调递增g( t )g(2) e240. f ( k1)0. f ( x) 在1 ，)上有且只有一个零点综上，当 k0 ，)时， f (x) 在 R上有且只有一个零点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页