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1、阴影部分面积专题 例 1.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：这是最基本的方法：圆面积减去等腰直角三角形的面积,-21=平方厘米 例 2.正方形面积是 7 平方厘米,求阴影部分的面积;单位:厘米 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积;设圆的半径为 r,因为正方形的面积为 7 平方厘米,所以=7,所以阴影部分的面积为：7-=7-7=平方厘米 例 3.求图中阴影部分的面积;单位:厘米 解：最基本的方法之一;用四个 圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的面积,所以阴影部分的面积：22-平方厘米;例 4.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：同上,正方形面积减去圆面积,16-=16-4 =平
2、方厘米 例 5.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见,我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”,是用两个圆减去一个正方形,2-16=8-16=平方厘米 另外：此题还可以看成是 1 题中阴影部分的8倍;例 6.如图：已知小圆半径为 2 厘米,大圆半径是小圆的 3 倍,问：空白部分甲比乙的面积多多少厘米 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差全加上阴影部分 -=平方厘米 注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关 例 7.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：正方形面积可用对角线长对角线长2,求 正方形面积为：552=所以阴影面积为：=平方厘米 注:以上几个
3、题都可以直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形 例 8.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方形下部空白部分面积,割补以后为 圆,所以阴影部分面积为：=平方厘米 例 9.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成一个长方形,所以阴影部分面积为：23=6 平方厘米 例 10.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：同上,平移左右两部分至中间部分,则合成一个长方形,所以阴影部分面积为21=2 平方厘米 注:8、9、10 三题是简单割、补或平移 例 11.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：这种图形称为环形,可以用两个同心
4、圆的面积差或差的一部分来求;-=平方厘米 例 12.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：三个部分拼成一个半圆面积 平方厘米 例 13.求阴影部分的面积;单位:厘米 解:连对角线后将叶形剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半.所以阴影部分面积为：882=32 平方厘米 例 14.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：梯形面积减去 圆面积,4+104-=28-4=平方厘米.例 15.已知直角三角形面积是 12平方厘米,求阴影部分的面积;分析:此题比上面的题有一定难度,这是叶形的一个半.解:设三角形的直角边长为 r,则=12,=6 圆面积为：2=3;圆内三角形的面积为122=6,阴影部分面积为：3-6
5、=平方厘米 例 16.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：=116-36=40=平方厘米 例 17.图中圆的半径为 5 厘米,求阴影部分的面积;单位:厘米 解：上面的阴影部分以AB为轴翻转后,整个阴影部分成为梯形减去直角三角形,或两个小直角三角形AED、BCD面积和;所以阴影部分面积为：552+5102=平方厘米 例 18.如图,在边长为 6 厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影部分的周长;解：阴影部分的周长为三个扇形弧,拼在一起为一个半圆弧,所 以 圆 弧 周 长 为：232=厘米 例 19.正方形边长为 2 厘米,求阴影部分的面积;解：右半部分上面部分逆时针,下面部分顺时针旋转到左半
6、部分,组成一个矩形;所以面积为：12=2 平方厘米 例 20.如图,正方形 ABCD 的面积是 36 平方厘米,求阴影部分的面积;解：设小圆半径为 r,4=36,r=3,大圆半径为 R,=2=18,将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环,所以面积为:-2=平方厘米 例 21.图中四个圆的半径都是 1 厘米,求阴影部分的面积;解：把中间部分分成四等分,分别放在上面圆的四个角上,补成一个正方形,边长为2 厘米,所以面积为：22=4 平方厘米 例 22.如图,正方形边长为 8 厘米,求阴影部分的面积;解法一:将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右边一个半圆.阴影部分为一个三角形和
7、一个半圆面积之和.2+44=8+16=平方厘米 解法二:补上两个空白为一个完整的圆.所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:2-44=8-16 所以阴影部分的面积为:-8+16=平方厘米 例 23.图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点,它们的公共点是该正方形的中心,如果每个圆的半径都是 1 厘米,那么阴影部分的面积是多少 解：面积为个圆减去个叶形,例 24.如图,有 8 个半径为 1 厘米的小圆,用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的黑点是这些圆的圆心;如果圆周 率取,那么花瓣图形的的面积是多少平方厘米 叶形面积为：-11=-1 所以阴影部分的面积为:4-8-1=8 平
8、方厘米 分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形,各个小圆被切去个圆,这四个部分正好合成个整圆,而正方形中的空白部分合成两个小圆 解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和 为：44+=平方厘米 例 25.如图,四个扇形的半径相等,求阴影部分的面积;单位:厘米 分析：四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆 所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积,44+72-=22-4=平方厘米 例 26.如图,等腰直角三角形 ABC 和四分之一圆DEB,AB=5 厘米,BE=2厘米,求图中阴影部分的面积;解:将三角形CEB以 B为圆心,逆时针转动 90 度,到三角形 ABD 位置,阴影部分成为三角形 AC
9、B 面积减去 个小圆面积,为:552-4=平方厘米 例 27.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC=2 厘米,扇形ACB 是以 AC 为直径的半圆,扇形 DAC 是以 D 为圆心,AD 为半径的圆的一部分,求阴影部分的面积;解:因为2=4,所以=2 以AC为直径的圆面积减去三角形ABC面积加上弓形 AC 面积,-224+4-2 =-1+-1 =-2=平方厘米 例 28.求阴影部分的面积;单位:厘米 解法一：设 AC 中点为 B,阴影面积为三角形 ABD 面积加弓形 BD 的面积,三角形 ABD 的面积为:552=弓 形 面 积为:2-552=所以阴影面积为:+=平方厘米 解法二：右上面空白部
10、分为小正方形面积减去小圆面积,其值为：55-=25-阴影面积为三角形 ADC 减去空白部分面积,为：1052-25-=平方厘米 例 29.图中直角三角形 ABC 的直角三角形的直角边AB=4厘米,BC=6厘米,扇形BCD所在圆是以B为圆心,半径为 BC 的圆,CBD=,问：阴影部分甲比乙例30.如图,三角形ABC是直角三角形,阴影部分甲比阴影部分乙面积大 28 平方厘米,AB=40 厘米;求 BC的长度;面积小多少 解:甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形 BCD,一个成为三角形 ABC,此两部分差即为：465-12=平方厘米 解：两部分同补上空白部分后为直角三角形 ABC,一个
11、为半圆,设 BC 长为 X,则 40X2-2=28 所以40X-400=56 则 X=厘米 例 31.如图是一个正方形和半圆所组成的图形,其中P 为半圆周的中点,Q为正方形一边上的中点,求阴影部分的面积;解：连 PD、PC 转换为两个三角形和两个弓形,两三角形面积为：APD 面积+QPC 面积=510+55=两弓形 PC、PD 面积为：-55 所以阴影部分的面积为：+-25=平方厘米 例 32.如图,大正方形的边长为 6 厘米,小正方形的边长为 4 厘米;求阴影部分的面积;解：三角形 DCE 的面积为:410=20 平方厘米 梯形ABCD的面积为:4+64=20平方厘米 从而知道它们面积相等,则三角形 ADF 面积等于三角形 EBF 面积,阴影部分可补成 圆 ABE 的面积,其面积为：4=9=平方厘米 例 33.求阴影部分的面积;单位:厘米 解:用大圆的面积减去长方形面积再加上一个以2 为半径的圆 ABE面积,为 +-6 =13-6 例 34.求阴影部分的面积;单位:厘米 解：两个弓形面积为：-342=-6 阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积,结果为 +-6=4+-+6=6 平方厘米 =平方厘米 例 35.如图,三角形 OAB 是等腰三角形,OBC 是扇形,OB=5 厘米,求阴影部分的面积;解：将两个同样的图形拼在一起成为 圆减等腰直角三角形 4-552 =-2=平方厘米