《【新青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式的化简及运算试题(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【新青岛版】八年级数学下册专题讲练：二次根式的化简及运算试题(含答案).pdf（5页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 二次根式的化简及运算 一、二次根式基本运算 二次根式的乘除法 1.积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab a b（a0，b0）2.二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a b ab （a0，b0）3.商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平 方根。a a （a0，b0）b b 4.二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。a b a （a0，b0）b 二次根式的加减法 需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相 加减，被
2、开方数不变。类似于合并同类项。化简步骤：（1）“一分”，即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数（或式）的分子、分母都 化成质因数（或因式）的幂的积的形式；（2）“二移”，即把能开得尽的因数（或因式），用它的算术平方根代替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上；（3）“三化”，即化 去被开方数中的分母。二、二次根式的乘方 1.将单独根式中的整式（数）部分，根式部分分别乘方，如计算（2 3）2 时，先将 2 乘方，再将 3 乘方，结果再相乘；2.多项式的乘方注意使用乘方公式，同时也可以将其因式分解。总结：1.乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等
3、式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑被开方数的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式；2.对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把 同类二次根式合并。但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母。例题 1 已知 a，b，c，d，e 五个实数的平均值为 k，各数与 k 的差如下表：a b c d e x 1 akx，bk 3 b y x 3 27 12 1 3 （1）除实数 a 外，与 k 的差的绝对值最大的实数是；（2）求 x 的值。解析：（1）直接求 b、c、d、e 与 k 的差的绝对值，比较大小即可；（2）根据题意，3，ck3 3，dk2 3，ek
4、，又有 abcde 3 3 5k，可求 k 的值。答案：解：（1）|bk|1 3 2 3，|ek|，3 3 1 3|3 3 ，|ck|27|3 3，|dk|12 与 k 的差的绝对值最大的实数是 c；（2）依题意，得 akx，b k 3 3，ck3 3，dk2 3，ek ，3 3 五式相加，得 abcde5kx 3，又有 abcde5k，所以 x 3 0，即 x 3。例题 2 设 2 a，3 b，用含 a，的式子表示 0.54，则下列表示正确的是（）A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 解析：先把 0.54 化为 2、3 的形式，再把 a、b 代入计算即可。答案：解：
5、0.54 0.09 2 3 0.3 2 3，2 a，3 b，0.54 0.3ab。故选 A。点拨：此题主要考查二次根式的化简，应化简到被开方数开不尽为止。有条件的根式求值 利用已知条件进行二次根式的运算，关键是对所给条件进行适当的变形，条件的变形没 有规律可循，要根据题目需要，运用所学知识适当变形。例题 已知 x、为 正 数，且（x y）3 y（x 5 y），求2 x xy 3 y x xy y 的值。解析：要求代数式的值，首先将分子分母的字母统一成一种，因此要整理已知条件，设法将其中一种字母用另一种表示，然后代入代数式中，约分即可。答案：由已知条件得 x2 xy 15y0。（x 3 y）（x
6、 5 y）0，x 3 y 0，x 5 y 0，x 5 y，x25y，x xy y 2 的值（，y3 ，y4 ，y2014 ，则 y1y2014 等于（）2 x xy 3 y 50 y 5 y 3 y 58 y 2。25 y 5 y y 29 y 赋予新定义 解决赋予一个新的运算定义的一类题，关键是理解新定义运算的含义，继而进行综合 运算。例题 若 ab2，则称 a 与 b 是关于 1 的平衡数。（1）3 与 是关于 1 的平衡数，5 2 与 是关于 1 的平衡数；（2）若（m 3）（1 3）53 3，判断 m 3 与 5 3 是否是关于 1 的平衡数，并说明理由。解析：（1）根据所给的例子，可
7、得出平衡数的求法，由此可得出答案；（2）根据所 给的等式，解出 m 的值，进而再代入判断即可。答案：（1）由题意得，3（1）2，5 2（3 2）2，3 与1 是关于 1 的平衡数，5 2 与3 2 是关于 1 的平衡数。（2）不是。理由如下：（m 3）（1 3）m 3 m 3 3，又（m 3）（1 3）53 3，m 3 m 3 35 3 3，m 3 m22 3。即 m（1 3）2（1 3），m2。（m 3）（5 3）（2 3）（5 3）3（m 3）与（5 3）不是关于 1 的平衡数。一、选择题 1.化简 a 3 a（答题时间：45 分钟）的 结果是（）A.3a B.3a 2.下列运算错误的是（
8、）C.3a D.3 A.()2 B.（0.2）2 0.2 C.10 2 1010.1 D.（3 2）2 3 2（2）2 18 *3.估算 50 2 3 ）A.在 0 与 1 之间 C.在 2 与 3 之间 *4.已知 y1 2 x，y2 2 y 1 B.在 0 与 2 之间 D.在 3 与 4 之间 2 2 2 y y y 2 3 2013 A.2x2 B.1 C.2 D.2 *5.若 5 k 3 2 2(5 3)(3 2)5 2，则 k（）A.3 15 C.3 10 15 B.3 10 15 D.3 10 15 二、填空题*6.若 ab2 3，bc2 3，则代数式 a22acc2 的值为。*
9、7.14 4 10 的 整 数 部 分 为 a，小 数 部 分 为 b，则 1 a b 1 a b 。*8.非零实数 x、y 满足（x 2 2013 x）（。y 2 2013 y）2013，则 x 2012 y 2012 x y *9.若x表示不超过 x 的最大整数（如3 3 4 3，4 等），根据定义计算下 面算式：1 2 1 2 1 3 2 3 1 2012 2011 2012 。三、解答题*10.给出三个整式 a2，b2 和 2ab。（1）当 a 3 1，b 3 1 时，求 a2b22ab 的值；（2）在上面的三个整式中任意选择两个整式进行加法或减法运算，使所得的多项式能 够因式分解。请
10、写出你所选的式子及因式分解的过程。*11.已知：y 1 8x 8x 1 1 2 ，求代 数 式 x y x y 2 2 的值。y x y x *12.解阅读此题的解答过程，回答问题：a a 2b 4ab 2 4b 3 化简：（0 a 2 b）。a 2b a a a 2b 4ab 2 4b 3 a b(a 2 4ab 4b 2)解：原式 （1）a 2b a a 2b a a ab(a 2b)2 a 2b a 2 （2）a a 2b ab （3）a 2b a a a 2b ab （4）a 2b a ab （1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号；（2）请写出错误的原因：；（3
11、）写出本题的正确解答过程。11.解：根据二次根式有意义，得 18 x0，8x10，解得 x 1 a ab a 2b a 2 a 2b a ab a 2b 所求式子的和为 2011。10.解：（1）当 a 3 1,b 3 1 时，a2 b2 2ab (a b)2 12；（2）若选 a 2,b2，则 a2 b2 (a b)(a b)1 x y，y，2 8 2 y x x y 2 y x 1 4 4 2 1 25 9 5 3 4 2 1。4 4 4 2 2 12.解：（1）（4）（2）0a2b，2ba0，a2b0，|a2b|2ba，负数的绝对值等于它的相反数，不等于它本身（3）解：原式 a a 2b 4ab 2 4b 3 a b(a 2 4ab 4b 2)a 2b a a 2b a a ab(a 2b)2 a a 2b a(a 2b)ab