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1、学案 22 简洁的三角恒等变换 导学目标：1.能推出二倍角的正弦、余弦、正切公式，并娴熟应用.2.能运用两角和与差的三角公式进行简洁的恒等变换 自主梳理 1二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2_；(2)cos 2_11_；(3)tan 2_(k24且 k2)2公式的逆向变换及有关变形(1)sin cos _cos sin 22sin；(2)降幂公式：sin2_，cos2_；升幂公式：1cos _，1cos _；变形：1sin 2sin2cos22sin cos _.自我检测 1(2010陕西)函数 f(x)2sin xcos x 是 ()A最小正周期为 2 的奇函数 B最小正周期为 2
2、 的偶函数 C最小正周期为 的奇函数 D最小正周期为 的偶函数 2函数 f(x)cos 2x2sin x 的最小值和最大值分别为 ()A3,1 B2,2 C3，32 D2，32 3函数 f(x)sin xcos x 的最小值是 ()A1 B12 C.12 D1 4(2011清远月考)已知 A、B 为直角三角形的两个锐角，则 sin Asin B ()A有最大值12，最小值 0 B有最小值12，无最大值 C既无最大值也无最小值 D有最大值12，无最小值 探究点一 三角函数式的化简 例 1 求函数 y74sin xcos x4cos2x4cos4x 的最大值和最小值 变式迁移 1(2011泰安模拟
3、)已知函数 f(x)4cos4x2cos 2x1sin4x sin4x.(1)求 f1112的值；(2)当 x0，4时，求 g(x)12f(x)sin 2x 的最大值和最小值 探究点二 三角函数式的求值 例 2 已知 sin(42)sin(42)14，(4，2)，求 2sin2tan 1tan 1 的值 变式迁移 2(1)已知 是第一象限角，且 cos 513，求sin4cos24的值(2)已知 cos(4)35，232，求 cos(24)的值 探究点三 三角恒等式的证明 例 3 (2011苏北四市模拟)已知 sin(2)3sin，设 tan x，tan y，记 yf(x)(1)求证：tan(
4、)2tan；(2)求 f(x)的解析表达式；(3)若角 是一个三角形的最小内角，试求函数 f(x)的值域 变式迁移 3 求证：sin 2xsin xcos x1sin xcos x1 1cos xsin x.转化与化归思想的应用 例 (12 分)(2010江西)已知函数 f(x)11tan xsin2xmsinx4sinx4.(1)当 m0 时，求 f(x)在区间8，34上的取值范围；(2)当 tan 2 时，f()35，求 m 的值【答题模板】解(1)当 m0 时，f(x)1cos xsin xsin2x sin2xsin xcos x1cos 2xsin 2x2 122sin2x41，3
5、分 由已知 x8，34，得 2x40，54，4 分 所以 sin2x422，1，5 分 从而得 f(x)的值域为0，1 22.6 分(2)f(x)sin2xsin xcos xm2cos 2x 1cos 2x212sin 2xm2cos 2x 12sin 2x(1m)cos 2x12，8 分 由 tan 2，得 sin 22sin cos sin2cos22tan 1tan245，cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan235.10 分 所以351245351m 12，11 分 解得 m2.12 分【突破思维障碍】三角函数式的化简是指利用诱导公式、同角基本关系式、和与差的三
6、角函数公式、二倍角公式等，将较简洁的三角函数式化得更简洁、更清楚地显示出式子的结果化简三角函数式的基本要求是：(1)能求出数值的要求出数值；(2)使三角函数式的项数最少、次数最低、角与函数的种类最少；(3)分式中的分母尽量不含根式等 1求值中主要有三类求值问题：(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看是很难的，但认真观看非特殊角与特殊角总有确定关系，解题时，要利用观看得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消退非特殊角的三角函数而得解 (2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是
7、转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角 2三角恒等变换的常用方法、技巧和原则：(1)在化简求值和证明时常用如下方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，挂念元素法，“1”的代换法等(2)常用的拆角、拼角技巧如：2()()，()，()，222，2是4的二倍角等(3)化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式 消退差异：消退已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构等方面的差异 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
8、1(2011平顶山月考)已知 0，3sin 2sin，则 cos()等于 ()A.13 B13 C.16 D16 2已知 tan()25，tan414，那么 tan4等于 ()A.1318 B.1322 C.322 D.16 3(2011石家庄模拟)已知 cos 212(其中 4，0)，则 sin 的值为 ()A.12 B12 C.32 D32 4若 f(x)2tan x2sin2x21sin x2cos x2，则 f12的值为 ()A4 33 B8 C4 3 D4 3 5(2010福建厦门外国语学校高三其次次月考)在ABC 中，若 cos 2B3cos(AC)20，则 sin B 的值是 ()A.12 B.22 C.32 D1 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6(2010全国)已知 为其次象限的角，且 sin 35，则 tan 2_.7函数 y2cos2xsin 2x 的最小值是_ 8若cos 2sin422，则 cos sin 的值为_ 三、解答题(共 38 分)9(12 分)化简：(1)cos 20cos 40cos 60cos 80；(2)34cos 2cos 434cos 2cos 4.10(12 分)(2011南京模拟)设函数 f(x)3sin xcos xcos xsin2x 12.(1)求 f(x)的最小正周期；