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1、第八单元数学广角 一、教学内容“数学广角”除了一年级上册没有外，在其他年级都有安排，目的在于向学生渗透一些重要的数学思想方法。在实验教材中整体编排是这样的：册数 内容 一下 P88 第八单元 找规律 二上 P99 第八单元 简单的排列组合逻辑推理 二下 P115 第九单元 找规律 三上 P112 第九单元 排列组合 三下 P108 第九单元 集合等量代换 四上 P112 第七单元 运筹学 四下 P117 第八单元 植树问题 五上 P116 第七单元 编码问题 五下 P134 第七单元 找次品 六上 P116 第七单元 鸡兔同笼问题 六下 P81 第五单元 抽屉原理 在本册中安排的内容主要是向学
2、生渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出它的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。植树问题，是一种数学思想方法。在数学上实际上是设置等分点的计算问题，可以是知道总长和几个点求分成几段，也可是知道几段和每份的长度求总长。教材中安排了三个植树问题的典型问题：例 1 是探讨关于一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况，让学生先通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系，再用发现的规律解决实际问题。例 2 讨论的是两端都不栽树的情形。例 3 借助围棋盘来探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题。例 1 一条线段的植树问题并且两
3、端都要栽树的情况。例 2 两端都不栽的情形。例 3 封闭曲线（方阵）中的植树问题。相关的情节并不限于植树，生活中的走楼梯，锯木头，插红旗，安路灯等问题，都可以按照植树问题的数量关系和思路解答。二、教材编写特点及重难点 教材主要是通过简单的事例渗透重要的数学思想方法，让学生在解决这些问题的过程中能主动尝试从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略，培养学生解决实际问题的实践经验和能力。并且让学生通过接触这些重要的数学思想方法，经历猜想、实验、推理等数学探索的过程，激发学生对数学的好奇好和求知欲，增强学生学习数学的兴趣。如本单元中通过生活中植树和围棋盘入手，引导学生在解决问题的分析、思考过程
4、中，逐步发现隐含于不同情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。教学重难点：在探究活动中发现规律，抽取数学模型，并能够用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。三、教学目标 1、使学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。2、初步培养学生从实际问题中探索规律、找出解决问题的有效方法的能力。3、让学生感受数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。四、教学建议：1、本单元是让学生通过生活中的简单事例，初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用。2、教学时，应从实际
5、问题入手，引导学生在解决问题的过程中，逐步发现隐含于其中的规律，经历抽取出数学模型的过程。3、注意不要对例题进行过多的变式，增加问题的难度。4、关于课时划分，可以三个例题各一课时，练习二十为第四课时，也可以把例 1 和例 2 放在同一课时里比较学习，再一起安排一课时的练习课。五、课时划分 本单元可以划分为 4 课时进行教学。第一课时：P117 例 1P118 做一做 第二课时：P118 例 2P119 做一做 第三课时：P120 例 3P121 做一做 第四课时：P122、123 练习二十 第一课时 1、教学内容：P117 例 1P118 做一做 2、教材分析及重难点 例 1 讨论的是在校园里
6、的一条小路一边植树，需要多少棵树苗的问题，这是关于一条线段的植树问题。教材中给出问题：在全长 100 米的小路一边植树，每隔 5 米栽一棵树，两端都要栽，一共需要多少棵树苗让学生用不同的方法去解决这个问题，并在解决问题的过程中发现规律，找到解决问题的有效方法，经历分析、思考问题的过程。教材用四幅图呈现出学生最可能出现的讨论过程，通过先用简单的除法解决问题，再到画出线段图看看，让学生在图中发现如果把路“平均分成了 4 段，但要栽 5 棵树。”进而继续探索得出一个规律：两端都要栽树时，栽树的棵数比间隔数多 1，即：棵数=间隔数+1。做一做的内容与例 1 相同，只是这里给出的是植树的棵数，要求的是首
7、尾两棵树之间的距离，也就是这条路的长度。教材希望通过例 1 的知道路长求栽树的棵数，做一做的知道树的棵数求长度，加深学生对本课中发现的规律的理解，学会进一步的应用。教学重点：理解植树问题的特征，应用规律解决问题。教学难点：植树问题基本规律的提炼和方法的应用。3、教学目标（1）、学会解决两端都种的植树问题。（2）、培养学生用画线段图分析解决实际问题的能力。（3）、培养学生运用数学解决实际问题的能力。4、教学建议 关于植树问题，学生可能在其他书上或者生活中有所接触和思考，可以说这块内容学生的学习起点可能有较大的差距。教学时，可以结合情境图出示问题，先让学生独立思考，教师则了解多少学生会，多少学生不
8、会，把握学生的总体水平，再选择合适的教学方法。可以教师先恰当点拔解决问题的方法，也可以先让学生小组合作尝试解决，再集中点评。活动中，教师应鼓励学生用不同的方法来解决问题，如有的学生可以直接从示意图中找到答案，或者由示意图发现规律。也有的学生可能有不同的验算方法，如果是栽 20 棵树，每两棵树相隔 5 米，通过图可以发现在有 19 个 5 米，也就是说当栽 20 棵树时，这条路只有 95 米。这种方法同样也能发现问题，再去寻找解决问题的规律。教学中只要学生的想法有道理，都要给予鼓励，保护学生独立思考的积极性。做一做可以让学生直接应用例 1 的发现的规律来解决，但需要学生逆向思考。一共种了 36
9、棵，即有 361=35 个间隔，每个间隔是 6 米，则路长 356=210 米。活动时，也可以让学生先从简单的情况入手，如每隔 6 米种一棵对，2 棵之间距离是多少 3 棵呢 4 棵呢等等，使学生发现相距的长度和栽树的棵数之间的关系。第二课时 1、教学内容：P118 例 2P119 做一做 2、教材分析及重难点 例 2 是在例 1 的基础上继续探讨关于一条线段的植树问题的另一种情况：两端都不种。教材呈现的是绿化队要在大象馆和猩猩馆之间的小路两旁栽树的问题，这里需要学生考虑两个地方：一是根据实际情况，这条路的两端分别是大象馆和猩猩馆，不需要再栽树，它属于两端都不栽的情况。通过探索可以得出一个规律
10、：两端都不栽树时，栽树的棵数比间隔数少 1，即：棵数=间隔数1。二是“小路两旁”，在计算出一边的棵树后，还要再乘以 2，才是“一共要栽”的棵数。做一做是帮助学生利用规律来解决生活中的实际问题。第 1 题和例 1 对应，是两端都要栽树的情况。第 2 题和例 2 对应，这是源于生活中的一个现实问题：要把一根木头平均分成 5 段，需要锯几次这虽然不是植树，但是隐含的规律和植树问题相同。想一想是关于推理的问题。首先根据“3 号在我（1 号）前面”、“我（3号）不是第 1 名”和“1 号不是第 4 名”可知 1 号是第三名，3 号是第二名；那么 4 号可能是第一名，也可能是第四名，再根据“我们的号码与名
11、次都不相同”，可知 4 号是第一名，则 2 号是第四名。教学重点：理解植树问题的特征，应用规律解决问题。教学难点：植树问题基本规律的提炼和方法的应用。3、教学目标（1）、学会解决两端都种的植树问题。（2）、培养学生用画线段图分析解决实际问题的能力。（3）、培养学生运用数学解决实际问题的能力。4、教学建议 从前面的分析我们已经知道例 1 和例 2 是关于两端种不种树，一共要种几棵的问题。因此在具体教学时，可以把这两个例题放在一起教学，集中研究两端都种的规律、两端都不种的规律和一端种另一端不种的规律。设计简案：（一）、初步感知 创设情景：20 米长的一条路，在它的一边每隔 5 米种一棵，要种几棵树
12、 学生独立思考 汇报植树棵数 从不同的棵数展示学生不同的想法（二）、发现规律（1）情景拓展：通过改变种的距离及间距来感悟规律。假如一条路有 100 米，在它的一边每隔 5 米种一棵，要种几棵 假如一条路有 200 米，在它的一边每隔 2 米种一棵，要种几棵 板书：两端都种两端都不种一端种另一端不种 20 米/5 米 534 100 米/5 米 211920 200 米/2 米（2）师生小结规律 回忆我们刚才的讨论情况，你发现了植树问题的什么规律 同桌交流思考。总结规律：总距离、棵数、间隔数之间的关系。（三）、应用规律（1）揭题：植树问题。（2）想一想生活中有没有与今天学习的植树问题相似的现象
13、同桌互相说一说。反馈。根据学生出示的现象，画出相应的点线图，解释其与植树问题的共同点。（3）基本练习 一要长 10 米的木头，锯成每段 2 米的小段，要锯几次 在长 200 米的公路两旁安装路灯（两端要安装），每隔 50 米安装一盏，一共要安装多少盏路灯（4）变式练习 计算总距离、间隔距离限定的总人数间隔中插入同学的同学数求队伍总长拉成圆形求总人数。（四）、课堂总结 第三课时 1、教学内容：P120 例 3P121 做一做 2、教材分析及重难点 例 3 是植树问题的另一种情况关于一个封闭图形的植树问题。教材借助围棋盘的最外层每边都能放 19 个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少棋子的问题，介绍
14、如何解决类似的植树问题。教学时，学生很容易会出现教材上的女孩子一样，认为每边放 19 个棋子，最外层一共就是 196=76 个棋子，而忽略了角上的棋子算重复了。在总结出规律后，会发现他其实与一端种另一端不种的植树问题是一样的：棵数=间隔数。做一做第 1 题是例 3 的逆思考，给出总数求每边各个几名学生。第 2 题有两种情况：5 个角上都摆，则是最少需要 15 盆花；5 个角上都不摆，则需要 20 盆花。第 3 题与例 3 相同。教学重点：理解植树问题的特征，应用规律解决问题。教学难点：植树问题基本规律的提炼和方法的应用。3、教学目标（1）、通过观察、操作及交流活动，探索并认识封闭线路上间隔排列
15、中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。（2）、培养学生观察能力、操作能力以及与人合作的能力。（3）、让学生经历探索规律的过程，激发学生探索的欲望。4、教学建议 本课内容的探索性也比较强，教学时可以先让学生自己来探索，借助方格纸来画一画图，或者是围棋盘学具来寻找解决问题的方法。在教学过程中，教师应注意对于学生出现的不同方法，只要合理正确，都应给予表扬和鼓励，保护学生独立思考解决问题的积极性，同时也要适时引导学生通过比较各种算法，学习、吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思维水平。即“自由发挥、解法多种、做好优化。”第四课时 1、教学内容：P122、123 练习
16、二十 2、教材分析及重难点 第 1 题是敲钟的用时问题，与例 1 相似。大钟敲 5 下时，中间共有 4 个间隔，所以每个间隔是 84=2 秒。敲 12 下时，中间有 11 个间隔，所用时间是 112=22秒。第 2 题、第 3 题、第 5 题也与例 1 相似。第 4 题、第 6 题是探讨关于封闭曲线的植树问题，与例 3 相似。第 7 题需要学生先找出几张桌子坐几个人的规律。一张桌子是 6 人，两张桌子时少坐了 2 人，三张桌子时少坐了 4 人，可以总结出规律：少的人数=（桌子张数1）2，所以 10 张桌子能坐：106（101）2=42 人。第二个问题是逆向思考。教学重点：理解植树问题的特征，应
17、用规律解决问题。教学难点：植树问题基本规律的提炼和方法的应用。3、教学目标（1）、通过练习，进一步认识间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决简单实际问题中去。（2）、能用不同的方法解决问题，提高学生的发散思维能力。（3）、体验数学问题的探索性，感受成功的乐趣，增强学习的信心。4、教学建议 第4题可以先从例 1中发现的规律推广得到，把例1中的线段两个端点连到一起，便成了一条封闭曲线，而此时这两个植树点也合在了一起，所以植树的棵树就是分出的间隔数。如果学生已经比较熟悉了，也可以直接应用例 3 中得到的规律。第 7 题建议让学生尝试找出桌子张数和能坐人数之间的关系，通过活动总结出规律。教学实
18、践与反思 1、理清教材脉络，灵活使用教材。例 1 一条线段的植树问题并且两端都要栽树的情况 例 2 两端都不栽的情形 例 3 封闭曲线(方阵)中的植树问题 可以结合例 1、例 2 一起教学，例 3 单独教学，可能教学效果会更好。2、引导学生发现隐含于不同的植树问题中的规律，经历抽取出数学模型的过程。两端都种：棵数=间隔数+1 一端种一端不种：棵树=间隔数 两端都不种：棵数=间隔数-1 3、数形结合 4、充分挖掘并整合教学资源，充实教学内容。综合应用 小管家 教学内容分析：小管家是在学生掌握了一些统计的知识基础上设计的。通过记录有里一周的日常开支、绘制折线统计图等活动，一方面可使学生经历收集、整理和分析数据的过程，巩固前面所学的统计知识；另一方面还能让学生试着学习理财，合理安排日常开支，感受到数学的实际应用，逐步形成应用意识等。活动目的：1、通过记录家里一周的日常开支、绘制折线统计图等活动，使学生经历收集、整理和分析数据的过程，巩固前面所学的统计知识；2、让学生试着学习理财，合理安排日常开支，感受数学的实际应用，逐步形成应用意识等。活动建议：1可结合折线统计图的教学进行。2在教学前，应指导学生进行数据的收集、整理工作。3对绘制折线统计图老师要给予指导。