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1、 .1.2 指数函数及其性质 整体设计 教学分析 有了前面的知识储备,我们就可以顺理成章地学习指数函数的概念,作指数函数的图象以及研究指数函数的性质.教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:DP 的增长问题和碳 14 的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型，并且还有思想教育价值.后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想（指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无
2、理数指数幂）、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,编写时充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景,为学生的数学探究与数学思维提供支持.三维目标 1.通过实际问题了解指数函数的实际背景,理解指数函数的概念和意义,根据图象理解和掌握指数函数的性质，体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想.2.让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理 培养学生观察问题、分析问题的能力,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.3.通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质展示函数图象,让学生通
3、过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美.重点难点 教学重点:指数函数的概念和性质及其应用.教学难点:指数函数性质的归纳、概括及其应用.课时安排 课时 教学过程 第 1 课时 指数函数及其性质（1)导入新课 思路1.用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的43,写出存留污垢与漂洗次数x的关系式,它是函数关系式吗？若是,请计算若要使存留的污垢不超过原有的641,则至少要漂洗几次？教师引导学生分析,列出关系式 y=（41)x,发现这个关系式是个函数关系且它的自变量在指数的位置上，这样的函数叫指数函数,引出本节课题 思路 2.教师复习提问指数幂的运算性质,并要求学生计算 2,20,2
4、-2,41,2732,421.再提问怎样画函数的图象,学生思考,分组交流,写出自己的答案 8,1,41,2,9，71,先建立平面直角坐标系,再描点,最后连线.点出本节课题.思路 3.在本章的开头,问题(2)中时间 t 和碳 14 含量 P 的对应关系 P=(21)57301,如果我们用x 表示时间,y 表示碳4 的含量，则上述关系可表示为 y=(21）57301,这是我们习惯上的函数形式,像这种自变量在指数的位置上的函数,我们称为指数函数，下面我们给出指数函数的确切概念,从而引出课题 推进新课 新知探究 提出问题 1.一种放射性物质不断衰减为其他物质,每经过一年剩留量约是原来的 84,求出这种
5、物质经过年后的剩留量 y 与 x 的关系式是_.(=0.4)某种细胞分裂时，由一个分裂成两个,两个分裂成四个,四个分裂成十六个,依次类推,一个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与的关系式是_.(y=2x)提出问题(1)你能说出函数0.84与函数 y=2的共同特征吗?（2）你是否能根据上面两个函数关系式给出一个一般性的概念?（3)为什么指数函数的概念中明确规定 a0，a1?(4）为什么指数函数的定义域是实数集?(5）如何根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数?请你说出它的步骤.活动：先让学生仔细观察，交流讨论,然后回答,教师提示点拨,及时鼓励表扬给出正确结论的学生,引导学生
6、在不断探索中提高自己的应用知识的能力,教师巡视，个别辅导,针对学生共性的问题集中解决.问题（)看这两个函数的共同特征,主要是看底数和自变量以及函数值.问题(2）一般性的概念是指用字母表示不变化的量即常量.问题(3)为了使运算有意义,同时也为了问题研究的必要性.问题(4)在(3)的规定下,我们可以把 ax看成一个幂值,一个正数的任何次幂都有意义.问题(）使学生回想指数函数的定义，根据指数函数的定义判断一个函数是否是一个指数函数，紧扣指数函数的形式.讨论结果：（1）对于两个解析式我们看到每给自变量一个值,都有唯一确定的值和它对应,再就是它们的自变量 x 都在指数的位置上,它们的底数都大于 0，但一
7、个大于,一个小于1.0.84 与 2 虽然不同,但它们是两个函数关系中的常量,因为变量只有和 y.(2)对于两个解析式 y=0.84x和 y=2x,我们把两个函数关系中的常量用一个字母 a 来表示，这样我们得到指数函数的定义:一般地,函数 y=ax（a，1)叫做指数函数,其中 x 叫自变量,函数的定义域是实数集(3)a0 时，0 时，ax总为;x0 时，a没有意义 a0，a1.此解释只要能说明即可,不要深化.（）因为0，x 可以取任意的实数,所以指数函数的定义域是实数集 R.(5)判断一个函数是否是一个指数函数，一是看底数是否是一个常数，再就是看自变量是否是一个 x 且在指数位置上，满足这两个
8、条件的函数才是指数函数 提出问题(1)前面我们学习函数的时候,根据什么思路研究函数的性质,对指数函数呢？(2)前面我们学习函数的时候,如何作函数的图象?说明它的步骤.(3)利用上面的步骤，作函数=2x的图象.（4）利用上面的步骤,作函数 y=(21)的图象.(5)观察上面两个函数的图象各有什么特点,再画几个类似的函数图象,看是否也有类似的特点?（6)根据上述几个函数图象的特点，你能归纳出指数函数的性质吗？(）把和 y=(21)x的图象,放在同一坐标系中,你能发现这两个图象的关系吗?(8）你能证明上述结论吗?(9）能否用 y=2的图象画（21)的图象？请说明画法的理由.活动:教师引导学生回顾需要
9、研究的函数的那些性质,共同讨论研究指数函数的性质的方法,强调数形结合,强调函数图象在研究函数性质中的作用，注意从具体到一般的思想方法的运用,渗透概括能力的培养,进行课堂巡视,个别辅导，投影展示画得好的部分学生的图象,同时投影展示课本表 21,22 及图 212,1及 2.14,及时评价学生,补充学生回答中的不足学生独立思考,提出研究指数函数性质的思路，独立画图,观察图象及表格,表述自己的发现,同学们相互交流，形成对指数函数性质的认识,推荐代表发表本组的集体的认识.讨论结果：（1)我们研究函数时，根据图象研究函数的性质,由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性,有时也通过画函数
10、图象,从图象的变化情况来看函数的性质.(2)一般是列表，描点，连线,借助多媒体手段画出图象,用计算机作函数的图象(3)列表.-3.00-2.50-2.00-1 0-1.0 0.00 0.50 1 0 1.50.00=2x 81 41 21 1 2 4 作图如图 2-1-21 图 2-1-2-1（4）列表.x-2.0 2.00-.50 1.00 000 1.00 1.50 2.00 2.0 y=(21)x 41 21 1 作图如图-1-2 图-12-(5）通过观察图 2121，可知图象左右延伸,无止境说明定义域是实数.图象自左至右是上升的，说明是增函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图
11、象经过点(0,）,且 y 值分布有以下特点,时 0y0 时.图象不关于轴对称，也不关于 y 轴对称，说明函数既不是奇函数也不是偶函数.通过观察图 2122,可知图象左右延伸，无止境说明定义域是实数.图象自左至右是下降的,说明是减函数,图象位于 x 轴上方,说明值域大于 0.图象经过点（0,),x时 y1,x0 时 0y1 和 0a1 的情况下,它的图象特征和函数性质如下表所示 图象特征 函数性质 a1 0a1 0 一般地,指数函数 y=ax在底数 a1 及a1 0a1 图象 性质 定义域:值域：（0,+)过点（0,1)，即 x=0 时=在 R 上是增函数，当 x时,0y0 时,y 在 R 上是减函数,当 x时,y1；当 x0 时,01（)在同一坐标系中作出=2x和（21)x两个函数的图象,如图 2-1-3经过仔细研究发现,它们的图象关于 y 轴对称.