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1、数学分析(mathematical analysis)课程简介(计划课时:2 时)一、背景:从切线、面积等问题引入.1 极限(limit)变量数学的基本运算.2 数学分析的基本内容：数学分析以极限作为工具来研究函数的一门学科（仅在实数范围内进行讨论）.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.3 数学分析的形成过程：孕育于古希腊时期:在我国很早就有极限思想.纪元前三世纪,Archimedes 就有了积分思想.十七世纪以前是一
2、个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期:十七世纪下半叶到十九时纪上半叶微积分的创建时期:十九时纪上半叶到二十时纪上半叶分析学理论的完善和重建时期.二、数学分析课的特点:逻辑性很强,很细致,很深刻;先难后易,是说开头四章有一定的难度,若能努力学懂前四章(或前四章的 80%),后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地
3、用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此,理解证明的思维方式,学习基本的证明方法,掌握叙述和书写证明的一般语言和格式,是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此,建议的学习方法是:课前要复习,做好必要的听课准备;课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,补充课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导叙述和书写的格式与方法.基本掌握了课堂教学内容后,再去做作业.在学习中,要养成多想问题的习惯,善于论证进行肯定，尤其要善于举反例进行否定;对概念不能有一点含糊,那是一个数学名词的固定含义,那是推理论证的根据
4、.数学分析是数学系最重要的一门专业基础课，因为它不仅是大学数学系学生进校后首先面临的一门重要课程，而且大学本科乃至研究生阶段的很多后继课程在本质上都可以看作是它的延伸、深化或应用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以说是无处不在.本课程的主要任务是：使学生获得极限论、单多元微积分、级数论等方面的系统知识；为后继数学专业课程（如微分方程、实变函数和复变函数、概率论、统计及有关的泛函分析、微分几何等选修课程）及普通物理课程等提供所需的基础理论和知识；提高学生思维能力，开发学生智能，加强“三基”（基础知识、基本理论、基本技能）训练及培养学生独立工作能力.数学分析是数学专业各个方向上考研必考的专业基础
5、课(另一门是高等代数).三、课堂讲授方法:1.关于教材与参考书目:没有严格意义上的教科书.这是大学与中学教学不同的地方,本课程主要从以下教科书中取材:1 华东师范大学数学系编，数学分析(上下册)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.2 数学分析讲义(上下册)(第三版).刘玉琏 傅沛仁编.高等教育出版社，2001.3 数学分析新讲(一、二、三册).张筑生编.北京大学出版社，1991.4 微积分学教程(共八册).菲赫金哥尔茨著.人民教育出版社，1978.5 数学分析中的反例.王俊青编.电子科技大学出版社，1996.6 数学分析中的典型问题与方法.裴礼文编.高等教育出版社，2002.7 数学分析
6、习题集题解(共六册).吉米多维奇编.费定辉等译，山东科技出版社，1983.本课程基本按1的逻辑顺序,主要在1、2、3中取材.在讲授中,有时会指出所讲内容的出处.本课程为适应课时少和学分制的要求,只介绍数学分析最基本的内容.因此删去了1中第十九和二十三等两章,相应的内容作为选修课将在学完数学分析课之后开设.2.内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是同类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.3.讲解的重点:概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条
7、件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.在第一、二章教学中,可能会写出某些定理证明,以后一般不会做特别具体的证明叙述.四、要求、辅导及考试：1.学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为1:3(国外这个比例通常是 1:4)对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:作业以1的练习题中划线以上的部
8、分习题为主要内容,同时可参考7与1中划线以下部分的习题.大体上每个练习收一次作业,每次收作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业要按数学排版格式书写恭整.要求活页作业,要有作业封面,尺寸为cm5.275.19.3.辅导:大体每周一次,第一学期要求辅导时不缺席.4.考试:按学分制的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和所布置作业的内容,包括1中的典型例题.开设三学期考三次.考试题为标准化试题.五.内容安排 1.课时分配:第一学期 166=96;第二学期 186=108;第三学期 184=72.2.内容分配:第一学期一元函数微分学
9、;第二学期一元函数积分学与级数论;第三学期二元函数微积分学.第一章 实数集与函数（计划课时：6 时）P122 1 实 数（1 时）一实数及其性质：回顾中学中关于实数集的定义.1.实数用无限小数表示的方法:为了把有限小数(包括整数)表示为无限小数,规定:对于正有限小数(包括正整数)x,naaaax210.时,其中,90ia,0,2,1nani0a为非负整数,记9999)1(.210naaaax;而当0ax 为正整数时,则记9999).1(0 ax;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号;又规定数 0 表示为000.0.例如010999.2011.2,9
10、99.78.2.实数的大小:定义 1:(实数大小的概念)见1P1.定义 2:(不足近似与过剩近似的概念)见1P2.命题:设210.aaax 与210.bbby 为两个实数,则yx n,使得nnyx.例 1 设x、y为实数，yx.证明：存在有理数r满足yrx.1P17E1.3.实数的性质:.四则运算封闭性:.三歧性(即有序性):.Rrchimedes 性:bnaNnabRba,0,.稠密性:有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义.实数集的几何表示 数轴:.两实数相等的充要条件:.,0 baba 二.区间和邻域的概念:见1P5 三.几个重要不等式:1.绝对值不等式:定义.,max aaa 1P2
11、 的六个不等式.2.其它不等式:,222abba .1 sin x .sin xx 均值不等式:对,21Rnaaa 记 ,1 )(121niiniannaaaaM(算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值)有平均值不等式:),()()(iiiaMaGaH 等号当且仅当naaa21时成立.Bernoulli 不等式:,1x有不等式.,1)1(Nnnxxn 当1x 且 0 x,Nn且2n时,有严格不等式.1)1(nxxn 证 由 01 x且111)1(1)1(,01nnxnxx ).1()1(x
12、nxnnn.1)1(nxxn 利用二项展开式得到的不等式:对,0h 由二项展开式 ,!3)2)(1(!2)1(1)1(32nnhhnnnhnnnhh 有nh)1(上式右端任何一项.Ex 1P4:3，4，5，6；2 确界原理（2 时）一、有界数集:定义(上、下有界,有界),闭区间、baba,(),(为有限数）、邻域等都是有界数集，如集合),(,sin xxyyE也是有界数集.二、无界数集:定义,),0 (,)0 ,(,),(等都是无界数集,如集合)1 ,0 (,1 xxyyE也是无界数集.三、确界:给出直观和刻画两种定义.例 1 ,)1(1nSn则._inf _,supSS.),0(,sin x
13、xyyE则._inf _,supEE 例 2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例 3 设S和A是非空数集，且有.AS 则有.infinf ,supsupASAS.例 4 设A和B是非空数集.若对Ax和,By都有,yx 则有.infsupBA 证,Byy是A的上界,.sup yA Asup 是B的下界,.infsup BA 例 5 A和B为非空数集,.BAS 试证明:.inf,inf mininfBAS 证 ,Sx有Ax或,Bx 由Ainf和Binf分别是A和B的下界,有Axinf或.inf,inf min .infBAxBx即 inf,inf minBA是 数 集S的 下 界,.inf,
14、inf mininf BAS 又SAS ,的下界就是A的下界,Sinf是S的下界,Sinf 是A的下界,;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf,inf mininfBAS.综上,有 inf,inf mininfBAS.四、数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例 1为例做解释.五、确界与最值的关系:设E为数集.E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若Emax存在,必有.supmaxEE 对下确界有类似的结论.六、确界原理:Th (确界原理).Ex 1P9:2，4，5.3 函数概念(2 时)一.函数的定
15、义:1.函数:1P1011 的四点说明.2.定义域:定义域和存在域.3.函数的表示法:4.反函数:一 一对应,反函数存在定理.5.函数的代数运算:二.分段函数:以函数1 ,1 ,2,1 ,1)(2xxxxxxf 和1 ,1 ,2)(2xxxxxg为例介绍概念.,123)(xxf 去掉绝对值符号.例 2 .1 ,1,1 ,)(xxxxxf 求).2(),1(),0(fff 例 3 设.10 ,)5(,10 ,3)(xxffxxxf 求).5(f (答案为 8)三.复合函数:例 4 .1)(,)(2xxguuufy 求).()(xgfxgf并求定义域.例 5 ._)(,1)1(2xfxxxf .1
16、122xxxxf 则)()(xf A.,2x B.,12x C.,22x D.22x 四.初等函数:1.基本初等函数:2.初等函数:3.初等函数的几个特例:设函数)(xf和)(xg都是初等函数,则 )(xf是初等函数,因为.)()(2xfxf )(,)(max)(xgxfx 和)(,)(min)(xgxfx 都是初等函数,因为)(,)(max)(xgxfx)()()()(21xgxfxgxf,)(,)(min)(xgxfx )()()()(21xgxfxgxf.幂指函数 0)()()(xfxfxg是初等函数,因为 .)()(ln)()(ln)()(xfxgxfxgeexfxg 五.介绍一些特殊
17、函数:1.符号函数 2.Dirichlet 函数 3.Riemann 函数 4.取整函数 5.非负小数部分函数 Ex 1P15 1(4)(5)，2,3，4，5,6,7,8；4 具有某些特性的函数(1 时)一、有界函数:有界与无界函数的概念.例 1 验证函数 325)(2xxxf在R内有界.解法一 由,62322)3()2(32222xxxx 当0 x时,有 .3625625325325)(22xxxxxxxf 30)0(f,对,Rx 总有,3)(xf 即)(xf在R内有界.解法二 令 3252xxy关于x的二次方程 03522yxyx有实数根.22245 y.2 ,42425 ,02yy 解法三 令 2,2 ,23ttgtx对应).,(x 于是 tttttgtgttgttgtxxxf2222sec1cossin65123353232235325)(.6252sin625)(,2sin625 txft 例 2 见1P17.例 3 见1P17.二、关于单调函数、奇偶函数和周期函数(略)，参阅1P1719，Ex 1P20 1，2,3，4，5,6,7；