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1、学习必备 欢迎下载 第一章 实数集与函数 导言 数学分析课程简介(2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景:从切线、面积、计算32sin、实数定义等问题引入.2.极限(limit)变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数,并依据这些运算引进并研究一些非初等函数.数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区
2、别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想.纪元前三世纪,Archimedes 就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶 微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶 分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:学习必备 欢迎下载 逻辑性很强,很细致,很深刻;先难后易,是说开头四章有一定的难度,倘能努力学懂前四章(或前四章的),后面的学习就会容易一些;只要在课堂上专心听讲,一般是可以听得懂的,但即便能听懂,习题还是难以顺利完成.这是因为数学分析技巧性很强,只了解基本
3、的理论和方法,不辅以相应的技巧,是很难顺利应用理论和方法的.论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一,也是最难的内容之一.一般懂得了证明后,能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事.因此,理解证明的思维方式,学习基本的证明方法,掌握叙述和书写证明的一般语言和格式,是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此,建议的学习方法是:预习,课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,补充课堂讲授中太简或跳过的推导,阅读教科书,学习证明或推导的叙述和书写.基本掌握了课堂教学内容后,再去做作业.在学习中
4、,要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方,本课程主要从以下教科书中取材:1 华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；2 刘玉琏 傅沛仁 编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；3 谢惠民，恽自求 等 数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；4 马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；5 林源渠，方企勤 数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按1 的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带要研究微分和
5、积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设.3.内容多,课时紧:大学课堂教学与中学不同的是,这里每次课介绍的内容很多,因此,内容重复的次数少,讲课只注重思想性与基本思路,具体内容或推导,特别是同类型或较简的推理论证及推导计算,可能讲得很简,留给课后的学习任务一般很重.4.讲解的重点:概念的意义与理解,几何直观,理论的体系,定理的意义、条件、结论.定理证明的分析与思路,具有代表性的证
6、明方法,解题的方法与技巧.某些精细概念之间的本质差别.五.要求、辅导及考试：1.学习方法:尽快适应大学的学习方法,尽快进入角色.课堂上以听为主,但要做课堂笔记.课后一定要认真复习消化,补充笔记.一般课堂教学与课外复习的时间比例应为:3。对将来从事数学教学工作的师范大学本科生来说,课堂听讲的内容应该更为丰富:要认真评价教师的课堂教学,把教师在课堂上的成功与失败变为自己的经验.这对未来的教学工作是很有用的.2.作业:作业以练习题中划线以上的部分习题为主要内容.大体上每周收一次作业,一次收清.每次重点检查作业总数的三分之一.作业的收交和完成情况有一个较详细的登记,缺交作业将直接影响学期总评成绩.作业
7、要按数学排版格式书写工整.3.辅导:大体每周一次,第一学期要求辅导时不缺席.4.考试:按教学大纲的要求,只以最基本的内容进行考试,大体上考课堂教学和所布置作业的内容,包括1 中的典型例题.考试题为标准化试题，理论证明题逐渐增多.第一章 实数集与函数 要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 教学目的：1.使学生掌握实数的概念，建立起实数集确界的清晰概念；2.使学生深刻理解函数的概念，熟悉与函数性态有关的一些常见术语。要求学生：理解并
8、熟练运用实数的有序性、稠密性与封闭性；掌握邻域的概念；牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式；理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题证明中正确地加以应用；深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；牢记基本初等函数的定义、性质及其图象，会求函数的定义域，会分析函数的复合关系。教学重点：函数、确界的概念及其有关性质。教学时数：10 学时 1 实数（2 学时）教学目的：使学生掌握实数的基本性质 教学重点：1.理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；2.牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论
9、证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用 教学方法：讲授（部分内容自学）一复习引新：1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2.四则运算封闭性:要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 3.三歧性(即有序性):4.Rrchimedes性:5.稠密性:有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义.6.实数集的几何表示 数轴:7.两实数相等的充要条件:8.区间和邻域:二.讲授新课：（一）.几个重要不等式:1.绝对值不等式:定义 1P3
10、的六个不等式.2.其他不等式:均值不等式:对 记 (算术平均值)(几何平均值)(调和平均值)要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 有平均值不等式:等号当且仅当 时成立.Bernoulli 不等式:(在中学已用数学归纳法证明过)有不等式 当 且,且 时,有严格不等式 证：由 且 利用二项展开式得到的不等式:对 由二项展开式 有 上式右端任何一项.作业：（）（）、（）2 数集确界原理（4 时）教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数
11、确界的清晰概念。教学要求：1.掌握邻域的概念；2.理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）。教学难点：确界的定义及其应用。要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 教学方法：讲授为主。一、区间与邻域 二、有界数集与确界原理:1.有界数集:定义(上、下有界,有界)，闭区间、为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 也是有界数集.无界数集:定义,等都是无界数集,集合 也是
12、无界数集.2.确界:给出直观和刻画两种定义.例 1 则 则 例 2 非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.例 3 设和是非空数集，且有则有.例 4 设和是非空数集.若对和都有则有 证 是的上界,是的下界,要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 例 5 和为非空数集,试证明:证 有或由和分别是和的下界,有或 即是数集的下界,又的下界就是的下界,是的下界,是的下界,同理有 于是有.综上,有.3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.
13、以例 1为例做解释.4.确界与最值的关系:设为数集.的最值必属于,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若存在,必有 对下确界有类似的结论.三、确界原理:Th1.1 (确界原理)设S为非空数集。若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界。作业：；3 函数概念(2 学时)要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：1.深刻理解函数的定
14、义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；2.牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。一、函数:1.函数:1P10 11 的四点说明.2.定义域:定义域和存在域.3.函数的表示法:4.反函数:一一对应,反函数存在定理.5.函数的代数运算:二、分段函数:以函数 和 为例介绍概念.例 1 去掉绝对值符号.例 2 求 例 3 设 求 (答案为 8)三、函数的复合:要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限
15、思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 例 4 求并求 定义域.例 5 则 A.B.C.D.4P407 E62.四、初等函数:1.基本初等函数:2.初等函数:3.初等函数的几个特例:设函数 和 都是初等函数,则 是初等函数,因为 和 都是初等函数,因为 ,.幂指函数 是初等函数,因为 要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 作业：P15 3；4.(2)(3)；5.(2)；7:(3)
16、；11 4 具有某些特性的函数(2 学时)教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。一、有界函数:有界函数概念.例 6 验证函数 在 内有界.解法一 由 当 时,有 ,对 总有 即 在 内有界.解法二 令关于的二次方程有实数根.解法三 令 对应 于是 要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的学习必备 欢迎下载 二、单调函数 三、奇函数和偶函数 四、周期函数 要研究微分和积分两种特殊的极限运算利用这两种运算从微观和宏观两二数学分析的形成过程孕育于古希腊时期在我国很早就有极限思想纪元上半叶到二十世纪上半叶分析学理论的完善和重建时期三数学分析课的