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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1已知集合1,0,1,2,03ABxx，则AB A.1,0,1 B.0,1 C.1,1,2 D.1,2 2在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是（1,2），则i z=A.12i B.2i C.1 2i D.2i 3在52x 的展开式中，2x的系数为 A.-5 B.5 C.-10 D.10 4某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 A.63 B.62 3 C.123 D.122 3
2、 5已知半径为 1 的圆经过点3,4，则其圆心到原点的距离的最小值为 (A)4(B)5(C)6(D)7 6已知函数 21xf xx，则不等式()0f x 的解集是(A)1,1(B),11,+(C)0,1(D),01,+7设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQl于Q，则线段FQ的垂直平分线(A)经过点O(B)经过点P(C)平行于直线OP(D)垂直于直线OP 8在等差数列 na中，1a=-9，5a=-1，记121,2,nnTaaan,则数列 nT（A）有最大项，有最小项 （B）有最大项，无最小项 （C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 9已知R，则
3、“存在kZ使得=1kk”是“sin=sin”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件 102020年3月14日是全球首个国际圆周率日（Day）.历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔卡西的方法是:当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2的近似值，按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 （A）30303sintannnn（）（B）30306sintannnn（）（C）60603sintannnn（）（D）60606si
4、ntannnn（）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。11函数1()1f xInxx的定义域是_.12已知双曲线22:163xyC，则C的右焦点的坐标为_:C的焦点到其渐近线的距离是_.13已知正方形ABCD的边长为 2，点P满足1()2APABAC，则PD=_；PB PD=_.14若函数()sin()cosf xxx的最大值为 2，则常数的一个取值为_.15 为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为()Wf t，用()()f bf aba的大小评价在,a b
5、这段时间内企业污水治理能力的强弱。已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：在12,t t这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在2t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；在3t时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；甲企业在10,t,12,t t,23,t t这三段时间中，在10,t的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16(本小题13分)如图，在正方体1111ABCDABC D中，E为1BB的中点，()求证:1BC平面1AD E；()求直线1AA与平面1AD E所成角的
6、正弦值。17(本小题13分)在ABC中，11ab,再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求:(I)a的值；(II)sinC 和ABC的面积.条件:7c,17cosA ;条件:18cosA，9os16cB。注:如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分。18.（本小题 14 分）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二。为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：男生 女生 支持 不支持 支持 不支持 方案一 200 人 400 人 300 人 100 人 方案二 350 人 250 人 150 人 250 人 假设所有学生对活
7、动方案是否支持相互独立。（）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；（）从该校全体男生中随机抽取 2 人，全体女生中随机抽取 1 人，估计这 3 人中恰有 2 人支持方案一的概率；（）将该校学生支持方案二的概率估计值记为0p。假设该校一年级有 500 名男生和 300 名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为1p，试比较0p与1p的大小。（结论不要求证明）19（本小题 15 分）已知函数2()12f xx。（）求曲线()yf x的斜率等于-2 的切线方程；（）设曲线()yf x在点(,()t f t处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t，求()S t
8、的最小值.20（本小题 15 分）已知椭圆2222:1xyCab过点(2,1)A，且2ab。（）求椭圆C的方程；（）过点(4,0)B 的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x 于点P，Q.求|PBBQ的值.21.（本小题 15 分）已知na是无穷数列，给出两个性质：对于na中任意两项,()ija a ij，在na中都存在一项ma，使得2imjaaa；对于na中任意一项(3)na n，在na中都存在两项,()kla a kl，使得2knlaaa.（）若(1,2,.)nan n，判断数列na是否满足性质，说明理由；（）若12(1,2,.)nnan，判断数列na是否同时满足性质和性质，说明理由；（）若na是递增数列，且同时满足性质和性质，证明：na为等比数列.