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1、 FIR 数字滤波器的设计-等波纹最佳逼近法一、等波最佳逼近的原理简介 等波纹最佳逼近法是一种优化设计法，即最大误差最小化准则，它克服了窗函数设计法和频率采样法的缺点，使最大误差（即波纹的峰值）最小化，并在整个逼近频段上均匀分布。用等波纹最佳逼近法设计的 FIR 数字滤波器的幅频响应在通带和阻带都是等波纹的，而且可以分别控制通带和阻带波纹幅度，这就是等波纹的含义。最佳逼近是指在滤波器长度给定的条件下，使加权误差波纹幅度最小化。与窗函数设计法和频率采样法比较，由于这种设计法使滤波器的最大逼近误差均匀分布，所以设计的滤波器性能价格比最高。阶数相同时，这种设计法使滤波器的最大逼近误差最小，即通带最大
2、衰减最小，阻带最小衰减最大；指标相同时，这种设计法使滤波器阶数最低。等波纹最佳逼近法的设计思想。用)(dH表示希望逼近的幅度特性函数，要求设计线性相位 FIR 数字滤波器时,)(dH必须满足线性相位约束条件。用 H表示实际设计的滤波器的幅度特性函数。定义加权误差函数 为 HHWd 式中，W为幅度误差加权函数，用来控制不同频带（一般指通带和阻带）的幅度逼近精度。等波纹最佳逼近法的设计在于找到滤波器的系数向量 nh，使得在通带和阻带内的最大绝对值幅度误差 为最小，这也就是最大误差最小化问题。二、等波纹逼近法设计滤波器的步骤和函数介绍 1.根据滤波器的设计指标的要求：边界频率，通带最大衰减，阻带最大
3、衰等估计滤波器阶数 n，确定幅度误差加权函数 W 2.采用 Parks-McClellan 算法，获得所设计滤波器的单位脉冲响应 nh 实现 FIR 数字滤波器的等波纹最佳逼近法的 MATLAB 信号处理工具函数为firpm 和 firpmord。firpm 函数采用数值分析中的多重交换迭代算法求解等波纹最佳逼近问题，求的满足等波纹最佳逼近准则的 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应 nh。firpmord 根据逼近指标,计算采用 Parks-McClellan 算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数，误差加权向量 w,归一化边界频率向量 f。3 对 firpm 和 firpmord 的说明 firp
4、m 函数功能：采用 Parks-McClellan 算法设计 FIR 滤波器 函数格式：hn=firpm(n,f,m,w)n 是滤波器的阶 hn 是数字滤波器的单位脉冲响应，其长度为 n+1 f 是希望滤波器的边界频率向量，要求 f 是单调增向量，并且从 0 开始，以 1结束，1 对于数字频率 m 是与 f 对应的希望滤波器的幅度向量，m 和 f 的长度相等，km表示希望滤波器在频率点 kf上的幅频响应，m 和 f 给出了希望滤波器的幅度特性。w 是误差加权向量，其长度为 f 的一半。)(w i表示对 m 中第 i 个频率段幅度逼近精度的加权值。w 缺省时，函数默认 w 全为 1，即每个频率段
5、的逼近误差加权值相同。firpmord 函数 函数功能：根据逼近指标，计算采用 Parks-McClellan 算法等波纹最佳逼近滤波器的最低阶数 n，误差加权向量 w 和归一化边界频率 f。其返回参数作为firpm 函数的调用参数。函数格式：n,f,m,w=firpmord(f,m,rip,fs)f 可以是归一化边界数字频率向量，也可以是模拟边界频率向量，但必须以 0开始，以 1 结束或 fs/2 结束，并且其中省略了 0 和 fs/2 两个频率点。fs 是时域采样频率，单位 Hz。fs 缺省时,函数默认 fs=2Hz.但这是 f 的长度（包括省略 0 和 fs/2 两个频率点）是 m 的两
6、倍，即 m 中的每个元素表示 f给定的一个逼近频段上的希望逼近的幅度值。rip 表示 f 和 m 描述的各逼近段允许的波纹振幅（幅频响应最大偏差）。4.注意事项：省略 fs 时，f 必须是归一化的数字频率 有时计算的阶数 n 略小，使设计结果达不到指标要求，这时要取 n+1 或 n+2 三、程序 低通滤波器设计%Lowpass filter:wp=,ws=,N=26%peak passband ripple is,peak stopband ripple is clc;clear;clear all;wp_l=*pi;ws_l=*pi;N1=26;deltal_1=;deltal_2=;%初始
7、化参数 f_l=0 wp_l ws_l pi/pi;%设定归一化的firpm函数参数 deltal=deltal_1,deltal_2;a_l=1 1 0 0;%幅值 n,f,m,w_l=firpmord(f_l(2:3),1 0,deltal);%计算权值 fil_l=firpm(N1,f_l,a_l,w_l);%生成滤波器 figure(1);stem(fil_l,.);title(impulse response of lowpass filter);xlabel(time sequence);ylabel(amplitude);fft_l=fft(fil_l,1024);db_l=20
8、*log10(abs(fft_l);%对数表示 figure(2);plot(0:length(fft_l)-1/length(fft_l),db_l);%将横坐归化到0-1,单位为1/1024 title(Log-magnitude response of lowpass filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Magnitude response(dB);axis(0 -100 10);%设坐标轴的范围，只取0-2pi的一半 afl=abs(fft_l);%取傅变的幅值 afl_p=zeros(1,1024/2);afl_s=zeros(1,
9、1024/2);%初始化两个一行512列的零序列 afl_p(1:fix(wp_l/(2*pi)*1024)=afl(1:fix(wp_l/(2*pi)*1024)-1;%将通带幅值赋给序列一 afl_s(fix(ws_l/(2*pi)*1024)+3:end)=afl(fix(ws_l/(2*pi)*1024)+3:end/2);%将阻带幅值赋给序列二 figure(3);plot(0:1024/2-1/1024,afl_p+afl_s);%将通带和阻带的波形显示到一幅图像上 title(passband and stopband approximation error of lowpass
10、 filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Passband and stopband ripple);带通滤波器设计%Bandpass filter:ws1=,wp1=,wp2=,ws2=,N=80%peak passband ripple is,each peak stopband ripple is ws_b1=*pi;wp_b1=*pi;wp_b2=*pi;ws_b2=*pi;N2=80;deltab_1=;deltab_2=;deltab_3=;deltab=deltab_1,deltab_2,deltab_3;f_b=0 ws_b1 w
11、p_b1 wp_b2 ws_b2 pi/pi;a_b=0 0 1 1 0 0;n,f,m,w_b=firpmord(f_b(2:5),0 1 0,deltab);fil_b=firpm(N2,f_b,a_b,w_b);figure(4);stem(fil_b,.);title(impulse response of bandpass filter);xlabel(time sequence);ylabel(amplitude);fft_b=fft(fil_b,1024);db_b=20*log10(abs(fft_b);figure(5);plot(0:length(fft_b)-1/leng
12、th(fft_b),db_b);title(Log-magnitude response of bandpass filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Magnitude response(dB);axis(0 -100 10);afb=abs(fft_b);afb_p=zeros(1,1024/2);afb_s=zeros(1,1024/2);afb_p(fix(wp_b1/(2*pi)*1024)+3:fix(wp_b2/(2*pi)*1024)=afb(fix(wp_b1/(2*pi)*1024)+3:fix(wp_b2/(2*pi)*1
13、024)-1;afb_s(fix(ws_b2/(2*pi)*1024)+2:end)=afb(fix(ws_b2/(2*pi)*1024)+2:end/2);afb_s(1:fix(ws_b1/(2*pi)*1024)=afb(1:fix(ws_b1/(2*pi)*1024);figure(6);plot(0:1024/2-1/(1024),afb_p+afb_s);title(passband and stopband approximation error of bandpass filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Passband an
14、d stopband ripple);高通滤波器设计%Highpass filter:ws=,wp=,N=34%peak passband ripple is,peak stopband ripple is ws_h=*pi;wp_h=*pi;N3=34;deltah_1=;deltah_2=;deltah=deltah_1,deltah_2;f_h=0 ws_h wp_h pi/pi;a_h=0 0 1 1;n,f,m,w_h=firpmord(f_h(2:3),0 1,deltah)fil_h=firpm(N3,f_h,a_h,w_h);figure(7);stem(fil_h,.);ti
15、tle(impulse response of highpass filter);xlabel(time sequence);ylabel(amplitude);fft_h=fft(fil_h,1024);db_h=20*log10(abs(fft_h);figure(8);plot(0:length(fft_h)-1/length(fft_h),db_h);title(Log-magnitude response of highpass filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Magnitude response(dB);axis(0 -100
16、 10);afh=abs(fft_h);afh_p=zeros(1,1024/2);afh_s=zeros(1,1024/2);afh_p(fix(wp_h/(2*pi)*1024)+5:end)=afh(fix(wp_h/(2*pi)*1024)+5:end/2)-1;afh_s(1:fix(ws_h/(2*pi)*1024)=afh(1:fix(ws_h/(2*pi)*1024);figure(9);plot(0:1024/2-1/(1024),afh_p+afh_s);title(passband and stopband approximation error of highpass filter);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Passband and stopband ripple);仿真图 1）以下三幅图依次为低通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹 2）以下三幅图依次为带通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹 3）以下三幅图依次为高通滤波器的冲激响应，对数幅频响应和通带阻带波纹