《2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理科)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(理科)(解析版).pdf（13页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理）试题解析 本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码答 卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并 交回.第卷 注意事项：1每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.2本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 如果事件 A，B 相互独立，那么()()()P
2、ABP AP B()()().P ABP A P B 棱柱的体积公式.VSh 圆锥的体积公式1.3VSh 其中 S 表示棱柱的底面面积 其中 S 表示圆锥的底面面积 h 表示棱柱的高 h 表示圆锥的高 一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1i是虚数单位，复数131ii=()A2i B2i C12i D12i 【答案】A.【解析】1 3(1 3)(1)4221(1)(1)2iiiiiiii.2设,x yR则“2x 且2y”是“224xy”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D即不充分也不必要条件 【答案】A【解析】当2y2 且x时，一定有422
3、 yx；反过来当 422 yx，不一定有2y2 且x，例如0,4yx也可以，故选 A 3阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】1i时，2111a；2i时，5122a；3i时，16153a；4i时，50651164a，输出4i，故选 B.4已知 na为等差数列，其公差为-2，且7a是3a与9a的等比中项，nS为 na的前n项和，*nN，则10S的值为()A-110 B-90 C90 D110 【答案】D.【解析】2,9327daaa，)16)(4()12(1121aaa，解之得201a，110)2(2910201010s.5在622xx的二
4、项展开式中，2x的系数为()A154 B154 C38 D38 【答案】C【解析】由二项式展开式得，kkkkkkkkxCxxCT36626612122，令1k，则2x的系数为 832116612C.6如图，在ABC中，D是边AC上的点，且,23,2ABCDABBD BCBD，则sinC的值为()A33 B36 C63 D66 【答案】D【解析】设BD2，则3 ADAB，4BC，由余弦定理得 332323432cos222BDADABBDADADB，36311cos1sin2BDCBDC.由正弦定理得CBDCsin2sin4，即663621sin21sinBDCC.7已知324log 0.3lo
5、g 3.4log 3.615,5,5abc则()Aabc Bbac Cacb Dcab 【答案】C【解析】令4.32logm，6.34logn，3103logl，在同一坐标系下作出三个函数的图象，由图象可得 nlm，又xy5为单调递增函数，bca.8 对实数a和b，定义运算“”：,1,1.a ababb ab 设函数 22()2,.f xxxxxR若函数()yf xc的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A3,21,2 B3,21,4 C111,44 D311,44 【答案】B【解析】12,12,2)(222222xxxxxxxxxxf 23,1,231,222xxxxxx或 则
6、 xf的图象如图 cxfy)(的图象与x轴恰有两个公共点，o x y y=log2x y=log3x y=log4x-1-2 o x y )(xfy 与cy 的图象恰有两个公共点，由图象知2c，或431c.二、填空题 9.一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为_.【答案】12【解析】设抽取男运动员人数为n，则36482148n，解之得12n.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体 的体积为_3m.【答案】6【解析】该几何体为一个棱柱与一个圆锥的组合体，63131123V.
7、11.已知抛物线C的参数方程为28,8.xtyt（t为参数），若斜率为 1的直线经过抛物线C的的焦点，且与圆2224(0)xyrr相切，则r=_.【答案】2【解析】参数方程tytx882，消去t得xy82，焦点坐标为0,2.直线l的方程为2 xy，又直线l与圆2224ryx相切，211|24|r.12.如图已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且2,:4:2:1.DFCFAF FB BE若CE与圆相切，则CE的长为_.【答案】27【解析】设kAF4，kBF2，kBE，由BFAFFCDF得282k，即21k.27,21,1,2AEBEBFAF，由切割定理得4727212EAB
8、ECE，27CE.13.已知集合1|349,|4,(0,)AxR xxBxR xttt，则集合AB=_.【答案】52|xRx【解析】54|9|4|3|xRxxxRxA，,0,6142|,0,614|tttxRxtttxRxB2|xRx，52|2|54|xRxxRxxRxBA.14.已知直角梯形ABCD中，AD/BC,090ADC,2,1ADBC,P是腰DC上的动点，则3PAPB的最小值为_.【答案】5【解析】建立如图所示的坐标系，设PCh，则(2,0),(1,)ABh，设(0,),(0)Pyyh 则(2,),(1,)PAy PBhy，2325(34)255PAPBhy.三、解答题：本大题共 6
9、 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15（本小题满分 13 分）已知函数()tan(2),4f xx（）求()f x的定义域与最小正周期；（II）设0,4，若()2cos2,2f求的大小 15本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分 13 分.（I）解：由2,42xkkZ，得,82kxkZ.所以()f x的定义域为|,82kxR xkZ A B C D o x y()f x的最小正周期为.2 （II）解：由()2cos2,2afa 得tan()2cos2,4aa 22si
10、n()42(cossin),cos()4aaaa 整理得sincos2(cossin)(cossin).cossinaaaaaaaa 因为(0,)4a，所以sincos0.aa 因此211(cossin),sin 2.22aaa即 由(0,)4a，得2(0,)2a.所以2,.612aa即 16（本小题满分 13 分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）（）求在 1 次游戏中，（i）摸出 3 个
11、白球的概率；（ii）获奖的概率；（）求在 2 次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望()E X.16本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.满分 13 分.（I）（i）解：设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件(0,1,2,3),iAi则 2132322531().5CCP ACC （ii）解：设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则23BAA，又 22111322222222253531(),2CCC CCP ACCCC 且 A2，A3互斥，所以23117()()().2510P BP A
12、P A （II）解：由题意可知 X 的所有可能取值为 0，1，2.212279(0)(1),101007721(1)(1),101050749(2)().10100P XP XCP X 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 9100 2150 49100 X 的数学期望921497()012.100501005E X 17（本小题满分 13 分）如图，在三棱柱111ABCABC中，H是正方形11AAB B的中心，12 2AA，1C H 平面11AAB B，且15.C H （）求异面直线 AC 与 A1B1所成角的余弦值；（）求二面角111AACB的正弦值；（）设N为棱11BC的中点，点M在
13、平面11AAB B内，且MN 平面11ABC，求线段BM的长 17本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分 13 分.方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点.依题意得(2 2,0,0),(0,0,0),(2,2,5)ABC 111(2 2,2 2,0),(0,2 2,0),(2,2,5)ABC （I）解：易得11(2,2,5),(2 2,0,0)ACAB ，于是11111142cos,3|3 2 2AC ABAC A BACAB 所以异面直线 AC 与 A1B1所成角
14、的余弦值为2.3 （II）解：易知111(0,2 2,0),(2,2,5).AAAC 设平面 AA1C1的法向量(,)mx y z，则11100m ACm AA即2250,2 20.xyzy 不妨令5,x 可得(5,0,2)m，同样地，设平面 A1B1C1的法向量(,)nx y z，则11110,0.n ACn AB即2250,2 20.xyzx不妨令5y，可得(0,5,2).n 于是22cos,|777m nm nmn 从而3 5sin,.7m n 所以二面角 AA1C1B 的正弦值为3 5.7 （III）解：由 N 为棱 B1C1的中点，得2 3 25(,).222N设 M（a，b，0），
15、则23 25(,)222MNab 由MN 平面 A1B1C1，得11110,0.MN ABMN AC 即2()(2 2)0,223 25()(2)()(2)50.222aab 解得2,22.4ab故22(,0).24M 因此22(,0)24BM，所以线段 BM 的长为10|.4BM 方法二：（I）解：由于 AC/A1C1，故111C AB是异面直线 AC 与 A1B1所成的角.因为1C H 平面 AA1B1B，又 H 为正方形 AA1B1B 的中心，112 2,5,AAC H 可得11113.ACBC 因此22211111111111112cos.23ACABBCC ABACAB 所以异面直线
16、 AC 与 A1B1所成角的余弦值为2.3（II）解：连接 AC1，易知 AC1=B1C1，又由于 AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，所以11AC A11BC A，过点 A 作11ARAC于点R，连接B1R，于是111B RAC，故1ARB为二面角 AA1C1B1的平面角.在11Rt ARB中，21111122 14sin2 21().33B RABRAB 连接 AB1，在1ARB中，2221111114,cos2ARB RABABARB RARBAR B R27，从而13 5sin.7ARB 所以二面角 AA1C1B1的正弦值为3 5.7（III）解：因为MN 平面 A1B1C1，所以
17、11.MNAB 取 HB1中点 D，连接 ND，由于 N 是棱 B1C1中点，所以 ND/C1H 且11522NDC H.又1C H 平面 AA1B1B，所以ND 平面 AA1B1B，故11.NDAB 又,MNNDN 所以11AB 平面 MND，连接 MD 并延长交 A1B1于点 E，则111,/.MEABMEAA故 由1111111,4B EB DDEAAB AB A 得122DEB E，延长 EM 交 AB 于点 F，可得12.2BFB E连接 NE.在Rt ENM中，2,.NDMENDDE DM故 所以25 2.4NDDMDE 可得2.4FM 连接 BM，在Rt BFM中，2210.4B
18、MFMBF 18（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系xOy中，点(,)P a b(0)ab为动点，12,F F分别为椭圆22221xyab的左右焦点已知12FPF为等腰三角形（）求椭圆的离心率e；（）设直线2PF与椭圆相交于,A B两点，M是直线2PF上的点，满足2AM BM，求点M的轨迹方程 18本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分.（I）解：设12(,0),(,0)(0)FcF cc 由题意，可得212|,PFFF 即22()2.acbc 整理得22()1
19、0,1cccaaa 得（舍），或1.2ca所以1.2e （II）解：由（I）知2,3,ac bc 可得椭圆方程为2223412,xyc 直线 PF2方程为3().yxc A，B 两点的坐标满足方程组2223412,3().xycyxc 消去 y 并整理，得2580.xcx 解得1280,.5xxc 得方程组的解21128,0,53,3 3.5xcxycyc 不妨设83 3(,),(0,3)55Acc Bc 设点 M 的坐标为83 3(,),(,),(,3)55x yAMxc yc BMx yc则，由33(),.3yxccxy得 于是8 3383 3(,),15555AMyxyx(,3).BMx
20、x由2,AM BM 即8 3383 3()()3215555yxxyxx ，化简得21816 3150.xxy 将2218153105,0.31616 3xxycxycxx代入得 所以0.x 因此，点 M 的轨迹方程是21816 3150(0).xxyx 19（本小题满分 14 分）已知0a，函数2()ln,0.f xxaxx（()f x的图像连续不断）（）求()f x的单调区间；（）当18a 时，证明：存在0(2,)x，使03()()2f xf；（）若存在均属于区间 1,3的,，且1，使()()ff，证明 ln3ln2ln253a 19本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不
21、等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.（I）解：2112()2,(0,)2axfxaxxx，令2()0,.2afxa解得x=当 x 变化时，(),()fxf x的变化情况如下表：x 2(0,)2aa 22aa 2(,)2aa()fx+0-()f x 极大值 所以，()f x的单调递增区间是2(0,),()2af xa的单调递减区间是2(,).2aa （II）证明：当211,()ln.88af xxx时 由（I）知()f x在（0，2）内单调递增，在(2,)内单调递减.令3()()().2g xf xf 由于()f x在（0
22、，2）内单调递增，故3(2)(),2ff即g(2)0.取2341 92,()0.232exeg x则 所以存在00(2,),()0,xxg x使 即存在003(2,),()().2xf xf使（说明：x的取法不唯一，只要满足2,()0 xg x且即可）（III）证明：由()()ff及（I）的结论知22aa，从而(),f x 在上的最小值为().f a 又由1，,1,3,知123.故(2)()(1),ln24,(2)()(3).ln24ln39.fffaafffaa 即 从而ln3ln2ln2.53a 20（本小题满分 14 分）已知数列 na与 nb满足：1123(1)0,2nnnnnnnb
23、aabab，*nN，且122,4aa（）求345,a a a的值；（）设*2121,nnncaanN，证明：nc是等比数列；（III）设*242,kkSaaakN证明：4*17()6nkkkSnNa 20本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.（I）解：由*3(1),2nnbnN 可得1,nnb为奇数2,n为偶数 又1120,nnnnnb aaba 123123234434543;5;4.当n=1时,a+a+2a=0,由a=2,a=4,可得a当n=2时,2a+a+a=0,可得a当n=3时,a+a
24、+2a=0,可得a（II）证明：对任意*,nN 2122120,nnnaaa 2212220,nnnaaa 21222320,nnnaaa ，得 223.nnaa 将代入，可得21232121()nnnnaaaa 即*1()nncc nN 又1131,0,ncaa 故c 因此11,nnnccc 所以是等比数列.（III）证明：由（II）可得2121(1)kkkaa，于是，对任意*2kNk且，有 13355723211,()1,1,(1)()1.kkkaaaaaaaa 将以上各式相加，得121(1)(1),kkaak 即121(1)(1)kkak，此式当 k=1 时也成立.由式得12(1)(3)
25、.kkak 从而22468424()()(),kkkSaaaaaak 21243.kkkSSak 所以，对任意*,2nNn，44342414114342414()nnkmmmmkmkmmmmSSSSSaaaaa 12221232()2222123nmmmmmmmmm 123()2(21)(22)(22)nmmmmm 22532 32(21)(22)(23)nmmmnn 21533(21)(21)(22)(23)nmmmnn 151111113()()()3235572121(22)(23)nnnn 15513362 21(22)(23)7.6nnn 对于 n=1，不等式显然成立.所以，对任意*,nN 2121212212nnnnSSSSaaaa 32121241234212()()()nnnnSSSSSSaaaaaa 22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)nnn 22211121()()()41244(41)44(41)nnnnn 111().4123nn