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1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共 10 小题，每小题5 分，共 50 分）1设,a b是向量，命题“若ab，则a=b”的逆命题是（）A若ab，则ab B若ab，则ab C若ab，则ab D若a=b，则a=-b【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。【解】选 D 原命题的条件是ab，作为逆命题的结论；原命题的结论是|ab，作为逆命题的条件，即得逆命题“若|ab，则ab”，故选 D 2设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是（）A28yx B24y
2、x C28yx D24yx 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键【解】选 B 由准线方程2x 得22p,且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴），所以228ypxx 3设0ab，则下列不等式中正确的是（）A2ababab B2abaabb C2abaabb D2ababab 4函数13yx的图像是（）4.答：B 5某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A283 B83 C8-2 D23 【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算【精讲精析】选 A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以
3、它的体积是 3218222833V.6方程cosxx在,内（）A没有根 B有且仅有一个根 C有且仅有两个根 D有无穷多个根 7如右框图，当126,9,xx8.5p 时，3x等于 A7 B8 C10 D11 8设集合 M=y|y=12cosx2sinx|,xR,|1xNxi 2,i 为虚数单位，xR,则 MN 为（）A（0,1）B（0,1 C0,1）D0,1 9设1122(,),(,),x yxy ，(,)nnxy是变量x和y的n次方个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是（）A直线l过点(,)x y Bx和y的相关系数为直线l的斜率 Cx和y的相
4、关系数在 0 到 1 之间 D当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同 【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断 【解】选 A 选项 具体分析 结论 A 回归直线l一定过样本点中心(,)x y；由回归直线方程的计算公式aybx可知直线l必过点(,)x y 不正确 B 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确 C 相关系数的值有正有负，还可以是 0；当相关系数在 0 到 1 之间时，两个变量为正相关，在1到 0 之间时，两个变量负相关 不正确 D l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性
5、无关，也不一定是平均分布 正确 10植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从 1 到 20 依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（）A（1）和（20）B（9）和（10）C（9）和（11）D（10）和（11）二、填空题。把答案填在答题卡相应题号后的横线上（共 5 道小题，每小题 5 分，共 25 分）11设lg,0,()10,0,xx xf xx则 f（f（-2）=_ 11-2 12如图，点（x,y）在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么
6、 2x-y 的最小值为_ 121 13观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此规律，第五个等式应为_ 135+6+7+8+9+10+11+12+13=81 14设 nN,一元二次方程240 xxn有整数根的充要条件是 n=_ 143 或 4【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算【解】41642nx24n，因为x是整数，即24n为整数，所以4n为整数，且4n，又因为nN，取1,2,3,4n，验证可知3,4n 符合题意；反之3,4n 时，可推出一元二次方程240 xxn有整数根【答案】3 或 4 15（
7、考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A（不等式选做题）若不等式12xxa对任意xR恒成立，则 a 的取值范围是_。15A,3 B（几何证明选做题）如图，0,90BD AEBCACD 且 AB=6，AC=4，AD=12，则 AE=_ B2 C（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系 xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A,B 分别在曲线13cos:sinxCy （为参数）和曲线2:1C上，则AB的最小值为_ C1 三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 75 分）16（本小题满分 12 分）如图，在A
8、BC 中，ABC=45，BAC=90，AD 是 BC 上的高，沿AD 把ABD 折起，使BDC=90。（）证明：平面 平面；（）设 BD=1，求三棱锥 D的表面积。16解（）折起前是边上的高，当 折起后，AD，AD，又 DB，平面，AD 平面平面 ABD BDC.ABD平面平面（）由（）知，DADB,DBDC,DCDA,DB=DA=DC=1，AB=BC=CA=2,从而111 1,22DAMDBCDCASSS 1322sin6022ABCS 表面积：13333.222S 17（本小题满分 12 分）设椭圆 C:222210 xyabab过点（0，4），离心率为35（）求 C 的方程；（）求过点（
9、3，0）且斜率为45的直线被 C 所截线段的中点坐标。17解（）将（0，4）代入 C 的方程得2161b b=4 又35cea 得222925aba 即2169125a，a=5 C 的方程为2212516xy（）过点3,0且斜率为45的直线方程为435yx，设直线与的交点为11,x y，22,xy，将直线方程435yx代入的方程，得 22312525xx，即2380 xx，解得 13412x，23412x，AB 的中点坐标12322xxx，1212266255yyyxx，即中点为36,25。注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。18（本小题满分 12 分）叙述并证明余弦定理。18解 余弦定理：
10、三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在ABC 中，a，b，c 为 A，B，C 的对边，有 2222cosabcbcA，2222cosbcacaB，2222coscababC 证法一 如图，2cBC ACABACAB 222ACACABAB222cosACACABAAB 222cosbbcAc 即 2222cosabcbcA 同理可证 2222cosbcacaB，2222coscababC 证法二 已知ABC中,A B C所对边分别为,a b c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)C bA bA B c，22
11、222222222|(cos)(sin)cos2cossin2cos.aBCbAcbAbAbcAcbAbcbcA 同理可证 2222222cos,2cos.bcaacBcababC 19（本小题满分 12 分）如图，从点1(0,0)P做 x 轴的垂线交曲线xye于点1(0,1),Q曲线在1Q点处的切线与 x 轴交于点2P，再从2P做 x 轴的垂线交曲线于点2Q，依次重复上述过程得到一系列点：1122,;,.;,nnPQ PQP Q记kP点的坐标为(,0)(1,2,.,)kxkn（）试求1x与1kx的关系(2)kn （）求112233.nnPQPQPQPQ 19解（）设11(,0)kkPx，由x
12、ye 得111(,)kxkkQxe点处切线方程为 111()kkxxkyeexx 由0y 得11(2)kkxxkn。（）由110,1kkxxx，得(1)kxk，(1)kxkkkPQee于是 112233.nnnSPQPQPQPQ 112(1)111.11nnneeeeeeee 20（本小题满分 13 分）如图，A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从 A 地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间（分钟）1020 2030 3040 4050 5060 选择 L1的人数 6 12 18 12 12 选择 L2的人数 0 4 16 16 4（）试估计 40 分钟内不
13、能赶到火车站的概率;（）分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率;（）现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站，为了尽量大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的 路径。20解（）由已知共调查了 100 人，其中 40 分钟内不能赶到火车站的有 12+12+16+4=44 人，用频率估计相应的概率为 044（）选择 L1的有 60 人，选择 L2的有 40 人，故由调查结果得频率为：所用时间（分钟）1020 2030 3040 4050 5060 L1的频率 01 02 03 02 02 L2的频率 0 01 04 04 0
14、1（）A1，A2，分别表示甲选择 L1和 L2时，在 40 分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择 L1和 L2时，在 50 分钟内赶到火车站。由（）知 P（A1）=01+02+03=06 P（A2）=01+04=05，P（A1）P（A2）甲应选择 L1 P（B1）=01+02+03+02=08 P（B2）=01+04+04=09，P（B2）P（B1），乙应选择 L2 21（本小题满分 14 分）设()ln.()()()f xx g xf xfx。（）求()g x的单调区间和最小值；（）讨论()g x与1()gx的大小关系；（）求a的取值范围，使得()()g ag x1a对任意x0 成立。
15、21解（）由题设知1()ln,()lnf xx g xxx，21(),xg xx令()g x0 得x=1，当x（0，1）时，()g x0，故（0，1）是()g x的单调减区间。当x（1，+）时，()g x0，故（1，+）是()g x的单调递增区间，因此，x=1 是()g x的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为(1)1.g（II）1()lnxgxx 设11()()()2lnh xg xgxxxx，则22(1)()xh xx，当1x 时，(1)0h即1()()g xgx，当(0,1)(1,)x时(1)0h，因此，()h x在(0,)内单调递减，当01x时，()(1)0h xh 即1()().g xgx 当x1,()(1)0h xh时 1()()g xgx即（III）由（I）知()g x的最小值为 1，所以，1()()g ag xa，对任意0 x，成立1()1,g aa 即ln1,a 从而得0ae。