《2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(文科)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(文科)(解析版).pdf（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（文）试题解析 本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页，选择题部分 1 至 2 页，非选择题部分 3 至 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共 50 分）注意事项 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准备考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷个答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦.干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 5
2、0 分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）若1,1Px xQ x x，则 ()（A）PQ （B）QP （C）RC PQ （D）RQC P【答案】D【解析】1xxP 1xxPCR，又1xxQ，RQC P，故选 D （2）若复数1zi，i为虚数单位，则(1)zz()（A）13i （B）33i （C）3i （D）3【答案】A【解析】iz1，iiizz31)1)(2()1(.X+2y-50（3）若实数 x，y 满足不等式组 2x+y-70,则 3x+4y 的最小值是()x0,y0(A)13 (B)15 (C)20 (D)28【答案】A【解析】可行域如图所示 o x y 2x+y
3、-7=0 X+2y-5=0 联立072052yxyx，解之得13yx，当yxz43 过点（3.1）时，有最小值 13.（4）若直线l不平行于平面a，且l，则()(A)a内的所有直线与l异面 (B)a内不存在与l平行的直线(C)a内存在唯一的直线与l平行 (D)a内的直线与l都相交【答案】B【解析】在内存在直线与l相交，所以 A 不正确；若存在直线与l平行，又l，则有/l，与题设相矛盾，B 正确 C 不正确；在内不过l与交点的直线与l异面，D 不正确.（5）在ABC中，角,A B C所对的边分,a b c.若cossinaAbB，则2sincoscosAAB()(A)-12 (B)12 (C)-
4、1 (D)1【答案】D【解析】BbAasincos，BAA2sincossin，1cossincoscossin222BBBAA.（6）若,a b为实数，则“01ab”是“1ba”的()(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】当10 ab，0,0ba时，有ab1，反过来ab1，当0a时，则有1ab，“10 ab”是“ab1”的既不充分也不必要条件.（7）几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【答案】B【解析】由正视图可排除 A，C；由侧视图可判断该该几何体的直观图是 B.（8）从已有 3 个红球、2 个白
5、球的袋中任取 3 个球，则所取的 3 个球中至少有 1 个白球的概率是()（A）110 （B）310 （C）35 （D）910【答案】D【解析】由右典型的概率公式得：10913533CCp.（9）已知椭圆22122:1xyCab（ab0）与双曲线222:14yCx 有公共的焦点，C2的一条渐近线与 C1C2的长度为直径的圆相交于,A B两点.若 C1恰好将线段AB三等分，则()（A）a2=132 （B）a2=13 （C）b2=12 (D)b2=2【答案】C 【解析】由双曲线422yx 1 知渐近线方程为xy2，又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆方程可化为22xb225 yb 225 bb，联立直线
6、与椭圆方程消y得，20552222bbbx，又1C将线段 AB 三等分，3220552212222abbb，解之得212b.（10）设函数 2,f xaxbxc a b cR，若1x 为函数 xf x e的一个极值点，则下列图象不可能为 yf x的图象是()【答案】D【解析】设xexfxF)()(，)2()()()(2cbxaxbaxexfexfexFxxx，又1x为xexf)(的一个极值点，0)()1(2caeF，即ca，22244abacb，当0时，ab2，即对称轴所在直线方程为1x；当0时，1|2|ab，即对称轴所在直线方程应大于 1 或小于1.非选择题部分（共 100 分)考生注意事项
7、 请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上 若需在答题纸上作图，可先使用铅笔作图，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。（11）设函数k4()1f xx,若()2f a,则实数a=_【答案】1 【解析】214)(aaf，1a.(12)若直线与直线250 xy与直线260 xmy互相垂直，则实数m=_.【答案】1 【解析】直线052yx与直线062 myx，0221xm，即1m.(13)某小学为了解学生数学课程的学习情况，在 3000 名学生中随机抽取 200 名，并统计这 200 名学生的某此数
8、学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图（如图）。根据频率分布直方图 3000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是_ 【答案】600 该次数学考试中成绩小于 60 分的学生的频率是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2 0.2*3000=600 （14）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 。【答案】5 【解析】3k时，34a64，43b84，ba；4k时，44a256，44b256，ba；5k时，54a2564，45b625，ba.（15）若平面向量、满足11，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为12，则 和 的夹角 的取值范围是_。【答案】65,6
9、【解析】由题意得：21sin，1，1，2121sin，又),0(，5,65.（16）若实数,x y满足221xyxy，则xy的最大值是_。【答案】332 【解析】122xyyx，1)(2xyyx，即1)2()(22yxyx，34)(2 yx，332 yx.（17）若数列2(4)()3nn n中的最大项是第k项，则k=_。【答案】4 【解析】设最大项为第k项，则有1132313243251324kkkkkkkkkkkk，0921022kkk101101102kk4 k.解答题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题满分 14 分）已知函数()sin()3f xAx，
10、xR，0A，02.()yf x的部分图像，如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,)A.（）求()f x的最小正周期及的值；（）若点R的坐标为(1,0)，23PRQ，求A的值.（18）本题主要考查三角函数的图像与性质，三角运算等基础知识。满分 14 分。（）解：由题意得，263T 因为(1,)PA在sin()3yAx的图像上 所以sin()1.3 又因为02，所以6（）解：设点 Q 的坐标为(0,xA).由题意可知02363x，得04x，所以(4,)QA 连接 PQ,在 PRQ 中，PRQ=23,由余弦定理得 22222229(9)1cos2.22 3.9RPRQPQA
11、AAPRQRP RPA 解得 A2=3。又 A0，所以 A=3。（19）（本题满分 14 分）已知公差不为 0 的等差数列 na的首项11(),a aR且124111,aaa成等比数列。（）求数列 na的通项公式；（）对nN，试比较2322221111.,naaaa与11a的大小。（19）本题主要考查等差数列等比数列的概念以及通项公式、等比数列的求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力及推理论证能力。满分 14 分。（）解：设等差数列an的公差为 d,由2214111(),aaa 得2111()(3)ada ad。从而21a dd 因为0d,所以1ndaa 故通项公式.nana，（）解：记22
12、22111.,nnTaaa因为22naa，211(1()1 11111122(.).1().1222212nnnnTaaa 所以，当 a0 时，11nTa；当 a0 时，11nTa。（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.（）证明：APBC；（）已知8BC，4PO，3AO，2OD.求二面角BAPC的大小.（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分 14 分。（）证明：由 AB=AC,D 是 BC 的中点，得 ADBC,又 PO平面 ABC,得 POBC。
13、因为 POAD=0，所以 BC平面 PAD 故 BCPA.（）解：如图，在平面 PAB 内作 BMPA 于 M,连 CM.因为 BCPA.，得 AP平面 BMC.所以 APCM.故BMC 为二面角 B-AP-C 的平面角。在 RtADB 中，AB2=AD2+BD2=41，得 AB=41 在 RtPOD 中,PD2=PO2+OD2,在 RtPDB 中,PB2=PD2+BD2,所以 PB2=PO2+OD2+BD2=36，得 PB=6.在 RtPOB 中,PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5 又2221cos,23PAPBABBPAPA PB 从而2 2sin,3BPA所以sin4 2BMPB
14、BPA 同理 CM4 2 因为 BM2+MC2=BC2 所以BPA=900 即二面角 B-AP-C 的大小为 900。（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理能力。满分 15 分。（）解：因为22()lnf xaxxax，其中0 x，所以2()(2)()2axaxafxxaxx。由于0a，所以()f x的增区间为（0，a）,减区间为（a,+）（）证明：由题意得，(1)11fac，即ac 由（）知()f x在1,e恒成立，要使21()ef xe 对1,xe恒成立，只要222(1)11()faef eaeaee 解得ae。21（本大题满分 15 分
15、）设函数22()ln,0f xaxxax a（I）求()f x的单调区间（II）求所有实数a，使21()ef xe 对 1,xe恒成立。注：e 为自然对数的底数。（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。（）解：因为22()ln.0f xaxxaxx其中 所以2()(2)()2axaxafxxaxx 由于0a，所以()f x的增区间为(0,)a，减区间为(,)a （）证明：由题意得，(1)11,facac 即 由（）知()1,f xe在内单调递增，要使21()1,ef xexe 对恒成立，只要222(1)11,()fae
16、f eaeaee 解得.ae （22）（本大题满分 15 分）如图，设 P 为抛物线1C：2xy上的动点。过点P做圆2C的两条切线，交直线l：3y 于,A B两点。（）求2C的圆心M到抛物线 1C准线的距离。（）是否存在点P，使线段AB被抛物线1C在点P处得切线平分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分 15 分。（）解：由题意可知，抛物线 C1的准线方程为：1,4y 所以圆心 M 到抛物线 C1准线的距离为111|(3)|.44 （）解：设点 P 的坐标为(x0,
17、x02)，抛物线 C1在点 P 处的切线交直线 l 于点 D。再设 A,B,D 的横坐标分别为,ABDxxx 过点 P(x0,x02)的抛物线 C1的切线方程为：20002().yxx xx （1）当01x 时，过点 P（1,1）与圆 C2的切线 PA 为：151(1)8yx。可得17,1,1,215ABDABDxxxxxx。所以2010 x。设切线 PA.PB 的斜率为12,k k，则 2010:(),PA yxk xx （2）2020:(),PB yxkxx （3）将3y 分别代入（1），（2），（3），得 2220000001201233(0);(,0),2DABxxxxxxxxxk k
18、xkk 从而20012112(3)().ABxxxxkk 又201021|3|11x kxk，即222220100 10(1)2(3)(3)10 xkxx kx 同理22222020020(1)2(3)(3)10 xkxx kx 所以12,k k是方程222220000(1)2(3)(3)10 xkxx kx 的两个不相等的根，从而 20012202(3)1x xkkx，2201220(3)11xk kx 因为2ABDxxx，所以220001203112(3)(),xxxkkx即120111kkx。从而20022002(3)1,(3)xxxx 进而得44008,8.xx 综上所述，存在点 P 满足题意，点 P 的坐标为24(8,2)