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1、一、解答题（共 30 小题）1（2012凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C（点 C 点 A 的右侧），点 P 是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD轴于 D，交 AB 于点 E当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？（3）如果平行于 x 轴的动直线 l 与抛物线交于点 Q，与直线 AB 交于点 N，点 M 为 OA 的中点，那么是否存在这样的直线 l，使得 MON 是等腰
2、三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2（2012连云港）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求 ABD 的面积；（3）将 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由 3（2012丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线于点
3、B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC（1）如图 1，当点 A 的横坐标为 _ 时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=x2，试判断抛物线 y=x2经过平移交换后，能否经过A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 4（2012乐山）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m），点 B 的坐标为（n，n），抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根 （1
4、）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD 当 OPC 为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求 BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标 5（2012兰州）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2+bx+c（a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以
5、得到 A、B 连个交点间的距离为：AB=|x1x2|=；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点 A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为 C，显然 ABC为等腰三角形（1）当 ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值 6（2012兰州）如图，Rt ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上（1）求抛物线对应的函数
6、关系式；（2）若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合），过点 M 作 BD 交 x轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此
7、时 M 点的坐标；若不存在，说明理由 7（2012荆门）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x22kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值 8（2012荆门）如图甲，四边形 OABC 的边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在 B 点的抛物线交 x 轴于点 A、D，交 y 轴于点 E，连接 AB、AE、BE已知 tan CBE=，A（3，0），D（1，0），E（0，3）（
8、1）求抛物线的解析式及顶点 B 的坐标；（2）求证：CB 是 ABE 外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 D、E、P 为顶点的三角形与 ABE 相似，若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设 AOE 沿 x 轴正方向平移 t 个单位长度（0t3）时，AOE 与 ABE 重叠部分的面积为 s，求 s 与 t 之间的函数关系式，并指出 t 的取值范围 9（2012江西）如图，已知二次函数 L1：y=x24x+3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点C（1）写出 A、B 两点的坐标；（2）二次函数 L2：y=kx24k
9、x+3k（k0），顶点为 P 直接写出二次函数 L2与二次函数 L1有关图象的两条相同的性质；是否存在实数 k，使 ABP 为等边三角形？如果存在，请求出 k 的值；如不存在，请说明理由；若直线 y=8k 与抛物线 L2交于 E、F 两点，问线段 EF 的长度是否会发生变化？如果不会，请求出 EF 的长度；如果会，请说明理由 10（2012嘉兴）某汽车租赁公司拥有 20 辆汽车据统计，当每辆车的日租金为 400 元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加 50 元，未租出的车将增加 1 辆；公司平均每日的各项支出共 4800 元 设公司每日租出工辆车时，日收益为 y 元（日收益=日租金收入一平
10、均每日各项支出）（1）公司每日租出 x 辆车时，每辆车的日租金为 _ 元（用含 x 的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？11（2012嘉兴）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 是抛物线：y=x2上的动点（点在第一象限内）连接 OP，过点 0作 OP 的垂线交抛物线于另一点 Q连接 PQ，交 y 轴于点 M作 PA 丄 x 轴于点 A，QB 丄 x 轴于点 B设点 P 的横坐标为 m（1）如图 1，当 m=时，求线段 OP 的长和 tan POM 的值；在 y 轴上找一点 C，使 OCQ 是以 OQ
11、为腰的等腰三角形，求点 C 的坐标；（2）如图 2，连接 AM、BM，分别与 OP、OQ 相交于点 D、E 用含 m 的代数式表示点 Q 的坐标；求证：四边形 ODME 是矩形 12（2012佳木斯）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点 B，且 S OAB=3，求点 B 的坐标 13（2012济宁）如图，抛物线 y=ax2+bx4 与 x 轴交于 A（4，0）、B（2，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 是线段 AB 上一动点（端点除外），过点 P 作 PD AC，交 B
12、C 于点 D，连接 CP（1）求该抛物线的解析式；（2）当动点 P 运动到何处时，BP2=BDBC；（3）当 PCD 的面积最大时，求点 P 的坐标 14（2012吉林）问题情境 如图，在 x 轴上有两点 A（m，0），B（n，0）（nm0）分别过点 A，点 B 作 x 轴的垂线，交抛物线 y=x2于点 C、点 D直线 OC 交直线 BD 于点 E，直线 OD 交直线 AC 于点 F，点 E、点 F 的纵坐标分别记为 yE，yF 特例探究 填空：当 m=1，n=2 时，yE=_，yF=_；当 m=3，n=5 时，yE=_，yF=_ 归纳证明 对任意 m，n（nm0），猜想 yE与 yF的大小关
13、系，并证明你的猜想 拓展应用（1）若将“抛物线 y=x2”改为“抛物线 y=ax2（a0）”，其他条件不变，请直接写出 yE与 yF的大小关系；（2）连接 EF，AE当 S四边形OFEA=3S OFE时，直接写出 m 与 n 的关系及四边形 OFEA 的形状 15（2012鸡西）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 OA=2，OC=3（1）求抛物线的解析式（2）若点 D（2，2）是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点 P，使得 BDP 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 注：二次函数 y=ax2+bx
14、+c（a0）的对称轴是直线 x=16（2012黄石）已知抛物线 C1的函数解析式为 y=ax2+bx3a（b0），若抛物线 C1经过点（0，3），方程 ax2+bx3a=0 的两根为 x1，x2，且|x1x2|=4（1）求抛物线 C1的顶点坐标（2）已知实数 x0，请证明 x+2，并说明 x 为何值时才会有 x+=2（3）若将抛物线先向上平移 4 个单位，再向左平移 1 个单位后得到抛物线 C2，设 A（m，y1），B（n，y2）是 C2上的两个不同点，且满足：AOB=90，m0，n0请你用含 m 的表达式表示出 AOB 的面积 S，并求出 S 的最小值及 S 取最小值时一次函数 OA 的函数
15、解析式（参考公式：在平面直角坐标系中，若 P（x1，y1），Q（x2，y2），则 P，Q 两点间的距离为）17（2012黄冈）某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为 2400 元，销售单价定为 3000 元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过 10 件时，每件按 3000 元销售；若一次购买该种产品超过 10 件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低 10元，但销售单价均不低于 2600 元（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为 2600 元？（2）设商家一次购买这种产品 x 件，开发公司所获得的利
16、润为 y 元，求 y（元）与 x（件）之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）18（2012黄冈）如图，已知抛物线的方程 C1：y=（x+2）（xm）（m0）与 x 轴相交于点 B、C，与 y 轴相交于点 E，且点 B 在点 C 的左侧（1）若抛物线 C1过点 M（2，2），求实数 m 的值；（2）在（1）的条件下，求 BCE 的面积；（3）在（1）条件下
17、，在抛物线的对称轴上找一点 H，使 BH+EH 最小，并求出点 H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点 F，使得以点 B、C、F 为顶点的三角形与 BCE 相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由 19（2012怀化）如图，抛物线 m：y=（x+h）2+k 与 x 轴的交点为 A、B，与 y 轴的交点为 C，顶点为 M（3，），将抛物线 m 绕点 B 旋转 180，得到新的抛物线 n，它的顶点为 D；（1）求抛物线 n 的解析式；（2）设抛物线 n 与 x 轴的另一个交点为 E，点 P 是线段 ED 上一个动点（P 不与 E、D 重合），过点 P 作 y 轴的垂线，垂足
18、为 F，连接 EF如果 P 点的坐标为（x，y），PEF 的面积为 S，求 S 与 x 的函数关系式，写出自变量 x的取值范围，并求出 S 的最大值；（3）设抛物线 m 的对称轴与 x 轴的交点为 G，以 G 为圆心，A、B 两点间的距离为直径作G，试判断直线 CM 与G 的位置关系，并说明理由 20（2012湖州）如图 1，已知菱形 ABCD 的边长为 2，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B 在坐标原点点 D 的坐标为（，3），抛物线 y=ax2+b（a0）经过 AB、CD 两边的中点（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形 ABCD 以每秒 1 个单位长度的速度沿 x 轴正方向匀速平移
19、（如图 2），过点 B 作 BECD 于点 E，交抛物线于点 F，连接 DF、AF设菱形 ABCD 平移的时间为 t 秒（0t）是否存在这样的 t，使 ADF 与 DEF 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由；连接 FC，以点 F 为旋转中心，将 FEC 按顺时针方向旋转 180，得 FEC，当 FEC落在 x 轴与抛物线在 x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求 t 的取值范围（写出答案即可）21（2012呼和浩特）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与双曲线相交于点 A，B，且抛物线经过坐标原点，点 A 的坐标为（2，2），点 B 在第四象限内，过点 B 作直线
20、BC x 轴，点 C 为直线 BC 与抛物线的另一交点，已知直线 BC 与 x 轴之间的距离是点 B 到 y 轴的距离的 4 倍，记抛物线顶点为 E（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算 ABC 与 ABE 的面积；（3）在抛物线上是否存在点 D，使 ABD 的面积等于 ABE 的面积的 8 倍？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 22（2012衡阳）如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点 O，矩形 ABCD 的顶点 A，D 在抛物线上，且 AD 平行x 轴，交 y 轴于点 F，AB 的中点 E 在 x 轴上，B 点的坐标为（2，1），点 P（a，b）在抛物线上运动（点 P
21、异于点O）（1）求此抛物线的解析式（2）过点 P 作 CB 所在直线的垂线，垂足为点 R，求证：PF=PR；是否存在点 P，使得 PFR 为等边三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；延长 PF 交抛物线于另一点 Q，过 Q 作 BC 所在直线的垂线，垂足为 S，试判断 RSF 的形状 23（2012黑龙江）如图，抛物线 y=x2+bx+c 经过坐标原点，并与 x 轴交于点 A（2，0）（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点 B，且 S OAB=8，求点 B 的坐标 24（2012菏泽）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为 10 元
22、/件的工艺品投放市场进行试销经过调查，得到如下数据：销售单价 x（元/件）20 30 40 50 60 每天销售量（y 件）500 400 300 200 100 （2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价成本总价）（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过 35 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？25（2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为 A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点 O 逆时针旋转 90，得到 ABO（1）一抛物线经过点 A、B、
23、B，求该抛物线的解析式；（2）设点 P 是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点 P，使四边形 PBAB 的面积是 ABO 面积 4 倍？若存在，请求出 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形 PBAB 是哪种形状的四边形？并写出四边形 PBAB 的两条性质 26（2012河南）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+1 与抛物线 y=ax2+bx3 交于 A、B 两点，点 A 在 x 轴上，点 B 的纵坐标为 3点 P 是直线 AB 下方的抛物线上一动点（不与 A、B 点重合），过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB于点 C，作 PDAB 于点 D（1）求 a
24、、b 及 sin ACP 的值；（2）设点 P 的横坐标为 m 用含有 m 的代数式表示线段 PD 的长，并求出线段 PD 长的最大值；连接 PB，线段 PC 把 PDB 分成两个三角形，是否存在适合的 m 的值，直接写出 m 的值，使这两个三角形的面积之比为 9：10？若存在，直接写出 m 的值；若不存在，说明理由 27（2012河北）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在 550 之间每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不
25、变的 浮动价与薄板的边长成正比例 在营销过程中得到了表格中的数据 薄板的边长（cm）20 30 出厂价（元/张）50 70（2）已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价成本价），求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式 当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（，）28（2012杭州）当 k 分别取1，1，2 时，函数 y=（k1）x24x+5k 都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值 29（2012杭州）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数 y=k（x
26、2+x1）的图象交于点 A（1，k）和点 B（1，k）（1）当 k=2 时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是 y 随着 x 的增大而增大，求 k 应满足的条件以及 x 的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为 Q，当 ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时，求 k 的值 30（2012海南）如图，顶点为 P（4，4）的二次函数图象经过原点（0，0），点 A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点 M，点 M、N 关于点 P 对称，连接 AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点 A 在对称轴 l 右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：证明：ANM=ONM
27、；ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点 A 的坐标；如果不能，请说明理由 答案与评分标准 一解答题（共 30 小题）1（2012凉山州）如图，在平面直角坐标系中，直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y=x2+bx+c经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C（点 C 点 A 的右侧），点 P 是抛物线上一动点（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；（2）若点 P 在第二象限内，过点 P 作 PD轴于 D，交 AB 于点 E当点 P 运动到什么位置时，线段 PE 最长？此时 PE 等于多少？（3）如果平行于 x 轴的动直线 l 与抛物线交于
28、点 Q，与直线 AB 交于点 N，点 M 为 OA 的中点，那么是否存在这样的直线 l，使得 MON 是等腰三角形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 考点：二次函数综合题。分析：（1）首先求得 A、B 点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与 x 轴另一交点 C的坐标；（2）关键是求出线段 PE 长度的表达式，设 D 点横坐标为 t，则可以将 PE 表示为关于 t 的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出 PE 长度的最大值；（3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线 l 的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线 l 是否存在
29、，并求出相应 Q 点的坐标注意“MON 是等腰三角形”，其中包含三种情况，需要逐一讨论，不能漏解 解答：解：（1）直线 y=x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A（4，0），B（0，4）抛物线 y=x2+bx+c 经过 A、B 两点，可得，解得，抛物线解析式为 y=x23x+4 令 y=0，得x23x+4=0，解得 x1=4，x2=1，C（1，0）（2）如答图 1 所示，设 D（t，0）OA=OB，BAO=45，E（t，t），P（t，t23t+4）PE=yPyE=t23t+4t=t24t=（t+2）2+4，当 t=2 时，线段 PE 的长度有最大值 4，此时 P（2，6）（3）存
30、在 如答图 2 所示，过 N 点作 NHx 轴于点 H 设 OH=m（m0），OA=OB，BAO=45，NH=AH=4m，yQ=4m 又 M 为 OA 中点，MH=2m MON 为等腰三角形：若 MN=ON，则 H 为底边 OM 的中点，m=1，yQ=4m=3 由xQ23xQ+4=3，解得 xQ=，点 Q 坐标为（，3）或（，3）；若 MN=OM=2，则在 Rt MNH 中，根据勾股定理得：MN2=NH2+MH2，即 22=（4m）2+（2m）2，化简得 m26m+8=0，解得：m1=2，m2=4（不合题意，舍去）yQ=2，由xQ23xQ+4=2，解得 xQ=，点 Q 坐标为（，2）或（，2）
31、；若 ON=OM=2，则在 Rt NOH 中，根据勾股定理得：ON2=NH2+OH2，即 22=（4m）2+m2，化简得 m24m+6=0，=80，此时不存在这样的直线 l，使得 MON 为等腰三角形 综上所述，存在这样的直线 l，使得 MON 为等腰三角形 所求 Q 点的坐标为（，3）或（，3）或（，2）或（，2）点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、一元二次方程的解法及判别式、等腰三角形以及勾股定理等方面知识，涉及考点较多，难度较大第（3）问中，注意等腰三角形有三种情形，需要分类讨论，避免因漏解而导致失分 2（2012连云港）如图，抛物线 y=x2+bx+c 与
32、x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF=2，EF=3，（1）求抛物线所对应的函数解析式；（2）求 ABD 的面积；（3）将 AOC 绕点 C 逆时针旋转 90，点 A 对应点为点 G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由 考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）在矩形 OCEF 中，已知 OF、EF 的长，先表示出 C、E 的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式（2）根据（1）的函数解析式求出 A、B、D 三点的坐标，以 AB 为底、D 点纵
33、坐标的绝对值为高，可求出 ABD 的面积（3）首先根据旋转条件求出 G 点的坐标，然后将点 G 的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可 解答：解：（1）四边形 OCEF 为矩形，OF=2，EF=3，点 C 的坐标为（0，3），点 E 的坐标为（2，3）把 x=0，y=3；x=2，y=3 分别代入 y=x2+bx+c 中，得，解得，抛物线所对应的函数解析式为 y=x2+2x+3；（2）y=x2+2x+3=（x1）2+4，抛物线的顶点坐标为 D（1，4），ABD 中 AB 边的高为 4，令 y=0，得x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，所以 AB=3（1）=4，ABD 的面积=44=
34、8；（3）AOC 绕点 C 逆时针旋转 90，CO 落在 CE 所在的直线上，由（2）可知 OA=1，点 A 对应点 G 的坐标为（3，2），当 x=3 时，y=32+23+3=02，所以点 G 不在该抛物线上 点评：这道函数题综合了图形的旋转、面积的求法等知识，考查的知识点不多，难度适中 3（2012丽水）在直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=x2在第二象限上的点，连接 OA，过点 O 作 OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC （1）如图 1，当点 A 的横坐标为 1 时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物
35、线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线 y=x2，试判断抛物线 y=x2经过平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由 考点：二次函数综合题。专题：代数几何综合题。分析：（1）过点 A 作 ADx 轴于点 D，根据正方形的对角线平分一组对角可得 AOC=45，所以 AOD=45，从而得到 AOD 是等腰直角三角形，设点 A 坐标为（a，a），然后利用点 A 在抛物线上，把点的坐标代入解析式计算即可得解；（2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，先利用抛物线解析式求出 AE 的长度，然后证明 AEO 和 OF
36、B 相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出 OF 与 BF 的关系，然后利用点 B 在抛物线上，设出点 B 的坐标代入抛物线解析式计算即可得解；过点 C 作 CGBF 于点 G，可以证明 AEO 和 BGC 全等，根据全等三角形对应边相等可得 CG=OE，BG=AE，然后求出点 C 的坐标，再根据对称变换以及平移变换不改变抛物线的形状利用待定系数法求出过点 A、B 的抛物线解析式，把点 C 的坐标代入所求解析式进行验证变换后的解析式是否经过点 C，如果经过点 C，把抛物线解析式转化为顶点式解析式，根据顶点坐标写出变换过程即可 解答：解：（1）如图，过点 A 作 ADx 轴于点 D，矩形 AO
37、BC 是正方形，AOC=45，AOD=9045=45，AOD 是等腰直角三角形，设点 A 的坐标为（a，a）（a0），则（a）2=a，解得 a1=1，a2=0（舍去），点 A 的坐标a=1，故答案为：1；（2）过点 A 作 AEx 轴于点 E，过点 B 作 BFx 轴于点 F，当 x=时，y=（）2=，即 OE=，AE=，AOE+BOF=18090=90，AOE+EAO=90，EAO=BOF，又 AEO=BFO=90，AEO OFB，=，设 OF=t，则 BF=2t，t2=2t，解得：t1=0（舍去），t2=2，点 B（2，4）；过点 C 作 CGBF 于点 G，AOE+EAO=90，FBO+
38、CBG=90，AOE=FBO，EAO=CBG，在 AEO 和 BGC 中，AEO BGC（AAS），CG=OE=，BG=AE=xc=2=，yc=4+=，点 C（，），设过 A（，）、B（2，4）两点的抛物线解析式为 y=x2+bx+c，由题意得，解得，经过 A、B 两点的抛物线解析式为 y=x2+3x+2，当 x=时，y=（）2+3+2=，所以点 C 也在此抛物线上，故经过 A、B、C 三点的抛物线解析式为 y=x2+3x+2=（x）2+平移方案：先将抛物线 y=x2向右平移 个单位，再向上平移个单位得到抛物线 y=（x）2+点评：本题是对二次函数的综合考查，包括正方形的性质，相似三角形的判定
39、与性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求抛物线解析式，综合性较强，难度较大，要注意利用点的对称、平移变换来解释抛物线的对称平移变换，利用点研究线也是常用的方法之一 4（2012乐山）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（m，m），点 B 的坐标为（n，n），抛物线经过 A、O、B 三点，连接 OA、OB、AB，线段 AB 交 y 轴于点 C已知实数 m、n（mn）分别是方程 x22x3=0 的两根 （1）求抛物线的解析式；（2）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O、B 重合），直线 PC 与抛物线交于 D、E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD、BD 当 OPC
40、为等腰三角形时，求点 P 的坐标；求 BOD 面积的最大值，并写出此时点 D 的坐标 考点：二次函数综合题。分析：（1）首先解方程得出 A，B 两点的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）首先求出 AB 的直线解析式，以及 BO 解析式，再利用等腰三角形的性质得出当 OC=OP 时，当 OP=PC时，点 P 在线段 OC 的中垂线上，当 OC=PC 时分别求出 x 的值即可；利用 S BOD=S ODQ+S BDQ得出关于 x 的二次函数，进而得出最值即可 解答：解（1）解方程 x22x3=0，得 x1=3，x2=1 mn，m=1，n=3（1 分）A（1，1），B（3，3）抛物
41、线过原点，设抛物线的解析式为 y=ax2+bx 解得：，抛物线的解析式为（4 分）（2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b 解得：，直线 AB 的解析式为 C 点坐标为（0，）（6 分）直线 OB 过点 O（0，0），B（3，3），直线 OB 的解析式为 y=x OPC 为等腰三角形，OC=OP 或 OP=PC 或 OC=PC 设 P（x，x），（i）当 OC=OP 时，解得，（舍去）P1（，）（ii）当 OP=PC 时，点 P 在线段 OC 的中垂线上，P2（，）（iii）当 OC=PC 时，由，解得，x2=0（舍去）P3（，）P 点坐标为 P1（，）或 P2（，）或 P3（，）（9 分
42、）过点 D 作 DGx 轴，垂足为 G，交 OB 于 Q，过 B 作 BHx 轴，垂足为 H 设 Q（x，x），D（x，）S BOD=S ODQ+S BDQ=DQOG+DQGH，=DQ（OG+GH），=，=，0 x3，当时，S 取得最大值为，此时 D（，）（13 分）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质和三角形面积求法等知识，求面积最值经常利用二次函数的最值求法得出 5（2012兰州）若 x1、x2是关于一元二次方程 ax2+bx+c（a0）的两个根，则方程的两个根 x1、x2和系数 a、b、c有如下关系：x1+x2=，x1x2=把它称为一元二次方程根与系数关系定理如果设
43、二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点为 A（x1，0），B（x2，0）利用根与系数关系定理可以得到 A、B 连个交点间的距离为：AB=|x1x2|=；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的两个交点 A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为 C，显然 ABC为等腰三角形（1）当 ABC 为直角三角形时，求 b24ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，求 b24ac 的值 考点：抛物线与 x 轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析：（1）当 ABC 为直角三角形时，由于 AC
44、=BC，所以 ABC 为等腰直角三角形，过 C 作 CEAB 于 E，则AB=2CE 根据本题定理和结论，得到 AB=，根据顶点坐标公式，得到 CE=|=，列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值；（2）当 ABC 为等边三角形时，解直角 ACE，得 CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出 b24ac 的值 解答：解：（1）当 ABC 为直角三角形时，过 C 作 CEAB 于 E，则 AB=2CE 抛物线与 x 轴有两个交点，=b24ac0，则|b24ac|=b24ac a0，AB=，又 CE=|=，b24ac0，b24ac=4；（2）当 ABC 为等边三角形时，由（1）可知 CE=，b
45、24ac0，b24ac=12 点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与 x 轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等 6（2012兰州）如图，Rt ABO 的两直角边 OA、OB 分别在 x 轴的负半轴和 y 轴的正半轴上，O 为坐标原点，A、B 两点的坐标分别为（3，0）、（0，4），抛物线 y=x2+bx+c 经过点 B，且顶点在直线 x=上（1）求抛物线对应的函数关系式；（2）若把 ABO 沿 x 轴向右平移得到 DCE，点 A、B、O 的对应点分别是 D、C、E，当四边形 ABCD 是菱形时，试判断点 C 和点 D 是否在该抛物线上，并说明理由；（3）在（2
46、）的条件下，连接 BD，已知对称轴上存在一点 P 使得 PBD 的周长最小，求出 P 点的坐标；（4）在（2）、（3）的条件下，若点 M 是线段 OB 上的一个动点（点 M 与点 O、B 不重合），过点 M 作 BD 交 x轴于点 N，连接 PM、PN，设 OM 的长为 t，PMN 的面积为 S，求 S 和 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围，S 是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时 M 点的坐标；若不存在，说明理由 考点：二次函数综合题。分析：（1）根据抛物线 y=经过点 B（0，4），以及顶点在直线 x=上，得出 b，c 即可；（2）根据菱形的性质得出 C、D 两点的坐标分
47、别是（5，4）、（2，0），利用图象上点的性质得出 x=5 或 2 时，y 的值即可（3）首先设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，求出解析式，当 x=时，求出 y 即可；（4）利用 MN BD，得出 OMN OBD，进而得出，得到 ON=，进而表示出 PMN 的面积，利用二次函数最值求出即可 解答：解：（1）抛物线 y=经过点 B（0，4）c=4，顶点在直线 x=上，；所求函数关系式为；（2）在 Rt ABO 中，OA=3，OB=4，AB=，四边形 ABCD 是菱形，BC=CD=DA=AB=5，C、D 两点的坐标分别是（5，4）、（2，0），当 x=5 时，y=，当 x=2 时，y
48、=，点 C 和点 D 都在所求抛物线上；（3）设 CD 与对称轴交于点 P，则 P 为所求的点，设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b，则，解得：，当 x=时，y=，P（），（4）MN BD，OMN OBD，即得 ON=，设对称轴交 x 于点 F，则（PF+OM）OF=（+t），（）=，S=（），=（0t4），S 存在最大值 由 S=（t）2+，当 S=时，S 取最大值是，此时，点 M 的坐标为（0，）点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键 7（2012荆门）已知：y 关于 x 的函数 y=（k1）x2
49、2kx+k+2 的图象与 x 轴有交点（1）求 k 的取值范围；（2）若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2 求 k 的值；当 kxk+2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最大值 考点：抛物线与 x 轴的交点；一次函数的定义；二次函数的最值。分析：（1）分两种情况讨论，当 k=1 时，可求出函数为一次函数，必与 x 轴有一交点；当 k1 时，函数为二次函数，若与 x 轴有交点，则 0（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于 k 的方程，求出 k 的值；充分利用图象，直接得出 y 的最大
50、值和最小值 解答：解：（1）当 k=1 时，函数为一次函数 y=2x+3，其图象与 x 轴有一个交点（1 分）当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点，令 y=0 得（k1）x22kx+k+2=0 =（2k）24（k1）（k+2）0，解得 k2即 k2 且 k=1（2 分）综上所述，k 的取值范围是 k2（3 分）（2）x1x2，由（1）知 k2 且 k=1 由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*）（4 分）将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2（5 分）又 x1+x2=，x1x2=，2k=4（6 分）解得：