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1、文章编号:1673-0291(2006)01-0030-05梯 度 功 能 压 电 材 料 的 一 组 参 数 识 别向宏军,石志飞(北京交通大学 土木建筑工程学院,北京 100044)摘 要:当考虑压电材料的压电参数g31,弹性参数S33和材料密度 沿厚度呈梯度变化时,通过测量压电材料悬臂梁在电场或横向集中力作用下梁的宏观反映(如应变、位移和电势),给出了确定这些参数分布的公式,包括g31、S33的单参数识别及体积力与联合参数识别的方法.对联合参数识别方法在常体力、材料参数S33为常数或在厚度方向呈线性变化等情况下的应用问题进行了讨论.关键词:梯度功能材料;压电材料;参数识别中图分类号:O3
2、43.1 文献标识码:AParameter Identification Methods forA Functionally Gradient Piezoelectric MaterialXIANG Hong_jun,SHI Zhi_fei(School ofCivil Engineering and Architecture,BeijingJiaotong University,Beijing100044,China)Abstract:Taking the gradient property of piezoelectric parameters g31,elastic compliance
3、 parametersS33and densityalongz direction intoaccount,someparameter identificationmethodsfor a function-ally gradient piezoelectric material are studied in the present analysis.In detail thesingle parameter i-dentification for g31or S33aswellas the multipleparameteridentificationfor S33andare presen
4、ted bythe use of the strain,displacement andelectrical potential of a given functionally gradient piezoelectriccantilever subjected toa concentratedforceor anelectric field.At theendof this paper,applicationsofthe multiple parameter identification method are discussed in some special cases.Key words
5、:FGM;piezoelectricmaterial;parameter identification 压电参数是表征一种压电材料或一个压电元件的基本物理参数,研究压电参数的精确、便捷、可靠的测试方法,对新材料的开发和合理利用均具有重要意义.然而非均质材料(比如梯度功能压电材料)的物理参数识别是很难解决的问题,通常实验要求试件由均匀材料制成,但如果在观察点处材料的非均匀梯度很高,就很难甚至不可能加工出代表该点材料性能的试件,因而无法用传统的方法对材料的性质进行识别.IEEE(The Institute of Electrical and ElectronicsEngineers,Inc)的压电
6、测量标准自 1987 年颁布以来,一直应用于压电材料的参数测量.然而IEEE标准仍存在着局限性,研究者们已对压电材料高精度参数测量的理论和方法等诸多问题进行了深入的研究,并取得了可喜的成果.如在考虑损耗因素方面,Arthar提出了一种适用于高频压电陶瓷振子的包含损耗效应且较为精确的等效电路形式1,Jeong_Ho提出了将机械损耗和压电损耗均用并联电路形式表示的等效电路2,AlfPuttmer提出了损耗的压电传输线模型并推导了等效电路参数3.在复参 数测量方 面,有Smits迭 代法4,5、Sherrit方法6,7及阻抗曲线拟合法8.Wang收 稿日 期:2004-05-19;修 回日 期:20
7、05_10_28基 金项 目:国家自 然科 学基金 资助项目(50272003);高等学校优秀青 年教师 教学 科研奖 励计 划资助 项目作 者简 介:向宏军(1980),男,贵州黎平人,博士 生.email:xhjun 石志飞(1965),男,山西清徐人,教授,博 士,博士生导师.第 30 卷 第 1 期2006 年 2 月 北 京 交 通 大 学 学 报JOURNAL OF BEIJING JIA OTONG UNIVERSITY Vol.30No.1Feb.2006等人设计了改进的Berlicourt复数d33测量仪9,另外还有激光干涉法10,11、光学杠杆法12等.在压电双晶片参数测量
8、方面,Deschanvres设计了测量压电双晶片特性的装置13;对微执行器中所用的非对称双晶片及层叠晶片,Wang分析了准静态条件下执行器宏观物 理量与材料参数的关 系14;Luginbuhl等提出了测量压电参数d31的干涉法、电测法及有限元仿真法15.然而,需要指出的是,上述方法还无法直接应用于梯度功能压电材料参数的测量.这里,除给出压电参数g31呈梯度变化时的单独识别 方法外,还给 出了呈 梯度变 化的 弹性参 数S33的单独识别方法.此外,在同时考虑S33和体积力均具有梯度特性时,给出了g31与S33两参数的联合识别方法.常体力、S33为常数或呈线性变化等情况下的参数识别均可作为特例而得
9、到.1 基本公式对压电材料执行器的力_电转换行为,通常采用图 1 所示悬臂梁模型进行分析.图 1 压电材料执行器示意图Fig.1 Schematicof piezoelectric actuator设材料沿z轴极化,则x-z面内平面应变问题的压电本构方程为x=S11x+S13z+g31Dzz=S13x+S33z+g33Dzxz=S44xz+g15DxEx=-g15xz+11DxEz=-g31x-g33z+33Dz(1)式中,(x,z,xz)、(x,z,xz)、(Ex,Ez)和(Dx,Dz)分 别表 示应 变、应力、电 场强 度 以及 电 位移;(S11,S13,S33,S44)、(g31,g3
10、3,g13)和(11,33)分别为平面应变问题的弹性柔度参数、压电参数以及介电隔离率.对图 1 所示压电悬臂梁,考虑压电参数g31沿z轴呈线性变化,其它材料参数为常数,并取g33=1+2zh()(2)式中,1、2为常数.采用逆解法16,17,取应力函数和电位移函数为=0,=-U0h33x(3)式中,U0为外加电压.则可得到图 1 所示梯度压电悬臂梁在电场作用下梁中纵向应变 x(x,z)、纵向位移u(x,z)及横向位移w(x,z)的解析表达式x(x,z)=U0h331+2zh()u(x,z)=U0h331+2zh()(x-L)w(x,z)=U0h33g33z-U02h332(x-L)2(4)另外
11、,通过对图 2 所示分布电极极化下的梯度压电悬臂梁,考虑材料的弹性参数S33和密度 均沿z轴呈梯度变化,并假设体积力Fx与Fz为有势力,即可取Fx=0,Fz=-V/z(V为体力势函数),而其它材料参数均设为常数.图 2 压电悬臂梁梁端受集中荷载作用Fig.2 Acantilever subjected to aconcentrated force将V和S33作级数展开并取有限项进行分析,即V=m0+m1zh()+m2zh()2+m3zh()3S33=r1+r2zh()+r3zh()2(5)式中,m0m3,r1r3为材料常数.为方便起见,记k=-(g31+g15)/11,S=2S13+S44-k
12、(g31+g15),a=12m3+2m1,当悬臂梁受横向集中力P作用时,采用逆解法,将应力函数 和电位移函数取为=x22az3-3a4z-m24-m0()-110d1z5-16d2z4-13d3z3-d4z2-x2h3z3-32hz()P=x z3-14z()ka-2h3z3+12hz()kP(6)式中 d1=m3S13+aS2S11,d2=m2S132S11,d3=-3m3S13+aS40S11,d4=-m2S1324S11.13第 5 期 向宏军等:梯度功能压电材料的一组参数识别由此可得到图 2 所示梁中横向应变 z(x,z)、横向位移w(x,z)及(x,z)电势的表达式z(x,z)=4i
13、=-1Rizh()4-i+3(ax-4P)h3S13xzw(x,z)=4i=-1Rih5-izh()5-i+3(ax-4P)2h3S13xz2+aS114h3(4L3x-x4-3L4)+2Ph3(3L2x-x3-2L3)-Qh(L-x)2(x,z)=4j=1N5-jhjzh()j+(2g15-g31)8ha(x2-L2)-4P(x-L)+3g312h3(ax-4P)z2x(7)式中,Ri=(m2-i+a2-i)r3+(m3-i+a3-i)r2+(m4-i+a4-i)r3-Aig33-2diS13(i=-1,0,1,2,3,4),Nj=(m4-j+a4-j)g33-2djg31+Aj33(j=1
14、,2,3,4),Q=(m1+a1)S13-2d3S13-A3(g31+g15)-a1S44,a0=-m24-m0,a1=-3a4,a3=a,A1=ka,A3=-ka4.约定 文 中所 有 未 注明 的 系 数 为 0,即m-2、m-1、m4、m5、a-2、a-1、a2、a4、a5、A-1、A0、A2、A4、d-1和d0均应取为 0.2 单参量识别2.1 参数g31的单独识别当只有g31沿z方向呈线性变化时,取a=xL2,-h2(),b=xL2,h2(),a=w(0,0),b=u(0,0),由式(4)可求得1=h332U0(a+b),2=h33U0(b-a)(8)或1=-33U0b,2=-233
15、U02a(9)式中,=Lh.由此可见,只需通过图 1 所示实验,测出梁中部靠近上下表面处两点的纵向应变a、b,或自由端处中点的两个位移 a、b,即可完成对参数g31的单独识别.2.2 参数S33的单独识别当只有S33沿z方向呈梯度变化时,即在式(5)中只考虑S33=r1+r2zh()+r2zh()2,而取m2=m3=0,m1=-Fzh.在测量横向应变时,为减小测量误差,应在梁中部对称取值,取1=zL2,-h4()2=zL2,h4()=w0,h2()(10)为简化表达,记P=-FzhS1+3PS13hP=-S2Fzh2+4PS113S1=1163kg33-7S5S11S13-122S13()S2
16、=132(kg33+S5S11S13)+25S+12S44-14S13()2-32S114(11)由式(6)可得1+2=364Fzhr22-1=316Fzhr1+3256Fzhr3-P=132Fzh2r1+1120Fzh2r2+1384Fzh2r3+P(12)由式(12)不难求得r1=-1Fzh(48+11.731+523.732+250.67P)r2=643Fzh(1+2)r3=1Fzh48-17.071-529.072-256P(13)式中,=4(-P)/h.由此可见,只需通过实验测出图 2 所示梁的横向应变 1,2和位移,即可完成对参数S33的单独识别.3 多参量识别考虑体积力和材料参数
17、S33具有式(5)所示的梯度特性,这里讨论这些材料参数的联合识别问题.23北 京 交 通 大 学 学 报 第 29 卷由式(7)不难发现电势的表达式中不含有参数S33(即没有m0,m1,m2,m3),这就为联合参数识别提供了一种思路:先通过测量电势确定体积力,然后测量位移和应变来确定参数S33.3.1 体力势函数V的识别为简化表达,记M=L2,-h2()-L2,h2()C=L2,0()-L2,h2()R=(0,0)P=34Pg31 P=12P(g31-2g15)(14)由式(7)有M=16g33hm2R=18h(g31-2g15)12m3+2m1()L2/h-PC=M2+P+18(g+g0)h
18、m3+12g0m1h(15)式中,g=18g33-S135S11g31(),g0=116g33-S5S11+62()g31+k33.求解式(15)可得m1=2(a-k1b)/(gh)m2=6M/(g33h)m3=8(a-k2b)/(gh)(16)式中,k1=2(g+g0)(2g31-g15)2,k2=2g0(g31-2g15)2,a=C-M2-P,b=R+P.可见,只要量测梁中几点的电势,即可完成对势函数V的识别,在式(5)中m0可为任意常数.3.2 参数S33的确定参数S33的识别可以借助于测量应变和位移获得.考虑到在梁的上下表面及端部测量应变 z时,测量误差比较大,所以不妨在梁中部取两个对
19、称点的应变,而位移取端部位移.记1=zL2,-h4()2=zL2,h4()=w0,h2()(17)为简化表达,令0=S1m1+S14-7S213160S11()m3+3PS13h珋0=m2S21324S110=(S2m1+S3m3)h+4PS113(18)式中,S1=1163kg33-7S5S11S13-122S13(),S2=132kg33+S5S11S13()+25S+12S44-14S13()2-32S114,S4=S24+140S2138S11+2S13-3S().由式(7),有1+2-珋0=-38m2r1-364m1+9256m3()r2-3128m2r32-1+0=-316m1+9
20、64m3()r1-332m2r2-3256m1+91024m3()r3-0h/4=-18m1+13m2+332m3()r1-130m1+116m2+140m3()r2-196m1+160m2+1128m3()r3(19)进一步令E=-1+2-珋02-1+04(-0)/h(),R=r1r2r3(),M=m11m12m13m21m22m23m31m32m33(20)式中,m11=38m2,m12=364m1+9256m3,m13=116m11,m21=4m12,m22=14m11,m23=14m12,m31=18m1+13m2+332m3,m32=130m1+116m2+140m3,m33=196
21、m1+160m2+1128m3.由式(19)有R=M-1E(21)33第 5 期 向宏军等:梯度功能压电材料的一组参数识别式(21)说明当体力势函数V确定后,即可确定矩阵M,进而可以确定参数S33.3.3 几个特例根据以上联合参数识别的结果,很容易得到体力为常数或呈线性分布、S33为常数或呈线性分布情况下的参数识别方法.(1)当体 力为 常体力 时(m2=m3=0),由 式(15)得m1=4bh(g31-2g15)L2(22)于是有Fz=-Vz=-m1h=-4b(g31-2g15)L2.由式(19)得M=Tm1(23)式中 T=17680120144099625.68().于是有R=1m1T-
22、1E=-1FzhT-1E(24)(2)当体力呈线性分布时(m3=0),由式(15)得m1=4bh(g31-2g15)L2m2=6M/(g33h)(25)此时Fz=-Vz=-m1h-2m2h2z=-4b(g31-2g15)L2-6Mg33h3z(26)(3)当S33为常数时(r2=r3=0),由式(19)的前两式可以得到S33=r1=-8(1+2-珋0)3m2=-64(2-1+0)9m3+12m1(27)由式(19),还可以得到S33=r1=-64(22+0-珋0)24m2+9m3+12m1(28)此时,如不考虑体积力的梯度效应,则S33=r1=-16(22+0-珋0)3m1=16(22+0+珋
23、0)3Fzh(29)(4)当S33为线性分布时(r3=0),由式(19)的前两式可以得到r1=e1(1+2-珋0)-e2(2-1+0)4(e22-e21)r2=e2(1+2-珋0)-e1(2-1+0)e22-e21(30)式中,e1=332m2;e2=364m1+9256m3.若此时为常体力,不难求得r1=16(2-1+0)3m1r2=64(1+2-珋0)3m1(31)4 结论研究工作表明,当压电参数g31近似为线性分布时,可用图 1 所示实验通过测量悬臂梁的应变或位移完成对该参数的识别;而当考虑体积力和弹性参数S33的二次非线性分布时,则可用图 2 所示实验通过测量位移、应变及电势来识别.常
24、体力、弹性参数S33为常数或呈线性变化等情况下的参数识别方法均为上述解答的特例.这为精确识别梯度功能压电材料的有关参数提供了理论基础.参考文献:1BallatoA,BallatoJ.High_Frequency Piezoceramic Equiva-lent CircuitJ.J.Am.Ceram.Soc.,1996,79(5):1413_1415.2Jeong _Ho,Hoon_Taek Chung,Ho_Gi Kim.EquivalentCircuit Analysis for FerroelectricsJ.Ferroelectrics,1997,198:1-10.3Puttmer A
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