第六章参数估计 (1).ppt

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1、第六章第六章 参数估计参数估计点估计与估计量的评价点估计与估计量的评价区间估计区间估计常用总体参数的估计方法常用总体参数的估计方法参数估计的概念参数估计的概念由样本对总体参数进行估计，这类统计推断问题为参数估计参数估计2 2 参数估计的类型参数估计的类型 参数估计的基本概念 1 参数估计的概念参数估计的概念确定估计量和估计值的方法称为估计法估计法估计量的一个实现称为总体参数的估计值估计值 用于对总体参数进行估计的统计量称为估计量估计量一一 参数估计参数估计 根据点估计的概念可知点估计的关键是由样本出发构造总体参 数的估计量，构造估计量的方法很多，这里我们只介绍1894年K.Pearson所提出

2、的矩估计法和德国数学家C.F.Gauss于1821首次提出，1912年英国的统计学家R.A.Fisher在一项工作中重新提出的极大似然估计法。二、二、矩估计法矩估计法 (the method of moments Estimator)1.1.矩估计法的思想基础矩估计法的思想基础独立同分布随机变量序列的大数定理。独立同分布随机变量序列的大数定理。其中 为连续函数 这表明：当样本容量很大时，在统计上，可以用样本矩去估计总体矩.这就是矩估计法的思想。用样本原点矩估计相应的总体原点矩，用样本原点矩的连续函数估计相应的总体原点矩的连续函数，这种参数点估计法称为矩估计法矩估计法 (1)建立待估参数与总体矩

3、的关系式；(2)用矩估计法建立矩估计方程，解矩估计方程；(3)写出参数的矩估计量。3.3.矩估计法的一般步骤矩估计法的一般步骤 2.2.矩估计法的思想矩估计法的思想 例例6.16.1 设总体X在a,b上服从均匀分布，其中a,b未知，是来自X的样本,试求a,b的矩估计量。解：解：由题设条件于是a,b的矩估计量为 总体矩样本矩样本矩 例例6.2 设总体X的均值 和方差 都存在且未知，来自X的iid样本 ，试求 的矩估计量。解：解：由题设条件于是 的矩估计量为 样本矩样本矩 优点：优点：简单易行；不需知道总体的分布类型。4.4.矩估计法的优缺点矩估计法的优缺点缺缺点：点：是当总体类型已知时，没有充分

4、利用分布提供的信息；一般情况下，矩估计量不具有唯一性。其主要原因在于建立矩法方程时，选取那些总体矩用相应样本矩代替带有一定的随意性。例例6.36.3 设总体 其中 未知，是来自 的样本,试求 的矩估计量。例例6.36.3 设总体 其中 未知，是来自 的样本,试求 的矩估计量。三三 极大似然估计法极大似然估计法 (Maximum Likelihood Estimator)某位同学与一位猎人一起外出打猎。只听一声枪响，野兔应声倒下。如果要你推测，是谁打中的呢？你会如何想呢?极大似然估计法的思想源于极大似然原理。1 1 极大似然原理：极大似然原理：如果一个随机试验E所有可能结果为A，B，C，在一次试

5、验中，结果A出现，则随机试验E的条件对结果A出现更为利，即可认为A出现的概率最大。例例6.3 6.3 假设在一个罐中放着许多白球和黑球，并假定已经知道假设在一个罐中放着许多白球和黑球，并假定已经知道两种球的数目之比是两种球的数目之比是1 1：3 3，但不知道哪种颜色的球多，如果，但不知道哪种颜色的球多，如果用有放回抽样法从罐中任意抽取用有放回抽样法从罐中任意抽取n n个球，则其中黑球的个数为个球，则其中黑球的个数为x x的概率为的概率为X0123P(x;3/4)1/649/6427/6427/64P(x;1/4)27/6427/649/641/64解解:由已知条件可知，由已知条件可知，p p仅

6、可能取仅可能取1/41/4和和3/43/4两种值，为两种值，为此先算出抽样的可能结果此先算出抽样的可能结果x x在两种可能值在两种可能值p p值之下的值之下的概率。概率。极大似然估计法的基本思想极大似然估计法的基本思想2.2.似然函数似然函数3.3.极大似然估计法极大似然估计法两点说明：两点说明：4.4.极大似然估计法求解的一般步骤极大似然估计法求解的一般步骤 例例6.66.6 设总体X在a,b上服从均匀分布，其中a,b未知，是来自X的样本,试求a,b的极大似然估计量。5.5.极大似然估计法的优缺点极大似然估计法的优缺点 极大似然估计把估计问题转化为求最大值点问题，极大似然估计有很好的统计性质

7、；优点：优点：需要知道总体的概率分布，应用范围受到限制；有些情况下，极大似然估计量不是唯一的。缺点：缺点：以上的讨论我们看出，无论矩估计量还是极大似然估计量在一些情况下是不唯一，如何评价优劣？四四 估计量的评价估计量的评价 估计量是样本的函数，是随机变量，因此，由不同的观测结果，就会求得不同的参数估计值，因此一个好的估计，应在多次试验中体现出优良性。均匀分布参数的矩均匀分布参数的矩估计量估计量均匀分布参数的极大似然均匀分布参数的极大似然估计量估计量这就需要讨论以下几个问题:(1)希望一个“好的”估计量具有什么特性？(2)怎样决定一个估计量是否比另一个估计量“好”？(3)如何求得合理的估计量？1

8、 1、无偏性、无偏性(Unbiased Estimator)无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.例如，用样本均值作为总体均值的估计时，虽无法说明一次估计所产生的偏差，但这种偏差随机地在0的周围波动，对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差。例例6.76.7 设总体 其中 未知，是来自 的样本,试求 的矩估计量。解：解：解：解：解：解：二、有效性二、有效性(Efficiency Estimator)解：解：三、一致性三、一致性(Consistency Estimator)由辛钦定理 五五 点估计的应用点估计的应用 从前面的讨论不难看出，从统计理论上讲点估计

9、法只给出了一个确定待估参数近似值，并没有给出估计值与参数实际值之间的误差和作出估计结论的可靠性，而这些内容实际工作中特别关心的。为了满足应用的需要，我们对点估计做一些约定，做点估计时必须满足这一约定。从样本出发构造两个统计量，使得这两个统计量所形成的随机区间尽可能的短，涵盖待估参数的概率尽可能的大。一一 基本概念基本概念 区间估计区间估计(Interval Estimation)2 2 区间估计的思想区间估计的思想1 1 区间估计的定义区间估计的定义3 3 置信区间与置信度置信区间与置信度 点估计值点估计值点估计值点估计值(95%(95%的置信区间的置信区间)二、置信区间的求法二、置信区间的求

10、法 寻找未知参数的寻找未知参数的一个良好估计一个良好估计.寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和估计量的函数估计量的函数，要求，要求其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率.求参数 的置信水平为 的置信区间.例例1 设X1,Xn是取自 的样本，已知 解：解：选 的点估计为对给定的置信水平查正态分布表得使从中解得对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率),根据根据U的分布，的分布，确定一个区间确定一个区间,使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为置信水平置信水平.从例1解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤

11、如下:1.明确问题,什么参数的置信区间?置信水平 是多少?2.从参数 的无偏估计量 出发，寻找仅依赖于样本和未知 参数 的函数 ，称 为枢轴变量 3.对于给定的 确定常数 ，使得 4.由 确定两个统计量 ，使得 三三 枢轴变量法枢轴变量法一一个个总总体体参参数数的的区区间间估估计计非正态总体参非正态总体参数的区间估计数的区间估计正态总体参正态总体参数的区间估计数的区间估计 均值 方差已知常见总体参数的区间估计常见总体参数的区间估计均值方差 方差未知方差未知方差已知均值未知均值已知小样本方法小样本方法一、一个总体均值的估计一、一个总体均值的估计u总体方差已知的情况 1.1.正态总体的情况正态总体

12、的情况试求该天平均直径X的置信区间(=0.01)。例例6.126.12 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X可以认为服从正态分布，若已知方差为0.06，从某天的产品中随机抽取6个，测得直径为（单位cm）14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1解：解：由题设知 ，则置信区间为25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3例例例例 6.136

13、.13一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了2525袋，测得每袋重量袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%95%解：解：由题设知 则置信区

14、间为 该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g101.44g至至109.28g109.28g小样本方法小样本方法u总体方差未知的情况总体方差未知的情况正态总体的情况正态总体的情况 解：解：由题目条件知属于总体服从正态分布方差未知情况所以，总体均值 的置信水平0.95为的置信区间设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值 的置信水平0.95为的置信区间。例例6.146.14 有一大批糖果，现从中随机地取16 袋,称得重量(单位克)如下:506 508 499 503 504 510 497 512506 508 499 503 504 510 497 512 51

15、4 505 493 496 506 502 509 496 514 505 493 496 506 502 509 496大样本方法大样本方法2.2.非正态总体的情况非正态总体的情况u总体方差已知的情况如果方差未知用如果方差未知用样本方差代替样本方差代替u总体方差未知的情况试以95%的可靠性估计大棚内油松苗木的平均高。解：解：由题设知总体分布与总方差均未知，故置信区间为 例例6.156.15欲估计育苗大棚内2年生油松苗木高度，采用重复方式在大棚内抽测65株苗木，苗高数据如下(cm)12.3 16.6 12.0 17.1 12.6 10.8 11.0 11.7 12.2 14.8 11.5 12

16、.6 12.3 16.6 12.0 17.1 12.6 10.8 11.0 11.7 12.2 14.8 11.5 12.6 12.3 11.9 12.9 13.9 12.8 15.0 13.6 12.4 16.6 13.2 16.6 13.512.3 11.9 12.9 13.9 12.8 15.0 13.6 12.4 16.6 13.2 16.6 13.514.0 12.7 11.3 13.9 11.4 13.9 13.9 13.5 13.6 15.4 14.8 16.8 14.0 12.7 11.3 13.9 11.4 13.9 13.9 13.5 13.6 15.4 14.8 16.8

17、 14.8 15.3 12.6 14.5 12.6 14.5 12.9 16.4 18.2 17.8 13.5 11.8 14.8 15.3 12.6 14.5 12.6 14.5 12.9 16.4 18.2 17.8 13.5 11.8 17.2 13.6 13.5 13.6 15.5 12.9 15.8 13.6 15.4 16.1 15.6 12.917.2 13.6 13.5 13.6 15.5 12.9 15.8 13.6 15.4 16.1 15.6 12.9 12.9 14.6 15.1 15.0 13.612.9 14.6 15.1 15.0 13.6 例例6.166.16

18、假设某片居民每月对某种商品的需求量X服从正态分布，经调查100家住户，得出每户每月平均需求量为10公斤，方差为9，如果某商店供应10000户，试就居民对该种商品的平均需求量进行区间估计(=0.01)，并依此考虑最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需求？解解:由题设可知居民每月对某种商品的需求量XN(,2)小样本方法小样本方法二、一个正态总体方差的估计二、一个正态总体方差的估计u总体均值已知的情况一个正态总体方差的估计一个正态总体方差的估计 例例6.17已知某种果树产量服从N(218,2)，随机抽取6棵测算其产量(单位公斤)，获得数据如下：221，191，202，205，256，236试

19、以95%的置信水平估计产量的方差。解解:由题设可知果树产量XN(,2)，且总体均值已知，则置信 区间为小样本方法小样本方法u总体均值未知的情况总体均值未知的情况一个正态总体方差的估计一个正态总体方差的估计例例6.186.18 设某灯泡的寿命 未知，现从中任取5个灯泡进行寿命试验，得数据10.5,11.0,11.2,12.5,12.8(单位千小时)，求置信度为90%的灯泡寿命的方差2的区间估计？解解:由题设可知果树产量 ，且总体均值未知。故其置信区间为三、一个总体频率的估计三、一个总体频率的估计 大样本方法大样本方法例例6.13 某林区发生大面地松毛虫危害，现在发生区内抽样调查辽400株松树，结

20、果发现有180株油松毛虫，试以95%得置信度估计该林区松毛虫的发生率。解解:由题设可知是总体频率的估计问题。两两个个总总体体参参数数的的区区间间估估计计非正态非正态总体总体正态正态总体总体均值差方差已知均值差方差比方差未知方差未知但相等方差已知 均值未知小样本方法小样本方法一、两个总体均值差的区间估计一、两个总体均值差的区间估计 1.1.正态总体的情况正态总体的情况u总体方差已知的情况小样本方法小样本方法两个正态总体均值差两个正态总体均值差u总体方差未知，但是相等的情况大样本方法大样本方法 2 2 两个非正态总体均值差两个非正态总体均值差u总体方差已知的情况如果方差未知用如果方差未知用样本方差

21、代替样本方差代替u总体方差未知的情况 例例6.196.19为比较I,两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取I型子弹10发,得到枪口速度的平均值为500(m/s),标准差1.10(m/s)；随机地取 型子弹20发,得到枪口速度的平均值为496(m/s),标准差1.20(m/s)。假设两总体都可认为近似地服从正态分布，且生产过程可认为方差相等。求两总体均值差 的置信水平为0.95 的置信区间。解：解：依题意，可认为分别来自两总体的样本是相互独立的，又因为由假设两总体的方差相等，但数值未知，故两总体均值差 的置信水平为0.95的置信区间为是来自第一、二个总体的样本且两个样本相互独立，用 设已给定置信水

22、平为,并设；表示第一、二个总体的样本方差，假定均值未知。二、两个正态总体方差比的区间估计二、两个正态总体方差比的区间估计例例6.206.20 研究由机器A和机器B生产的钢管的内径,随机地抽取机器 A生产的钢管19只，测得样本方差0.34；随机地取机器 B 生产的钢管13只,测得样本方差0.29。设两样本相互独立,且设由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布 这里 均未知。试求方差比 的置信水平为0.90 的置信区间。解：解：该问题属于总体方差比的估计，其置信区间为 到目前为止我们讨论了实践中常用的一些总体参数问题的解到目前为止我们讨论了实践中常用的一些总体参数问题的解法（估计法）。在实践中，我们所遇到的问题绝不限于这些，有些法（估计法）。在实践中，我们所遇到的问题绝不限于这些，有些问题可能在你们的专业领域是非常常见的，但我们没介绍到它们的问题可能在你们的专业领域是非常常见的，但我们没介绍到它们的解法，这是在所难免的。这里我在讲课过程中，并不特别强调一个解法，这是在所难免的。这里我在讲课过程中，并不特别强调一个个具体方法，而是强调隐含在每个方法里所共有的统计思想，掌握个具体方法，而是强调隐含在每个方法里所共有的统计思想，掌握料这些思想就等于获得解决问题万能的钥匙。料这些思想就等于获得解决问题万能的钥匙。单侧置信区间单侧置信区间