2013张宇讲座讲义.pdf

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1、2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 2013 年张宇考研数学 内部讲义 科学备战 决胜考研 2013 年张宇考研数学 内部讲义 科学备战 决胜考研【编者按】全国著名考研辅导专家 张宇老师简介【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家，高数辅导第一人，考研数学“题源教学法”创始人，在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编【编者按】全国著名考研辅导专家 张宇老师简介【1】张宇博士是全国著名考研数学辅导专家，高数辅导第一人，考研数学“题源教学法”创始人

2、，在北京、上海、长沙、南京、广州、济南、青岛、烟台、杭州等全国最大规模的考研辅导班授课。他是教育部高等教育出版社、北京理工大学出版社、西安交通大学出版社等考研数学系列用书主编。他编著的考研数学高等数学 18 讲等书在全国畅销，在上海创造 3 个小时销售 800 册以上的佳绩。【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验，总结出一套全国绝无仅有的独特数学。他编著的考研数学高等数学 18 讲等书在全国畅销，在上海创造 3 个小时销售 800 册以上的佳绩。【2】张宇老师根据多年考研辅导的经验，总结出一套全国绝无仅有的独特数学教学方法教学方法，让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。其教学过程科学严谨

3、、大气磅礴、高屋建瓴，却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。让学生学到真正的数学概念、思想与方法，从而全面决胜考研数学。“听张宇老师讲课，是一种真正的享受，回味无穷。”这是众多考生的心声。【，让学生能够轻松地认识数学、爱上数学、攻克数学。其教学过程科学严谨、大气磅礴、高屋建瓴，却又贴近考生、风趣幽默、深入浅出。让学生学到真正的数学概念、思想与方法，从而全面决胜考研数学。“听张宇老师讲课，是一种真正的享受，回味无穷。”这是众多考生的心声。【3】张宇老师全程答疑地址新浪微博：】张宇老师全程答疑地址新浪微博： 2013 年考研数学辅导系列丛书 张宇 2013 年考研数学辅导系列丛书 考研数学高等数学 1

4、8 讲，张宇编著.北京理工大学出版社 考研数学线性代数 10 讲，张宇，姜晓千编著.北京理工大学出版社 考研数学概率统计 8 讲，张宇，张伟编著.北京理工大学出版社 考研数学新复习全书，张宇总主编.清华大学出版社 考研数学大纲解析，教育部考试中心，张宇（高数部分）高等教育出版社 考研数学命题规律探析与解题思路点拨，张宇编著.高等教育出版社 考研数学考试大纲配套试题解析，张宇编著.高等教育出版社 考研数学题源探析经典 1000 题，张宇主编.北京理工大学出版社 考研数学历年真题分析与演练，张宇主编.北京理工大学出版社 考研数学最后冲刺 28 招，张宇编著.北京理工大学出版社 考研数学高等数学 1

5、8 讲，张宇编著.北京理工大学出版社 考研数学线性代数 10 讲，张宇，姜晓千编著.北京理工大学出版社 考研数学概率统计 8 讲，张宇，张伟编著.北京理工大学出版社 考研数学新复习全书，张宇总主编.清华大学出版社 考研数学大纲解析，教育部考试中心，张宇（高数部分）高等教育出版社 考研数学命题规律探析与解题思路点拨，张宇编著.高等教育出版社 考研数学考试大纲配套试题解析，张宇编著.高等教育出版社 考研数学题源探析经典 1000 题，张宇主编.北京理工大学出版社 考研数学历年真题分析与演练，张宇主编.北京理工大学出版社 考研数学最后冲刺 28 招，张宇编著.北京理工大学出版社 高等数学（同济六版）

6、习题解析与考研指导张宇总主编 北京邮电大学出版社 高等数学（同济六版）习题解析与考研指导张宇总主编 北京邮电大学出版社 第 1 页（共 6 页）2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 第一讲 告诉你一个真正的考研数学 第一讲 告诉你一个真正的考研数学 当 2011 年 1 月 16 日 8 点 30 分开考铃声响起的时候，二零一零年考研数学的试卷终于露出她的庐山真面.下面，请你认真跟着我看看试卷的第一题，我坚信，你能够从这个问题的详细分析中了解一个真正的考研数学.我们开始.（一）从一个最新考题说起【2011年考研真题】已知当时，0 x()3sinsin3f xxx=与是等价无穷

7、小，则（）kcx（A）（B）（C）1,4kc=1,4kc=3,4kc=（D）3,4kc=不管你是否已经忘记了函数极限计算的方法，请先浏览一下此题的解答，该题如果用洛必达法则求解如下：由题意，有 细数一下，我们用了三次洛必达法则才得出了答案，这就是最新的一个考研数学题.做完这个题，是不是就可以说我们了解了考研数学呢？远远不够.且再看一题：【2009 年考研真题】已知当时，0 x()sinf xxax=与是等价无穷小，则（）2()ln(1)g xxbx=（A）11,6ab=（B）11,6ab=（C）11,6ab=（D）11,6ab=请你对比看，这两个题目何其相似！我们能不能从这两个几乎一样的题目中

8、去寻找考研数学背后那“不以人的意志为转移的规律”呢？请注意下面的分析思路.以上的分析至少给了我们两个重要启发：（1）考研数学题是有规律可循的，且这种规律“不以人的意志为转移”，抓住这种规律，你就抓住了复习的方向；（2）考研数学题有“基础性”的解法（比如上面的洛必达法则）；也有“技术性”的解法（比如上面的泰勒公式），在把握“基础性”解法的条件下，掌握“技术性”解法，才能够技压群雄，稳操胜券.第 2 页（共 6 页）2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 接着上一节的分析，我们以“用洛必达法则求函数的极限”为例，把大家在考研复习过程中对一个知识掌握的程度分成三种境界.第一种境界，叫

9、“朦胧地感知”，感知（feeling）往往是指当你复习到一个概念、公式或者结论时，只是形式上知道或者了解它而已.比如，你了解到的洛必达法则是在某种函数极限计算中，有一种方法，形式上是)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax=，也就是可以通过分子分母同时求导去解决，仅此而已.举个例子，00cossinlimlim11xxxxexexx+=洛 这就解决问题了.第二种境界，叫“清晰地再现”，再现（reappearance）的前提是忠实于事实本身,不可以有任何的偏差和走样.我们至少要达到这种境界，才有可能顺利通过考试.继续研究洛必达法则，看个例子，如何计算201sinlimxxxx？如果我

10、们只知道通过分子分母同时求导去解决，则 20011sin2sincoslimlim1xxxx1xxxx=右边这个极限是不存在的，所以得出结论201sinlimxxxx不存在.这显然是错误的，因为事实上，根据“无穷小与有界量的积是无穷小”，则 01sinlim1sinlim020=xxxxxxx 是存在的.我们看到，如果使用洛必达法则，算出来是不存在；而事实上人家是存在的，怎么会出现矛盾呢？关键的问题是：对于上面这个极限，)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax=这个公式不能用！因为：如果)()(limxFxfax不存在也不为，是不能推出)()(limxFxfax不存在也不为的，简单

11、一点说就是：对于)(lim)()(xFxfxFxfaxax=lim，“右存在，则左存在；但左存在，并不意味着右一定存在”.这是一个很细致，很隐蔽的问题，稍不注意就可能出错.第 3 页（共 6 页）2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 看懂了这一段话，我们引入一个更为重要的问题，请回看本讲最开始 2011 年考研真题的解法：由03sinsin3lim1kxxxcx=，则 原式13003cos3cos324limlim1(1)(2)kkxxxxckxck kkx=?洛洛洛 这里“这里“=1”是没有依据的，你看出来了吗？”是没有依据的，你看出来了吗？于是，我们可以明确指出，虽然答案

12、是对的，但是这个解法是错误的，如果是解答题，是会被严重扣分的.第三种境界，叫“灵活地融通”，融通（communicating and grasping thoroughly），就是能够将各个方面的知识融会贯通，做好知识的串联和总结，形成一种强大的解题能力.这才是考研复习的最高境界.根据上面的分析，我们看出，洛必达法则并不一定是求解函数极限最好的办法，尤其对于含有未知参数或者抽象函数这样的研究对象（因为你不知道求导之后极限是否会存在）.事实上，我们在复习完函数极限计算后，应该形成一个好的思路：对于“AB”型的函数极限计算，首选的方法是泰勒公式！根据前面的分析，当时，0 x()331sin6xxx

13、o x=+，()()331336sin3xxoxx=+，于是，()()()()()333313sinsin333461336xo xxxo xxxxxo x+=+=33 则 0303sinsin3limlim14kxxxxcxcxx=k=，立即可得3,4kc=.对比洛必达法则看来，这是一个多么清爽的过程，多么给力的方法！请大家一定要比照自己，“对号入座”，在今后的复习中，时刻想到我们在这里归纳的三种境界，从而检验自己对问题的把握程度.（三）考研数学复习的方法 根据考研数学的命题规律和同学们自身的特点，我们给出几个基本的复习方法：一、根据考试大纲要求，全面复习基础知识，达到“清晰地再现”；本书从

14、第二讲开始的每一讲都在开篇给出了教育部考试中心 全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲 的考试内容和要求，请同学们准确把握这个大纲，通读本书的知识讲解，仔细耐心地全面复习，一定要做到：忠实于数学事实本身，无偏差，不走样，这是整个复习的基石，来不得半点马虎.开始起步可能会慢一些，困难多一些，这都没关系，万事开头难，只要保持好心态，持之以恒，就会越走越顺，越来越快.二、通过知识的复习和题目的练习，形成知识结构，达到“灵活地融通”；数学知识的理解，是要通过大量经典题目的练习来实现的.所以，在读完知识后，要做一些好的精彩的题目，本书的典型例题分析和精制习题训练就起到了这个作用，都是精心编写、挑选的，能

15、够帮助大家好好理解消化知识.更重要地是通过这些题目的操练，我们要多思考，多总结，形成优秀的知识结构.本书在讲解过程中给出了高等数学中几乎所有的知识结构，但还是希望大家自己做有心人，努力地去理解，把握，修正，甚至改变我们给大家提供的已有的知识结构.第 4 页（共 6 页）2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 三、紧紧抓住真题，多做知识的串联 真题是教育部考试中心一届又一届命题组的老师们集体智慧的结晶，题目既精彩，又经典，有规律可循，举例如下：1996 年考了一个大题：设变换可把方程+=,2ayxvyxu0622222=+yzyxzxz简化为02=vuz，求常数 a；在时隔 14

16、 年的 2010 年，又考了一个大题：设函数(,)uf x y=具有二阶连续偏导数，且满足等式222224125uuuxx yy+0=，确定的值，使等式在变换,a b,xayxby=+=+下简化为20u=.你看到了吗？这不是同一个问题么？这种例子不一而足.四、紧紧抓住大纲，但绝不拘泥于大纲 考试大纲是官方文件，是法定文件，命题必须在考试大纲要求的范围内.但是，这并不意味着我们的复习过程中“不可越雷池一步”，我们始终认为，要想战胜考研，你的知识集合必须包含考研的知识集合（当然这个复习范围的尺度要我们把握好），如果你和考研的知识集合是相等的，势均力敌，是很难战胜考研的.举个例子给大家看.在数学上有

17、个著名的不等式，叫做 Young 不等式（杨氏不等式）Young 不等式（杨氏不等式），即 设110,0,0,0,1xypqpq+=，则pqxyxypq+.在考研题中，就出过这样一个大题：设qp,是大于 1 的常数，且111=+qp，证明0 x，都有.11xqxpp+本题就是杨氏不等式的一个特殊情况，即1y=且qp,均大于 1，所以本题可以根据杨氏不等式的证明方法，并令即可证得.此种例子也有很多.1y=本书在该方面作了很好地处理，紧扣大纲，掌握好范围和难易的尺度，把问题的内涵和外延彻底讲清楚，一切目的都是为了让同学们学懂学透，从而驾驭考试.五、紧紧抓住近几年高等数学考试的特点 这几年，高等数学

18、考试出现了一些值得注意的特点：（1）高等数学试题的难度明显高于线性代数和概率论与数理统计试题的难度；（2）高等数学坚持重点内容重点考，侧重于一元微积分的考查；（3）命题组命制的数学一、二、三三套试卷，共用题的比例逐年提高，且经典问题在不同的年份可能出现在不同的试卷上，比如几年前数学一的考题，稍加改造就成为了今年数学三的考题；第 5 页（共 6 页）2013 张宇考研数学 张宇老师全程答疑地址新浪微博： 第 6 页（共 6 页）把握以上特点，大家要高度重视高等数学的复习，给出足够的复习时间，且加强对于一元微积分复习的力度.（四）考研数学的卷种和试卷结构（一）数学一、三 （一）数学一、三 考试科目

19、：高等数学、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟 二、答题方式 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构 三、试卷内容结构 高等教学 56（82 分）线性代数 22%（34 分）概率论与数理统计 22（34 分）四、试卷题型结构 四、试卷题型结构 试卷题型结构为：单选题 8 小题，每题 4 分，共 32 分 填空题 6 小题，每题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题）9 小题，共 94 分（二）数学二 （二）数学二 考试科目：高等数学、线性代数 考试形

20、式和试卷结构考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟 二、答题方式 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试 三、试卷内容结构 三、试卷内容结构 高等教学 78（116 分）线性代数 22%（34 分）四、试卷题型结构 四、试卷题型结构 试卷题型结构为：单选题 8 小题，每题 4 分，共 32 分 填空题 6 小题，每题 4 分，共 24 分 解答题（包括证明题）9 小题，共 94 分 【注】考非数学专业学校自主命题的考研数学的高数（甲）、（乙），或者高数（A）、（B）等的同学，你们的考试大纲与教育部考试中心的全国统考考研数学高度一致，你可针对自己的具体问题发你所报考学校的数学考试大纲或者历年真题给我，我给你参考一下（邮箱：）。