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1、第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型2.1 线性微分方程的建立及求解线性微分方程的建立及求解2.2 传递函数传递函数 定义、性质、典型元件及典型环节传函定义、性质、典型元件及典型环节传函2.3 控制系统的结构图及信号流图控制系统的结构图及信号流图 组成、绘制、梅逊公式组成、绘制、梅逊公式2.4 控制系统的传递函数控制系统的传递函数 开环、闭环传函开环、闭环传函引言引言 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首先要建立系统的数学模型。建立系统的数学模型。数学模型数学模型：描述系统内部各物理量之间关系的：描述系统内部各物理量
2、之间关系的数学表达式数学表达式。数学表达式：代数方程、微分方程数学表达式：代数方程、微分方程 静态数学模型静态数学模型：系统变量之间与：系统变量之间与时间无关时间无关的静态关系的静态关系 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性2.1.1 建模方法建模方法：分析法、实验法：分析法、实验法2.1 控制系统的微分方程控制系统的微分方程黑匣子黑匣子输入（充分激励）输入（充分激励）输出（测量结果）输出（测量结果）具体方法：频率特性法具体方法：频率特性法:最小二乘最小二乘(曲线拟合曲线拟合)法、神经元网法、神经元网络法、模糊模型法等
3、。络法、模糊模型法等。模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型验证：将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近。u 实验法实验法（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信（黑箱法、辨识法、灰箱法）：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。号，记录基本输出响应，根据输入输出响应辨识出数学模型。u 分析法分析法根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参根据系统运动规律（定律、经验公式）和结构参数，推导系统输入输出之间数学关系。数，推导系统输入输出之间数学关系。建模（微分
4、方程）建模（微分方程）步骤步骤：第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描第二步：联立各环节的数学表达式，消去中间变量，得到描 述述系统输出、输入关系的微分方程。系统输出、输入关系的微分方程。第三步：标准化。第三步：标准化。左左“出出”=右右“入入”，且各微分项均按降幂排列。，且各微分项均按降幂排列。见见P19公式公式（2-8）所示。所示。第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与第一步：明确系统输入、输出量，列写各组成环节输出与输入的数学表达式。输入的数学表达式。根据系统遵循的物理定律根据系统遵循的物理定律如牛顿定律、基尔霍如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能量守恒定律等
5、。夫电流和电压定律、能量守恒定律等。例例2.1 如如图图2.1所示，写出所示，写出RC滤波电路滤波电路的微分方程。的微分方程。解：明确输入量解：明确输入量 ，输出量输出量 第一步：环节数学表达式第一步：环节数学表达式 第二步：消去中间变量第二步：消去中间变量iurucRC图图2.1 RC滤滤波波电电路路该电路为一该电路为一阶系统阶系统【例例2.2】如如图图2.2所示，写出所示，写出RLC振荡器电路振荡器电路的微分方程。的微分方程。urucRC图图2.2 RLC振荡器电路振荡器电路Li解方程组得解方程组得RLC振荡器电路的微分方程为：振荡器电路的微分方程为：该电路为该电路为二阶系统二阶系统2.1
6、.1 线性定常微分方程的求解线性定常微分方程的求解 一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，一般求解线性定常系统微分方程有以下两种常用方法，如下图所示。如下图所示。数学工具数学工具拉普拉斯变换与反变换拉普拉斯变换与反变换 拉氏变换拉氏变换定义定义 设函数设函数f(t)满足满足 t0时，时，f(t)连续，则连续，则f(t)的拉氏变换存在，表示为：的拉氏变换存在，表示为：拉氏拉氏变换变换函数函数（象函数）（象函数）原函数原函数衰减因子，其中：衰减因子，其中：-时间时间常数常数s=-+j为为拉氏拉氏变换变换算子，算子，其中：其中：-衰减系数衰减系数-振振荡频荡频率（率（rad/s）拉氏变换拉
7、氏变换基本定理基本定理 线性定理线性定理 位移定理位移定理 延迟定理延迟定理 终值定理终值定理 微微积分定理积分定理d/dt s工程上常用的典型函数及其拉氏变换工程上常用的典型函数及其拉氏变换原函数：原函数：f(t)脉冲脉冲 （t）单位阶跃单位阶跃 1（t）速度速度 加速度加速度 指数指数 正（余）弦正（余）弦 象函数象函数F（s）1将将F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式：拉氏拉氏反变换反变换定义表达式：定义表达式：f（t）=L-1 F(s)方法方法：简单函数：简单函数-直接查表；直接查表；复杂函数复杂函数-部分分式展开，再查表。部分分式展开，再查表。F(s)含有含有共扼复数极
8、点共扼复数极点时，可展开为时，可展开为 F(s)中具有中具有不同的极点不同的极点时，可展开为时，可展开为 待定系数待定系数F(s)含有含有多重极点多重极点时，可展开为时，可展开为 例例2.3 设线性微分方程为设线性微分方程为式中，式中，u（t）为单位阶跃函数，初始条件为零，试求该微分方）为单位阶跃函数，初始条件为零，试求该微分方程的解。程的解。解：解：对微分方程中的各项进行拉氏变换得对微分方程中的各项进行拉氏变换得则：则：式中式中对对Y（S）进行拉氏反变换得：）进行拉氏反变换得：2.2 非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 微小偏差法（略）微小偏差法（略）2.3.1 传递函数的传递函数
9、的定义定义和主要性质和主要性质 定义定义：零初始条件零初始条件下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变下，系统（元件、环节）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。换与输入量的拉氏变换之比。设设n阶线性定常系统由下述阶线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：阶线性常微分方程描述：定义表达式为：定义表达式为：C(s)=G(s)R(s)2.3 传递函数传递函数式中：式中：c(t)是系是系统输统输出量，出量，r(t)是系是系统输统输入量；入量；各系数均是常数。各系数均是常数。设设r(t)和和c(t)及其各及其各阶阶系数在系数在t=0是的是的值值均均为为零，即零初始条件，零，即零初始条件，则对则对上式中
10、各上式中各项项分分别别求拉氏求拉氏变换变换，可得到：，可得到：基本性质基本性质：性质性质1 传递函数的概念只适于线性定常系统传递函数的概念只适于线性定常系统。性质性质2 传递函数的系统数学模型的一种象函数表示形式。传递函数的系统数学模型的一种象函数表示形式。性质性质3 传递函数当中的各项系数与微分方程中的各项系数对传递函数当中的各项系数与微分方程中的各项系数对应相等应相等。性质性质4 传递函数是一种传递函数是一种动态数学模型动态数学模型，取决于系统或元件的取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关，也不反映，也不反映系统内部的任何
11、信息系统内部的任何信息。性质性质5 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提 供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数，这就是相同的传递函数，这就是系统的相似性系统的相似性。性质性质6 传递函数是在零初始条件下定义的，因此传递函数是在零初始条件下定义的，因此不能反映系不能反映系统在非零初始条件下的运动规律。统在非零初始条件下的运动规律。性质性质7 传递函数是传递函数是复变量的有理真分式，即复变量的有理真分式，即nm，具有复变具有复变函数的所有性质函数的所有性质。对于
12、实际系统来说，且。对于实际系统来说，且所有系数均为实数所有系数均为实数。这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的这是因为在物理上可实现的系统中，总是有惯性且能源有限的缘故。缘故。性质性质8 传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，传递函数只能表示一个输入与一个输出之间的关系，而不能反映系统内部特性。而不能反映系统内部特性。性质性质9 传递函数的分母多项式称为系统特征方程式，特征方传递函数的分母多项式称为系统特征方程式，特征方式的阶次就是系统的阶次。式的阶次就是系统的阶次。传递函数传递函数G(s)的的零点零点zi 和和极点极点pl为传递函数为传递函数的的零、极点零、极点（根轨
13、迹）（根轨迹）表达式表达式K*-零、极点增益（根轨迹增益）零、极点增益（根轨迹增益）2.2.2 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个任何一个复杂系统都是由有限个典型环节典型环节组合而成的；而组合而成的；而环节则是由各种不同的环节则是由各种不同的元件元件组成。组成。常用的常用的电路元件电路元件如下：如下：-Z2/Z1运放运放A1/Cs电容电容CLs电感电感LR电阻电阻R传递函数传递函数微分方程微分方程常用元件常用元件为元件为元件对应的对应的复阻抗复阻抗 于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，于是，可得出：由电路元件组成的电路环节，其传函就是其传函就是该电路网络的复
14、阻抗。该电路网络的复阻抗。如例如例2.1 RC滤滤波器波器电电路，由微分方程求得路，由微分方程求得传传函函为为：其中：其中：T=RC为电路时间常数为电路时间常数由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：由复阻抗可直接写出：如例如例2.2：RLC振荡器振荡器电路，由微分方程求得电路，由微分方程求得传函传函为：为：由常用的由常用的六种典型环节六种典型环节组成的系统传表达式函如下：组成的系统传表达式函如下：比例比例环节环节滞后滞后环节环节一一阶阶微分微分环环节节（m个）个）积积分分环节环节（个）个）惯惯性性环节环节（q个）个）振振荡环节荡环节（n-v-q）个）个1.比例环节比例环节
15、(P调节器调节器)特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。特点：输出与输入量成比例，无失真和时间延迟。实例：实例：线性电位器线性电位器、运算放大器运算放大器、传动齿轮、线性传感器等。、传动齿轮、线性传感器等。式中式中:K-比例系数（增益）比例系数（增益）2.惯性环节惯性环节式中式中:T-时间时间常数常数特点特点：含一个储能元件，对突变的输入：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即复现，其输出不能立即复现，即有延迟。即有延迟。实例：实例：RCRC滤波电路网络滤波电路网络，一阶水槽，一阶水槽(流水流水)，直流伺服电动机，直流伺服电动机 的传递函数也包含这一环节。的传递函数也包含这一环节。
16、3.积分环节（积分环节（I调节器）调节器）特点特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有有记忆功能记忆功能，一般用于，一般用于改善系统的稳态性能改善系统的稳态性能，提高控制精度。，提高控制精度。实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计实例：一阶水槽，电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等算机中的积分器等。4 微分环节微分环节理想微分（理想微分（D调节器）：调节器）：一阶微分（比例微分或一阶微分（比例微分或PD调节器）：调节器）：特点特点：输出量正比于输入量变化的速度，具有：输出量正比于输入量变化的速度
17、，具有超前控制超前控制的的作用，一般用于作用，一般用于改善系统的动态性能改善系统的动态性能。特点特点：环节环节中有两个独立的中有两个独立的储储能元件，并可能元件，并可进进行能量交行能量交换换，其其输输出出出出现现振振荡荡。实实例：例：RLC电电路路的的输输出与出与输输入入电压间电压间的的传递传递函数。函数。可控硅直流可控硅直流闭环调闭环调速系速系统统也是一个二也是一个二阶阶振振荡环节荡环节。5.振荡环节振荡环节式中式中 阻尼比；阻尼比；T时间常数时间常数 n无阻尼自然振荡角频率（无阻尼自然振荡角频率（rad/s）2.3 控制系统结构图及系统传函控制系统结构图及系统传函2.3.1 2.3.1 控
18、制系统控制系统结构图的组成结构图的组成G(s)R(s)C(s)（2）比较点（汇合点、综合点、运算点）：）比较点（汇合点、综合点、运算点）：“”两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。两个或两个以上的输入信号进行加减运算的元件。“+”表示相加，表示相加，“-”表示相减。表示相减。“+”号可省略不写号可省略不写。（1）传函方框：表示输入到输出单向传输间）传函方框：表示输入到输出单向传输间 的函数关系。的函数关系。(3)引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置引出点（分支点、测量点）：表示信号测量或引出的位置 图图2.7 引出点示意图引出点示意图)X(s)X(s)R(s)C(s)(1s
19、G)(2sG注意：同一位置引出的信号注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。大小和性质完全一样。X1X1+X2X2图图2.6 比较点示意图示意图比较点示意图示意图X1X1X2+X2-X3X3-注意注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。2.3.2 控制系统的控制系统的传递函数传递函数(1)前向通道传函前向通道传函-假设假设D(s)=0 前向通道：前向通道：E(s)C(s)G1(s)G2(s)H(s)C(s)图图2.8 典型的控制系统结构图典型的控制系统结构图控制控制对象对象控制器控制器C(s)R(s)B(s)E(s)D(s)典型控制系典型控制系统结构
20、图统结构图(2)反馈通道传函反馈通道传函-假设假设D(s)=0 反馈通道：反馈通道：C(s)B(s)传函：反馈信号与输出信号之比，即：传函：反馈信号与输出信号之比，即：()时称为时称为单位反馈单位反馈。（3 3）开环传函开环传函-假设假设D(s)=0 开环通道：开环通道：E(s)B(s)传函：反馈信号与误差信号之比。传函：反馈信号与误差信号之比。即：即：（4 4）闭环传函闭环传函 两种输入信号对输出响应的传函两种输入信号对输出响应的传函 G(s)H(s)Cr(s)R(s)B(s)E(s)典型控制系典型控制系统结构图可统结构图可简化为简化为其中：其中：G(s)=G1(s)G2(s)=前向通道传函
21、前向通道传函+开环传函开环传函u 给定闭环传函给定闭环传函：假定假定D(s)=0，R(s)Cr(s)典型控制系典型控制系统结构图可统结构图可等效为等效为G(s)H(s)Cd(s)(s)G1(s)其中：其中：G(s)=G1(s)G2(s)u 扰动闭环传函扰动闭环传函：假定假定(s)=0，D(s)Cd(s)系系统总统总相相应为应为：C(s)=Cr(s)+Cd(s)2.3.3 控制系统结构图的绘制控制系统结构图的绘制一般步骤一般步骤确定系统确定系统的输入、的输入、输出变量输出变量由输入到输由输入到输出绘制各组出绘制各组成环节（元成环节（元件）的微分件）的微分方程方程根据信号流向根据信号流向由输入到输
22、出由输入到输出连接各环节连接各环节（元件）的传（元件）的传函方框图函方框图列写各环节列写各环节（元件）的（元件）的拉拉氏变换方程氏变换方程并并绘制对应的传绘制对应的传函方框图函方框图方程中的方程中的“加、加、减减”运算对应运算对应“比较环节比较环节”；乘；乘法运算对应传函法运算对应传函方框方框例例1 绘制绘制双双RC滤波器电路滤波器电路的结构图。的结构图。Ui(s)Uo(s)R11/C2s图图2.11 RC滤波电路滤波电路R21/C1sAI1I2解：网络复阻抗方解：网络复阻抗方程如下：程如下：据此绘制据此绘制双双RC滤波器电路的结构图滤波器电路的结构图如下：如下：Ui(s)UA(s)Uo(s)I1(s)UA(s)I2(s)图图2.12 双双RC滤波器电路结构图滤波器电路结构图I2(s)Uo(s)本节结束！本节结束！作业：作业：P35习题习题2-3