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1、第二章 控制系统的数学模型第二次课11.引言系统的数学模型：描述系统输入、输出变量以及内部其他变量之间关系的数学表达式。控制系统中常见的二种数学模型形式：1 1、外部描述：、外部描述：把系统的 把系统的输出量 输出量与 与输入量 输入量之间的关系用数 之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入 学方式表达出来，称之为输入 输出描述，或外部描述，输出描述，或外部描述，例如 例如微分方程 微分方程、传递函数 传递函数、框图 框图和差分方程。适用于单输 和差分方程。适用于单输入、单输出系统。入、单输出系统。22 2、内部描述、内部描述：不仅可以描述系统的输入、输出之间的关：不仅可以描述系统的输入、输出
2、之间的关系，而且还可以描述系统的 系，而且还可以描述系统的内部特性 内部特性，称之为状态变量描，称之为状态变量描述，或内部描述，例如 述，或内部描述，例如状态变量空间法（矩阵），状态变量空间法（矩阵），适用于 适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和 多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。随机控制系统。3 对控制系统的研究，一般都是建立在模型基础上进行的。常见的模型：数学模型：微分方程、传递函数、频率特性 研究系统的动态特性 物理模型：化学中的分子结构模型 物理学中的力电模型 研究系统的内部结构 图模型：方块图、信号流程图、树图等 两者皆有 4 工程上
3、常用的数学模型：l微分方程自变量为时间 t控制系统在时间域的数学模型l传递函数自变量为复数 s控制系统在复数域的数学模型l频率特性自变量为频率 w控制系统在频域的数学模型5“三域”模型及其相互关系6 微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。7第一节 建立系
4、统微分方程一、建立系统微分方程步骤（四步）1.明确系统的输入输出量；2.列些每个元件的输入输出的微分方程；3.各元件方程叠加，消中间量，求得系统输出输入方程；4.与输出量有关项列左侧，与输入量有关项列右侧。8二、举例例2-1 R-L-C电路(P13)二阶微分方程r(t)uc(t)(t)9例2-3 阻尼器系统(P15)二阶微分方程10本节重点：l控制系统微分方程的建立的方法l两种典型控制系统微分方程的建立。11复习：拉普拉斯变换12本节主要内容：l传递函数的定义l传递函数的基本性质l 典型环节函数的数学模型第三次课第二节 控制系统的传递函数13 传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用
5、传递函数，可以：不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入作用下的动态过程。了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响-分析 可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合传递函数的基本概念14一、传递函数的基本概念传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下系统（或元件）输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。设系统输入r（t），输出c（t）则系统传递函数为15例如 求RC电路传递函数。r(t)输入量 c(t)输出量复域:传递函数时域：（RC=T）微分方程16将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）当传递函数和输入已知时C(s)=G(s)R(s)。通过反变换可求出时域表达式c(t)。传递函数
6、的基本概念称为环节的传递函数式中：r（t）为输入信号，c（t）为输出信号为常系数设系统或元件的微分方程为：17关于传递函数的几点说明l 传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。且与系统的动态特性一一对应。l 传递函数不能反映系统或元件的物理性质。物理性质截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。l 传递函数仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入无关。只反映了输入和输出之间的关系，不反映中间变量的关系。18l 传递函数的概念主要适用于单输入单输出系统。若系统有多个输入信号，在求传递函数时，除了一个有关的输入外，
7、其它的输入量一概视为零。l 传递函数忽略了初始条件的影响。l 传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶次n大于分子的阶次m，此时称为n阶系统。19传递函数的基本概念 例1例1 求下图的传递函数：20电阻 电容 电感 时域 复数域 21传递函数的基本概念 例2例2 求下图的传递函数：22二、典型环节及其数学模型 1、比例环节（又叫放大环节）特 点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现 象。运动方程:c(t)=Kr(t)K放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：频率特性：23一些比例环节24实验中的比例环节：25 例 例：输入：输入：n n1 1(t)(t)转速 转速 Z Z1 1 主动
8、轮的齿数 主动轮的齿数 输出：输出：n n2 2(t)(t)转速 转速 Z Z2 2 从动轮的齿数 从动轮的齿数运动方程：传递函数：频率特性：262、微分环节 特 点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。运动方程：传递函数：频率特性：27微分环节举例 28实验中的比例微分环节：29例 RC电路 设：输入ur(t)输出uc(t)消去i(t)，得到：运动方程：传递函数：（Tc=RC）当Tc1时，又可表示成：频率特性：G（j）=jTc此时可近似为纯微分环节。30 3、积分环节 特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：传递函数：频率特性：31例1：积分电路积分电路输入为r(t)，输出为
9、c(t)运动方程：传递函数：（T=R1C）频率特性：32实验中的比例积分环节：33其它积分环节举例34 4、惯性环节(又叫非周期环节)特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输 入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：传递函数：频率特性：35例如 求RC电路传递函数。r(t)输入量 c(t)输出量复域:传递函数时域：（RC=T）微分方程36例：直流电机输入量:ud 电枢电压输出量：id 电枢电流动态方程如下：运动方程：传递函数:式中 Ld 电枢回路电感；Rd 电枢回路电阻；d 电枢绕组的时间常数；37其他一些惯性环节例子 一阶水箱，水银温度计等38 5、振荡环节 特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个 储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：传递函数：式中：阻尼比，T振荡环节的时间常数。频率特性：39例例11：RLCRLC电路电路解：消去中间变量i(t)得到运动方程：传递函数：频率特性：40例3：机械装置 输入-力：f(t)，输出-位移：x(t)。微分方程式中：K弹簧弹性系数；M物体的质量，B粘性摩擦系数。传递函数：41