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1、2.1 基本概念 教学要求 理解几何可变体系（常变体系和瞬变体系）与几何不变体系、瞬铰、自由度的概念。2.1.1 体系的分类 前提：体系受到各种可能荷载作用，不考虑材料的应变。（1）几何可变体系：体系保证几何形状、位置不变 （2）几何可变体系：体系不能保持几何形状、位置不变。可分两种情况：（a）常变体系：可以发生大位移；（b）瞬变体系：经微小位移后成为几何不变。图 2-2a 几何可变体系示意图常变体系 图 2-2b 几何可变体系示意图瞬变体系 注意：结构设计应采用几何不变体系，不能采用几何可变体系（常变体系和瞬变体系），也不应采用接近于瞬变体系的几何不变体系。2.1.2 运动自由度 体系运动时
2、,可以独立变化的几何参数的数目，也就是确定该体系位置时所需的独立参数数目。注释平面运动的特点：水平移动，竖向移动，转动 1 动点=2 自由度 1 刚片=3 自由度 图 2-3a 1 动点 图 2-3b 1 刚片 2.1.3 约束 （1）概念：限制体系的运动减少体系自由度的装置 支杆（约束）铰（约束）固定端（约束）铰（内部）固定端（内部）（2）种类：多余约束和必要约束 多余约束：不能减少体系自由度的约束。必要约束（必要约束）：能减少体系自由度的约束。图 2-5a 必要约束 图 2-5b 多余约束 注释图 2-5b 中：杆（刚片）13 中有一个是多余约束。注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约
3、束一般不是唯一指定的。2.1.4 铰 实铰：两链杆直接相交的铰；瞬铰或虚铰：两链杆延长线相交的铰；特例：两链杆平行，相交点在无穷远。图 2-6a 实铰 图 2-6b 虚铰（延长线交于一点及交点在无穷远）注意：关于无穷远点和无穷远线的四点结论：（在几何构造分析中必须注意）（1）每个方向有一个点（即该方向各平行线的交点）；（2）不同方向上有不同的点；（3）各点都在同一直线上，此直线称为线；（4）各有限远点都不在线上。2.2 平面几何不变体系的组成规律 教学要求 熟练掌握几何不变体系的三条基本组成规律。2.2.1 一个点与一个刚片的联结方式二元体法则 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直
4、线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。说明：以下把研究的对象简称“对象”，对象之间的联系简称“联系”。图 2-7a 几何不变无多余约束 图 2-7b 瞬变 分析：图 2-7a：对象：刚片（1）与点 A；联系：链杆 1 和 2；且 A、B、C 不共线。特例：三个铰共线，则是瞬变体系。图 2-7b：对象：刚片（1）与点 A；联系：链杆 1 和 2；但 A、B、C 不共线。例：图 2-8 分析：图 2-8 图 a：刚片（1）与点 A；联系：链杆 1 和 2；且 A、B、C 不共线。组成大刚片 1 图 b：大刚片 1 与点 B；联系：链杆 3 和 4；且 A、C、D 不共线。组成大刚片 2 其
5、他同理，见图 2-8 的图形描述。引伸 二元体：单铰相连且不在同一直线上的两根链杆。如图 2-8a 中的 1、2 杆；3、4 杆；5、6 杆；7、8 杆；9、10 杆；11、12 杆；。二元体的性质：在一个体系上增加或减少 1 个二元体，不影响原体系的几何组成。图 2-8 中，图 a）、b）、c）、d）、e）、f）的几何组成是相同的，从图 a）图 f）为增加二元体；从图 f）图 a）为减少二元体。2.2.2 两个刚片之间的联结方式两刚片法则 （1）两个刚片用一个铰和一根链杆相连结，且三个铰不在一直线上，则所组成几何不变体系，并且没有多余约束。图 2-9 几何不变无多余约束 分析：图 2-9 对
6、象：刚片（1）与（2）；联系：链杆 1 和铰 A；且 A、B、C 不共线。特例：三个铰共线，为瞬变体系。图 2-10 瞬变体系 分析：图 2-10 对象：刚片（1）与大地；联系：链杆 1 和铰 A；且不共线组成大刚片（2）。对象：大刚片（2）与刚片（3）；联系：链杆 2 和铰 B；但共线。（2）两刚片三链杆 对象：刚片（1）与（2）；联系：链杆 1、2 和 3。（a）三链杆不共点，且不平行，几何不变体系（图 2-11a）。图 2-11 特例：三链杆平行等长：常变体系（图 2-11b）；三链杆平行不等长：瞬变体系（图2-11c）；（b）三链杆共点：常变体系（图 2-12a）；图 2-12 特例：
7、延长线交于一点：瞬变体系（图 2-12b）；2.2.3 三个刚片之间的联结方式三刚片法则 三刚片用不共线的三铰两两相连组成体系几何不变且无多余约束。图 2-13 几何不变无多余约束 分析：图 2-13a 和 b 对象：刚片（1）、（2）与（3）；联系：刚片（1）和（2）铰 A；刚片（1）和（3）铰 B；刚片（2）和（3）铰 C；且三铰不共线。分析：图 2-13c 对象：刚片（1）、（2）与（3）；联系：刚片（1）和（2）铰 A（虚铰，杆 1、2 延长线的交点）；刚片（1）和（3）铰B；刚片（2）和（3）铰 C；且三铰不共线。分析：图 2-13d 对象：刚片（1）、（2）与（3）；联系：刚片（1
8、）和（2）铰 A（虚铰，杆 5、6 延长线的交点）；刚片（1）和（3）铰B（虚铰，杆 1、2 延长线的交点）；刚片（2）和（3）铰 C（虚铰，杆 3、4 延长线的交点）；且三铰不共线。特例：若三铰共线，则为瞬变体系 图 2-14 瞬变体系 对象：刚片（1）、（2）与（3）；联系：刚片（1）和（2）铰 A；刚片（1）和（3）铰 B；刚片（2）和（3）铰 C；但三铰共线。注意1.三铰为两两相交的铰；2.所有规则可以统一为三角形法则：由三个链杆组成的三角形为几何不变体系且无多余约束。2.3 构造分析方法与例题 教学要求 熟练掌握几何构造分析的各种方法。2.3.1 基本分析方法 1.组装法 规律：一点
9、、两片、三片、三链杆；基本装配格式：固定一个结点；固定一个刚片；固定两个刚片；固定三个刚片；（1）从基础开始 例 1：图 2-15 分析：对象：刚片（1）与大地；联系：铰 A 和链杆 1 且三铰不共线；组成大刚片 1；对象：大刚片 1 与刚片（2）；联系：铰 B 和链杆 2 且三铰不共线；组成大刚片 2；对象：大刚片 2 与刚片（3）；联系：铰 C 和链杆 3 且三铰不共线；几何不变无多余约束（2）从内部 例 2：图 2-16 分析：对象：刚片（1）与（2）（三角形法则）；联系：铰 A 和链杆 1 且三铰不共线；组成大刚片 1；对象：大刚片 1 与大地；联系：铰 B 和链杆 2 且三铰不共线；
10、几何不变无多余约束 2.减二元体 例 3：图 2-17 分析：对象：杆 1、2 和杆 3、4 和杆 5、6 和杆 7、8 和杆 9、10 和杆 11、12 和杆 13、14；联系：二元体；去掉二元体，剩下大地几何不变无多余约束 图 2-18 分析：对象：杆 1、2 和杆 3、4 和杆 5、6；联系：二元体；去掉二元体，剩下图 2-16c几何不变无多余约束 3.约束等效代换 （1）曲（折）链杆等效为直链杆 （2）联结两刚片的两链杆等效代换为瞬铰 图 2-19 分析：图 2-19a 等效图 2-19b 对象：大地与刚片（1）和（2）；联系：大地与刚片（1）：虚铰 B；大地与刚片（2）：虚铰 C；刚
11、片（1）与刚片（2）：虚铰 A；三铰不共线几何不变无多余约束 2.3.2 复杂体系 1.运用瞬铰并使对象拉开距离 注释“拉开距离”是指三刚片之间均由链杆形成的瞬铰相连，而尽量不用实铰。图 2-20 分析：对象：大地与刚片（1）和（2）；刚片（2）为三角形。联系：大地与刚片（1）：虚铰 A（链杆 1、2）；大地与刚片（2）：虚铰 C（链杆 5、6）；刚片（1）与（2）虚 铰 B（链杆 3、4）；三铰不共线几何不变无多余约束 图 2-21 分析：对象：刚片（1）、（2）和（3）；刚片（1）、（2）为三角形。联系：刚片（1）与（2）：虚铰 A（链杆 1、2）；刚片（1）与（3）：虚铰 B（链杆 3、
12、4）；刚片（2）与（3）：虚铰 C（链杆 5、6）；三铰不共线几何不变无多余约束 2.三刚片由三铰两两相连，其中两瞬铰在无穷远处。若此两瞬铰在不同方向，则体系几何不变,反之几何可变。图 2-22 分析：图 2-22a 对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰 A；刚片（1）与（3）：虚铰 B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰 C（无穷远）；两瞬铰在不同方向几何不变无多余约束 分析：图 2-22b 对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰 A；刚片（1）与（3）：虚铰 B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰 C（无穷远）；两瞬铰在同一方向几何可变 图
13、 2-23 分析：对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰 A；刚片（1）与（3）：虚铰 B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰 C（无穷远）；两瞬铰在不同方向组成大刚片 1 对象：大刚片 1 与大地；联系：铰 D 和链杆 5 且三铰不共线；几何不变无多余约束 3.三刚片由三瞬铰两两相连，若三瞬铰均在无穷远处，则体系几何可变。注释无穷远处所有点均在一无穷远直线上 图 2-23 分析：图 2-24a 对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰 A（无穷远）；刚片（1）与（3）：虚铰 B（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰 C（无穷远）；链杆 36 在同一
14、平行线间常变体系 分析：图 2-24b 对象：刚片（1）、（2）和（3）；联系：刚片（1）与（2）：铰 A（无穷远）；刚片（1）与（3）：虚铰 C（无穷远）；刚片（2）与（3）：虚铰 B（无穷远）；瞬变体系 2.4 平面杆件体系的自由度计算 教学要求 掌握实际自由度分析方法,了解计算自由度的计算方法。2.4.1 平面杆件体系自由度 （1）实际自由度 S（即前面讲的“运动自由度”）：体系运动时，可以独立变化的几何参数数目，也就是确定该体系运动所需要的独立参数数目。之所以称之为实际自由度，是为了与下面讲的计算自由度相区别。S=（各部件自由度总和 a）（必要约束数总和 c）（2-1）（2）计算自由度
15、 W W=（各部件自由度总和 a）（全部约束数总和 d）（2-2）由上式可见，计算自由度是由体系部件的自由度和全部约束计算而得，但没有区别非多余约束和多余约束。因此，一般地说，计算自由度不一定就是实际自由度。多余约束数 n：等于实际自由度与计算自由度之差，即：n=S W（2-3）图 2-25 分析：自由度 S=ac=22=0；计算自由度 W=ad=24=2 讨论：W 0 则 S 0 几何可变 W=0 则 S=n 若 n=0 几何不变 W=0 则 S=n 若 n 0 几何可变 W 0 体系有多余约束,但不一定几何不变。结论：W 0 只是几何不变的必要条件，不是充分条件。各部件自由度总和 a=2（
16、1 个自由点）；约束总数 d=4；其中：非多余约束 c=2；2.4.2 约束的计算（1）刚片内部多余约束。n=0 n=1 n=2 n=3 图 2-8 刚片内部多余约束 注释自由端 n=0；一根链杆 n=1；一个铰 n=2；一个刚结 n=3；（2）单约束和复约束 a 铰结点 图 2-9a 单铰 图 2-9b 复铰 1 单铰=2 个约束复铰=（n1）单铰2（n1）个约束 b 刚结点 图 2-11a 单链 图 2-11b 复链 1 单链杆=1 个约束 1 复链杆=（2n-3）单链=（2n-3）个约束杆 2.4.3 平面体系的计算自由度 W 的求法（1）刚片法：体系看作由刚片组成，铰结、刚结、链杆为约
17、束。刚片数 m；约束数：单铰数 h，简单刚结数 g，单链杆数 b。W=3m-2h-3g-b（2-4）（2）节点法：体系由结点组成，链杆为约束。结点数 j；约束数：链杆（含支杆）数 b。W=2j b（2-5）（3）组合算法 约束对象：刚片数 m，结点数 j 约束条件：单铰数 h，简单刚结数 g，单链杆（含支杆）数 b W=（3m+2j）-（3g+2h+b）(2-6)例：求如下图示刚片系的计算自由度。题 1：图 2-12 解：方法 1 方法 2 方法 3 方法 1：（刚片法）m=7，h=4，g=2，b=6 W=37-24-32-6=1 方法 2：（刚片法）m=5，h=4，g=0，b=6 W=35-
18、24-6=1 方法 3：（节点法）最好 j=6，b=11 =2-=2*6-111 题 2：图 2-13 解：方法 1 方法 2 方法 1：（节点法）最好 j=7，b=14 =2-=2*7-140 方法 2：（刚片法）m=7，h=9，g=0，b=3 W=37-29-3=0 题 3：图 2-14 解：方法 1：（刚片法）m=1，h=0，g=3，b=4 W=31-33-4=-10 方法 2：（节点法）最好 j=0，b=10 =2-=0-100 3.1 梁的内力计算回顾 教学要求 回顾材料力学中的内力概念和计算方法，梁的内力图的画法，熟练掌握各种荷载作用下的梁的内力图画法，掌握叠加法画弯矩图。3.1.
19、1 截面的内力分量及其正负号规定 内力：指由于杆件受外力作用后，在其内部所引起的各部分之间的相互作用。力学中把构件对变形的抗力称为内力。在平面杆件的任意截面上，一般有三个内力分量：轴力 FN、剪力 FQ和弯矩M(图 3-1)。轴力 FN-截面上应力沿杆轴切线方向的合力。方向规定：以拉力为正。剪力 FQ-截面上应力沿杆轴法线方向的合力。方向规定：剪力以绕微段隔离体顺时针转者为正。弯矩M-截面上应力对截面形心的合力矩，在水平杆件中，当弯矩使杆件下部受拉时，弯矩为正。注意：作内力图时，轴力图、剪力图要注明正负号。弯矩图规定画在杆件受拉的一侧，不用注明正负号。（与材料力学中规定稍有不同）3.1.2 内
20、力的计算方法 计算指定截面内力的基本方法是截面法。截面法求解内力的过程可归纳为以下三个步骤：1、截开在需求内力的截面处，用假想的截面将其截开为两部分。2、代替任取一部分作为隔离体，弃去另一部分，以内力代替弃去部分对隔离体的作用 3、平衡利用隔离体的平衡条件，求解该截面上的未知内力。例：利用截面法可得出以下结论：1、轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和；2、剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和；3、弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用 注意：1、隔离体与其周围的约束要全部截断，而以相应的约束
21、力代替。2、约束力要符合约束的性质。3、在受力图中只需画出隔离体本身所受到的力，不画出隔离体施加给周围的力。4、不要遗漏力。5、未知力一般假设为正号方向，数值为代数值。3.1.3 荷载与内力之间的关系 在荷载连续分部的直线杆段，取隔离体进行受力分析（图 3-2），可得到以下结论：荷载与内力之间的增量关系 在集中荷载作用处，取微段为隔离体（图 3-3），进行受力分析，可得到以下结论 荷载与内力之间的积分关系 对图 3-3 所示隔离体，进行受力分析，可得到如下结论：根据内力与荷载之间的关系，可归纳下面几条规律：1、无分布荷载区段，弯矩图为直线，剪力图为平行于轴线的直线 2、有均布荷载区段，弯矩图为
22、曲线，曲线的图像与均布荷载的指向一致，剪力图为一斜直线。3、集中力作用处，剪力图有突变，突变值大小等于该集中力的数值。弯矩图的斜率也发生变化，弯矩图上有尖角。4、集中力偶作用处，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变数值等于集中力偶的数值。3.1.4 分段叠加法作弯矩图 3.1.4.1 叠加原理 应用叠加原理可以使结构的计算简化，虽然对于实际结构而言，叠加原理是近似的，但只要满足以下条件，所得的结果是足够精确的。1、几何线性条件 当结构的变形与结构本身的尺寸相比极为微小时，称为小变形结构。在小变形结构计算中，变形所带来的荷载位置变化及杆件尺寸变化的影响可以忽略不计，因而，允许用变形前的尺寸来进行计
23、算，这就满足了叠加的几何条件。2、物理线性条件 结构材料的受力与变形的物理关系为线性弹性关系，即服从虎克定律。则在物理上提供了线性叠加条件。满足以上条件的结构，才可以应用叠加原理：在小变形和材料符合虎克定律的前提下，结构在几个荷载共同作用下产生的内力等于各个荷载单独作用产生的内力的代数合。能够应用叠加原理的结构称之为线性结构。利用叠加原理做弯矩图,即先分别作出各个单独荷载作用时的弯矩图，然后将其相应的纵坐标叠加。（如图 3-5 演示过程）:3.1.4.2 分段叠加原理 上述叠加法同样可用于绘制结构中任意直杆段的弯矩图。如图 3-6 演示过程。1.选定外力不连续点作为控制截面（如集中荷载作用点、
24、集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点等），求出控制截面的弯矩值。2.分段画弯矩图，当控制截面间无荷载作用时，根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图；当有荷载作用时，还需叠加这一段按简支梁求得的弯矩图。利用分段叠加法求弯矩可用如下公式：AB段中点的弯矩值:注意：在利用叠加原理作弯矩图时，弯矩图的叠加是指两个弯矩图纵坐标的叠加，而不是两个弯矩图图形简单的拼合。3.2 多跨静定梁 教学要求 理解多跨静定梁结构的分析方法和受力特点；理解层次图的概念，能够绘制各种荷载作用下的内力图。3.2.1 静定多跨梁的受力特点 由若干根梁用中间铰联结在一起，并以若干支座与基础相联，或者搁置于其他构件上，而组成的静
25、定梁，称为静定多跨梁。从几何组成角度分析，图 3-7 中 AB 梁自身就能保持其几何不变，称之为基本部分；而必须依靠基本部分才能维持其几何不变性的部分称为附属部分，如图中 CD、BC 梁段。从受力分析来看，作用在基本部分的力不影响附属部分，作用在附属部分的力反过来影响基本部分。因此,计算多跨静定梁内力时，应遵守以下原则：先计算附属部分后计算基本部分。将附属部分的支座反力反向指向，作用在基本部分上，把多跨梁拆成多个单跨梁，依次解决。将单跨梁的内力图连在一起，就是多跨梁的内力图。弯矩图和剪力图的画法同单跨梁相同。3.2.2 静定多跨梁的实例分析 画出图(3-8a)所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。解
26、:（1）几何组成分析 判断结构关系，AE 段为基本部分，EF 相对 AE 来讲为附属部分，而 EF 相对 FG 来讲又是基本部分，而 FG 为附属部分。画出关系图（图 3-8b）。（2）计算各单跨梁的支座反力 根据关系图，将梁拆成单跨梁（图 3-8c）进行计算，以先附属部分后基本部分，按顺序依次进行，求得各个单跨梁的支反力。（3）作弯矩图和剪力图 根据各梁的荷载和支座反力，依照弯矩图和剪力图的作图规律，分别画出各个梁的弯矩图及剪力图，再连成一体，即得到相应的弯矩图和剪力图（图 3-8d、e）3.3 静定平面刚架 教学要求 掌握刚架结的特点，熟练的求解支座反力和截面内力，熟练绘制刚架结构的内力图
27、。3.3.1 刚架的特点和分类 刚架：是由若干根直杆（梁和柱）用刚结点（部分可为铰结点）所组成的结构。当组成刚架的各杆的轴线和外力都在同一平面时，称作平面刚架。如图 3-9a 所示为一平面刚架 当 B、C 处为铰结点时为该结构为几何可变体（图 3-9b），要使结构为几何不变体，则需增加斜杆 AC（图 3-9c）或把 B、C 变为刚结点。两种方法相比较，可以看出刚架中由于具有刚结点，因而，不用使用斜杆也可组成几何不变体系，使结构内部具有较大的使用空间，便于使用。刚架的特点:1、杆件少，内部空间大，便于利用。2、刚结点处各杆不能发生相对转动，因而各杆件的夹角始终保持不变。3、刚结点处可以承受和传递
28、弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。4、刚架中的各杆通常情况下为直杆，制作加工较方便。根据结构组成特点，静定平面刚架可分为：1、悬臂刚架：常用于火车站站台（图 3-10a）、雨棚等。2、简支刚架：常用于起重机的刚支架及渡槽横向计算所取的简图等（图 3-10b）；3、三铰刚架：常用于小型厂房、仓库、食堂等结构（图 3-10c）。刚架结构在土木工程中应用较广。但静定的刚架在工程中应用不多，多为超静定刚架，如房屋建筑结构中的框架结构。解算超静定刚架的内力是建立在静定刚架内力计算基础之上的，所以，必须熟练掌握静定刚架的内力计算方法。3.3.2 刚架的支座反力 刚架结构常见的有：悬臂刚架、简支刚架、三铰刚
29、架以及复杂刚架。悬臂刚架、简支刚架的支反力可利用平衡方程直接求出。以下以三铰刚架为例，来分析刚架支座反力的求法。三铰刚架的支座反力的求法主要是充分利用平衡条件来进行计算，分析时经常采用先整体后拆开的方法。三铰刚架一般由两部分组成(如图 3-11 所示),整体共有四个约束反力(图 3-11b)。整体有三个平衡方程，为了求解还应拆开考虑，取半部分作为研究对象，利用铰结点的弯矩为零的静力平衡方程，就可以全部求解。例 1：如图 3-11a 所示三铰刚架，求解其支座反力。1、利用两个整体平衡方程求 FN、FQ 2、利用铰 C 处弯矩等于零的平衡方程求 FxA，取左半部分为例：3.利用整体的第三个平衡方程
30、求 FxB：3.3.3 刚架内力图 刚架中的杆件多为梁式杆，杆件截面中同时存在弯矩、剪力和轴力。计算的方法与梁相同。只需将刚架的每一根杆件看作是梁，逐杆采用截面法计算控制截面的内力。计算时应注意：(1)内力正负号的相关规定。在刚架中，剪力与轴力都规定正负号（与梁的有关规定相同），但弯矩则不规定正负号，只规定弯矩图的纵坐标画在杆件受拉纤维一侧。剪力图和轴力图可画在杆件的任一侧，但应注明正负。(2)结点处有不同的杆端截面。内力符号表示要用两个下标如 MAB、FQAB、FNAB，第一个下标表示内力所在截面位置，第二个下标表示截面所在杆的另一端。(3)正确选取隔离体。(4)结点处平衡。由于刚架的内力的
31、正负号规定与梁基本相同。为了明确各截面内力，特别是区别相交于同一结点的不同杆端截面的内力，在内力符号右下角采用两个角标，其中第一个角标表示内力所属截面，第二个角标表示该截面所在杆的另一端 3.3.4 刚架内力图实例分析 例 2：作出图 3-12a 所示简支刚架的内力图。解:（1）求支座反力，取整体为隔离体（图 3-12b）。方法一：（2）作弯矩图，逐杆分段计算控制截面的弯矩，利用作图规律（参见第 5 页）和叠加法作弯矩图(图 3-12c)。BE 杆：,杆上无荷载，弯矩图为直线。AD 杆：（内侧受拉），C 点处作用有集中荷载 30KN，该点处，弯矩图有尖角。（内侧受拉）。DE 杆：杆上受均布荷载
32、作用，利用叠加法作弯矩图。杆端弯矩连线叠加简支梁在均布荷载作用下的弯矩图。利用截面法和支座反力直接计算各杆端剪力。剪力图一般为直线图，求出杆端剪力后直接画出剪力图。AC、CD、BE 杆上无荷载，剪力为常数，C 点处作用有集中荷载，剪力图有突变。DE 杆上有均布荷载，剪力图为斜线(图3-8c)。（4）作轴力图 利用平衡条件，直接求各杆端轴力。（5）校核 结点 D 各杆端截面的弯矩、剪力、轴力，满足平衡条件（图 3-12f）：同理，结点 E 处也满足平衡条件（图 3-12g）。小结：静定梁与静定刚架受力分析及内力图的绘制，作法归纳如下：1、首先求解约束力和支座反力。2、作内力图时，可利用内力图与荷
33、载之间的关系来快速绘制内力图。求出杆端内力，根据相关性质，直接作图。3、内力图的校核是必要的，通常选取结点或者结构的一步分，验算其是否满足平衡条件。3.4 静定平面桁架 教学要求 掌握静定平面桁架结构的受力特点和结构特点，熟练掌握桁架结构的内力计算方法结点法、截面法、联合法 3.4.1 桁架的特点和组成 3.4.1.1 静定平面桁架 桁架结构是指若干直杆在两端铰接组成的静定结构。这种结构形式在桥梁和房屋建筑中应用较为广泛，如南京长江大桥、钢木屋架等。实际的桁架结构形式和各杆件之间的联结以及所用的材料是多种多样的，实际受力情况复杂，要对它们进行精确的分析是困难的。但根据对桁架的实际工作情况和对桁
34、架进行结构实验的结果表明，由于大多数的常用桁架是由比较细长的杆件所组成，而且承受的荷载大多数都是通过其它杆件传到结点上，这就使得桁架结点的刚性对杆件内力的影响可以大大的减小，接近于铰的作用，结构中所有的杆件在荷载作用下，主要承受轴向力，而弯矩和剪力很小，可以忽略不计。因此，为了简化计算，在取桁架的计算简图时，作如下三个方面的假定：（1）桁架的结点都是光滑的铰结点。（2）各杆的轴线都是直线并通过铰的中心。（3）荷载和支座反力都作用在铰结点上。通常把符合上述假定条件的桁架称为理想桁架。3.4.1.2 桁架的受力特点 桁架的杆件只在两端受力。因此，桁架中的所有杆件均为二力杆。在杆的截面上只有轴力。3
35、.4.1.3 桁架的分类（1）简单桁架：由基础或一个基本铰接三角形开始，逐次增加二元体所组成的几何不变体。（图 3-14a）（2）联合桁架：由几个简单桁架联合组成的几何不变的铰接体系。（图 3-14b）（3）复杂桁架：不属于前两类的桁架。（图 3-14c）3.4.2 桁架内力计算的方法 桁架结构的内力计算方法主要为：结点法、截面法、联合法 结点法适用于计算简单桁架。截面法适用于计算联合桁架、简单桁架中少数杆件的计算。联合法在解决一些复杂的桁架时，单独应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时需要将这两种方法进行联合应用，从而进行解题。解题的关键是从几何构造分析着手，利用结点单杆、截面单杆
36、的特点，使问题可解。在具体计算时，规定内力符号以杆件受拉为正，受压为负。结点隔离体上拉力的指向是离开结点，压力指向是指向结点。对于方向已知的内力应该按照实际方向画出，对于方向未知的内力，通常假设为拉力，如果计算结果为负值，则说明此内力为压力。常见的以上几种情况可使计算简化：1、不共线的两杆结点，当结点上无荷载作用时，两杆内力为零（图 3-15a）。F1=F2=0 2、由三杆构成的结点，当有两杆共线且结点上无荷载作用时（图 3-15b），则不共线的第三杆内力必为零，共线的两杆内力相等，符号相同。F1=F2 F3=0 3、由四根杆件构成的“K”型结点，其中两杆共线，另两杆在此直线的同侧且夹角相同（
37、图3-15c），当结点上无荷载作用时，则不共线的两杆内力相等，符号相反。F3=-F4 4、由四根杆件构成的“X”型结点，各杆两两共线（图 3-15d），当结点上无荷载作用时，则共线杆件的内力相等，且符号相同。F1=F2 F3=F4 5、对称桁架在对称荷载作用下，对称杆件的轴力是相等的，即大小相等，拉压相同；在反对称荷载作用下，对称杆件的轴力是反对称的，即大小相等，拉压相反。计算桁架的内力宜从几何分析入手，以便选择适当的计算方法，灵活的选取隔离体和平衡方程。如有零杆，先将零杆判断出来，再计算其余杆件的内力。以减少运算工作量，简化计算。3.4.2.1 结点法 结点法：截取桁架的一个结点为隔离体计算
38、桁架内力的方法。结点上的荷载、支座反力和杆件轴力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，因此，结点法是利用平面汇交力系来求解内力的。从只有两个未知力的结点开始，按照二元体规则组成简单桁架的次序相反的顺序，逐个截取结点，可求出全部杆件轴力。结点单杆：如果同一结点的所有内力均为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则该杆称为结点的单杆。（图 3-15a、b）结点单杆具有如下性质：（1）结点单杆的内力，可以由该结点的平衡条件直接求出。（2）当结点单杆上无荷载作用时，单杆的内力必为零。（3）如果依靠拆除单杆的方法可以将整个桁架拆完，则此桁架可以应用结点法将各杆的内力求出，计算顺序应按照拆除单杆的顺
39、序。实例分析 例 1：求出图（3-16a）所示桁架所有杆件的轴力。解:由于图示桁架可以按照依次拆除二元体的方法将整个桁架拆完，因此可应用结点法进行计算。（1）计算支座反力（图 3-16b）：（2）计算各杆内力 方法一：应用结点法，可从结点 A 开始，依次计算结点（A、B），1，（2、6），（3、4），5。结点 A，隔离体如图 3-16c:结点 A，隔离体如图 3-16c:（压力）（拉力）结点 B，隔离体如图 3-16d:（压力）（拉力）同理依次计算 1，（2、6），（3、4），5 各结点，就可以 求得全部杆件轴力，杆件内力可在桁架结构上直接注明（图 3-16e）。方法二：1）、首先进行零杆的判
40、断 利用前面所总结的零杆判断方法，在计算桁架内力之前，首先进行零杆的判断。去掉桁架中的零杆，图示结构则变为：图 3-16f。在结点 5 上，应用结点单杆的性质，内力可直接由平衡条件求出，而不需要求解支座反力。（拉力）其它各杆件轴力即可直接求出。注意：利用零杆判断，可以直接判断出哪几根杆的内力是零，最终只求几根杆即可。在进行桁架内力计算时，可大大减少运算量。例 2：求图示桁架中的各杆件的内力 解：由几何组成分析可知，图示桁架为简单桁架。可采用结点法进行计算。图示结构为对称结构，承受对称荷载，则对称杆件的轴力相等。在计算时只需计算半边结构即可。（1）、求支座反力。根据对称性，支座 A、B 的竖向支
41、反力为：（）（2）、求各杆件内力。由结点 A 开始，（在该结点上只有两个未知内力）隔离体如图 3-17b 所示。由平衡条件：结点 C：隔离体如图 3-17c 所示 由平衡条件：结点 D：隔离体如图 3-17d 所示 由平衡条件：为避免求解联立方程，以杆件 DA、DE 所在直线为投影轴。结点 E：隔离体如图 3-17e 所示，根据对称性可知 EC 与 ED 杆内力相同。由平衡条件：所有杆件内力已全部求出。轴力图见图 3-17f。3.4.2.1 截面法 截面法：用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个结点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。用结点法求解桁架内力时，是按照一定顺序逐个
42、结点计算，这种方法前后计算互相影响。当桁架结点数目较多时，而问题又只要求求解桁架的某几根杆件的内力，则时用结点法就显得繁琐，可采用另一种方法截面法 截面法适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。在计算中，未知轴力也一般假设为拉力。为避免联立方程求解，平衡方程要注意选择，每一个平衡方程一般包含一个未知力。截面单杆：与结点法相类似，如果某个截面所截得内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行交于无穷远处），则此杆称为截面单杆，如图 3-17。截面单杆的内力可从本截面相应隔离体的平衡条件直接求出。实例分析：求出图示杆件 1、2、3 的内力（图 3-19a）。1、求
43、支座反力 由对称性可得，（）.2、将桁架沿 1-1 截开，选取左半部分为研究对象，截开杆件处用轴力代替（图 3-19b），列平衡方程：解：即可解得：3.4.2.2 联合法 在解决一些复杂的桁架时，单应用结点法或截面法往往不能够求解结构的内力，这时截面单杆，使问题可解。如：例 2 题目中，如果只求解杆件 EF 的内力，这时则可先采用截面法（如图 3-20），求解杆件 DE 的内力，再通过结点法结点 E 的平衡求解 EF 的内力。此时，避免了采用结点法时，要依次求解各结点上杆件的内力；单独采用截面法，杆件 EF不是截面单杆，内力无法直接求解。3.5 组合结构 教学要求 掌握组合结构的组成特性，以及
44、组合结构的内力计算方法截面法。3.5.1 组合结构的特点 组合结构是由只承受轴力的二力杆件（链杆）和承受弯、剪力、轴力的梁式杆件组成的结构。3.5.2 组合结构的内力计算方法 计算方法：组合结构的计算方法仍然采用截面法。一般先求支座反力和各链杆的轴力，然后在计算梁式杆的内力。关键在于正确区分以下两类杆件：1、二力杆（链杆）：两端铰接且无横向荷载作用的直杆。2、梁式杆：承受横向荷载的直杆，或虽无横向荷载，但杆端是刚结点的直杆。相应地，组合结构的结点也有两种类型：一种为仅连接二力杆的铰结点，这类结点仍可采用桁架结构的内力计算方法；另一种为连接二力杆与梁式杆的组合结点，在计算时需具体问题具体分析。由
45、于梁式杆的截面上一般有三个内力，为了不使隔离体上的未知力过多，应尽可能避免截断梁式杆。例：作图示(图 3-21)组合结构的内力图。图示组合结构为按三刚片法则组成的结构，杆件 AC、BG 为梁式杆，其它杆件均为链杆。注意到本题是对称结构承受对称荷载，则根据对称性即可判断铰 C 处反对称约束力为零，且对称杆件的内力相同。从连接处入手，采用截面法进行计算，作截面 1-1。隔离体受力分析图见图 3-21b。由平衡条件可得：由结点 D 的平衡条件可得(图 3-21c)：则问题已解，内力图见图 3-21d、e、f。3.6 三铰拱 教学要求 掌握拱结构的受力特点及内力计算方法。了解合理拱轴的概念 3.6.1
46、 概述 分析图示三种结构在竖向荷载作用下，产生的水平支座反力的特点。图 3-22a 为简支梁，在竖向荷载作用下，支座内没有产生水平支反力。图 3-22b 为简支曲梁，在竖向荷载作用下，支座内同样没有产生水平支反力。图 3-22c 为将简支曲梁的一个链杆支座改为斜向支撑，在竖向荷载作用下，支座内产生了水平支反力，又称为推力。这种在竖向荷载作用下，除了产生竖向支座反力外，还产生水平支座反力的曲杆结构称为拱。拱的形式有三铰拱、二铰拱和无铰拱，如图 3-23A、B、C。如果在两铰之间设有水平拉杆，这样拉杆的拉力代替了支座推力的作用，在竖向荷载作用下，使支座只产生竖向反力，这种具有拉杆的拱称之为拉杆拱，
47、如图 3-22D)、E)。三铰拱为静定的，而二铰拱和无铰拱为超静定结构。拱各部分的名称如图 3-23 所示，拱身各横截面形心的连线称为拱轴线。拱结构最高一点称之为拱顶，拱的两端与支座之间的联结处称为拱趾或拱脚。两个拱脚之间的水平距离称为跨度。拱顶到两拱脚连线的垂直距离称为拱高。拱高与跨度之比称为高跨比。3.6.2 三铰拱的计算 三铰拱的内力计算仍然采用截面法。为了说明拱的受力特性，将拱与梁加以比较，见图 3-24a、b。1、支座反力 三铰拱：取整个结构为隔离体，由平衡条件可得 取右半边为隔离体：由整体：简支梁：比较可得：三铰拱与简支梁的竖向支反力完全相同。注意到水平支反力式中的分子就是简支梁上
48、截面 C 的弯矩，则水平支反力可写作：由上式可知，在竖向荷载作用下，水平支反力的大小与拱轴形式即拱轴线形状无关，而只决定于 A、B、C 三铰的位置。若竖向荷载和拱脚位置给定不变，则随着拱高 f 的增大，水平推力减小。反之，拱高 f 变小，水平推力增大。若当 f=0 时，推力为无穷大，这时 A、B、C 三铰在一直线上，成为几何可变体系。2、内力的计算公式 在求得支座反力后，即可求解出拱轴上任一截面上的三种内力：弯矩、剪力、轴力。现以拱轴上任意截面 为例(图 3-25a)，导出其内力计算公式：从图 3-25a 中取截取 截面以左半部分为隔离体。截面上的内力分别以 MK、QK、NK 来表示，截面的位
49、置可由其形心位置 xk、yk 和该处拱轴切线的倾角 确定。（1）弯矩的计算公式 由隔离体平衡条件可得：由于，故上式可改写为：即拱内任一截面上的弯矩等于相应简支梁上对应的截面上的弯矩减去推力所引起的弯矩Hyk。由此可见由于推力的存在，拱的弯矩比相应梁的弯矩要小。（2）剪力的计算公式 将截面 上所有的内力沿截面 上投影，可得：（3）轴力的计算公式 将截面 上所有内力沿截面 得法线方向进行投影求代数和，可得：综上所述，三铰拱在竖向荷载作用下，任一截面上的弯矩、剪力荷轴力的计算公式如下：3.6.3 合理拱轴的概念 拱在竖向荷载作用下，各截面上一般产生三个内力，即弯矩、剪力、轴力。截面处于偏心受压状态，
50、其正应力分布不均匀。但是通过合理选取一根适当的拱轴线，使得在给定的荷载作用下，拱上各截面的弯矩均为零，即只承受轴力。此时，各截面都处于均匀受压状态，因而材料的性能得到充分的利用，相应的拱截面尺寸是最小的。从理论上来讲，设计成这样的拱是最经济的，故称这样的拱轴为合理拱轴。任一截面上的弯矩为：利用截面上的弯矩为零的条件，可找出合理拱轴。由上式可知，在荷载和跨度给定的情况下，即可确定，而推力，当拱跨基拱高一经确定，也为给定值。所以要使弯矩等于零，只要调整拱轴上各点的纵标。写成一般式：合理拱轴的竖标与相应简支梁的弯矩成正比。当拱上所受荷载为已知时，只要求出相应简支梁的弯矩方程，然后除以 yk，即得三铰