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1、自动控制原理自动控制原理第二章第二章 线性定常连续系线性定常连续系统状态方程的解统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解线性定常连续系统状态方程的解准备知识准备知识A1A1准备知识准备知识A2A2一一.线性定常连续系统齐次方程的解线性定常连续系统齐次方程的解(零输入响应零输入响应)二二.状态转移矩阵状态转移矩阵三三.线性定常系统非齐次方程的解线性定常系统非齐次方程的解准备知识准备知识A1A1 1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性利用状态和状态方程来定义系统的线性性质质.用符号用符号表示状态表示状态 和输入和输入 激励出输出激励出输出 和状和状态态 ,并称其为输入并称其为输入-状态状态-输
2、出对输出对.定义定义:一个系统一个系统,当且仅当对于任何两个容当且仅当对于任何两个容许对许对 和任何实数和任何实数 和和 所构成的输入所构成的输入-状态状态-输出对输出对.也是容许的也是容许的,则称该系统是线性的则称该系统是线性的,否则否则该系统是非线性的该系统是非线性的.简而言之简而言之,满足迭加满足迭加原理的系统为线性系统原理的系统为线性系统.2.对定义的讨论对定义的讨论 (1)若设若设 并有并有则如果是线性系统的话则如果是线性系统的话,按定义按定义,则则 .从而从而,如果系统是线性系统的话如果系统是线性系统的话,则必有则必有 当当 时时 系统响应亦为零系统响应亦为零这也是线性系统的一个这
3、也是线性系统的一个必要条件必要条件.(2)式式(1)中中,若若 称式称式(1)的关系的关系为可加性。为可加性。若若 则称式则称式(1)的关系为齐次性。的关系为齐次性。(3)式式(1)中中,若设若设 ,及假定及假定 则则 或或所以系统的响应对所以系统的响应对 是由两个状态是由两个状态-输入对所激励输入对所激励称由称由 激励的响应为零输入响应激励的响应为零输入响应,只是由只是由 产生。产生。称由称由 激励的响应为零状态响应激励的响应为零状态响应,只是只是由由 产生。产生。这样对于线性系统来讲这样对于线性系统来讲,可以独立地考虑其可以独立地考虑其零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应,而系统的
4、全部响而系统的全部响应应,则是它们的和则是它们的和.根据线性系统的性质根据线性系统的性质:若若则则传函法描述是零状态响应传函法描述是零状态响应 3.对于线性定常连续系统动态方程来讲对于线性定常连续系统动态方程来讲零输入响应为零输入响应为 :-齐次方程齐次方程零状态响应为零状态响应为 :-非齐次方程非齐次方程.线性系统的响应可以分解为.定义定义:零输入响应零输入响应:线性系统的零输入响应线性系统的零输入响应 定义为只有初始定义为只有初始状态作用即状态作用即 ,而无输入作用即而无输入作用即 时时的系统响应的系统响应.注意注意:数学上数学上,零输入响应零输入响应 就是无输入自治状就是无输入自治状态方
5、程态方程(齐次方程齐次方程)的状态解的状态解.物理上物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，零输入响应代表系统状态的自由运动，特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部特点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输入的影响输入的影响.定义定义:零状态响应零状态响应:线性系统的零状态响应线性系统的零状态响应 定义为只有输入定义为只有输入作用作用,即即 而无初始状态作用而无初始状态作用,即即 时时,系统的响应系统的响应.注意注意:数学上数学上,零状态响应零状态响应 即为零初始即为零初始状态下的强迫方程状态下的强迫方程 的状态解的状态解.物理上物理上,零状态响应零状态响应 代表系统状态由输代表系统状
6、态由输入入u所激励的强迫运动所激励的强迫运动准备知识准备知识A2A2不加证明地给出以下定理和定义不加证明地给出以下定理和定义.(1)定理定理1.的全体解的集合的全体解的集合,形成在实形成在实数域上的数域上的n维向量空间维向量空间.(2)定义定义1.矩阵函数矩阵函数 中中,当且仅当当且仅当n个列分个列分别是别是 的的n个线性无关解时个线性无关解时,称称 为为 的基本矩阵的基本矩阵,即即 ,且且 非奇非奇.(3)定理定理2.每一个基本矩阵每一个基本矩阵,对对(-,)中所有的中所有的t 而言而言,是非奇的是非奇的.(4)定义定义2.设设 是是 的任一基本矩阵的任一基本矩阵,对对所有所有(-,)(-,
7、)中的中的 称称 是是 的状态转移矩阵的状态转移矩阵.一一.线性定常连续系统齐次方程的解线性定常连续系统齐次方程的解(零零输入响应输入响应)1.讨论讨论 显然显然 是矩阵微分方程是矩阵微分方程,在解该方程之前在解该方程之前先观察纯量微分方程先观察纯量微分方程 的解的解,其中其中在解在解 时时,先假定解先假定解 代入方程得到代入方程得到如果所求的解是方程的真实解，那么上述如果所求的解是方程的真实解，那么上述方程对任意方程对任意t都成立，因此使都成立，因此使t的幂次项的各的幂次项的各系数相等就可得到系数相等就可得到:显然显然 ,从而方程的解从而方程的解 可写为可写为 其中指数函数其中指数函数仿上述
8、纯量微分方程的解法仿上述纯量微分方程的解法,对于矩阵微分对于矩阵微分方程方程 其中其中 ,则则 称称 是按矩阵是按矩阵A定义的矩阵指数函数定义的矩阵指数函数,并可并可证明证明,若若A是是n n 的方阵时，则有：的方阵时，则有：并对于有限时间是绝对收敛的并对于有限时间是绝对收敛的.结论：结论：零输入响应零输入响应线性定常连续系统的线性定常连续系统的零输入响应零输入响应,即系统齐次方程的解即系统齐次方程的解,并具有并具有如下形式如下形式:推论推论:(1).零输入响应的运动特性零输入响应的运动特性.对于线性定常连续系统对于线性定常连续系统,其零输入响应其零输入响应是由其齐次方程解的属性决定的，状态是
9、由其齐次方程解的属性决定的，状态空间中空间中x(t)随时间演化轨道随时间演化轨道(几何表征几何表征)，属于由偏离系统平衡状态的初始状态属于由偏离系统平衡状态的初始状态 引起的自由运动引起的自由运动.一个典型的例子是一个典型的例子是:人造卫星在末级火箭人造卫星在末级火箭脱落后的运行轨道脱落后的运行轨道,以脱落时刻的运行状态以脱落时刻的运行状态为初始状态的自由运动即零输入响应为初始状态的自由运动即零输入响应.(2).零输入响应的形态零输入响应的形态.对线性定常连续系统对线性定常连续系统,零输入响应即自由运零输入响应即自由运动轨迹的形态动轨迹的形态,当且仅当由系统的矩阵指数函当且仅当由系统的矩阵指数
10、函数数 唯一地决定唯一地决定.不同的系统矩阵不同的系统矩阵A,导致不导致不同形态的零输入响应同形态的零输入响应,即自由运动轨道即自由运动轨道.表明表明 即即A系统矩阵系统矩阵,包含了零输入响应即包含了零输入响应即自由运动形态的全部信息自由运动形态的全部信息.(3).零输入响应趋向平衡状态零输入响应趋向平衡状态x=0的属性的属性.对于线性定常连续系统对于线性定常连续系统,零输入响应零输入响应,即自即自由运动轨迹最终趋向系统平衡状态由运动轨迹最终趋向系统平衡状态x=0的条的条件是件是:当且仅当矩阵指数函数当且仅当矩阵指数函数 最终趋向零最终趋向零,即即 称上述属性为系统渐近稳定称上述属性为系统渐近
11、稳定.该式该式也是线性定常连续系统渐近稳定的充分条也是线性定常连续系统渐近稳定的充分条件件.(4).零输入响应的计算零输入响应的计算.根据解根据解,则零输入响应计算的核心是计算矩则零输入响应计算的核心是计算矩阵指数函数阵指数函数 。(5).零输入响应表达式的更一般形式零输入响应表达式的更一般形式.对线性定常连续系统对线性定常连续系统,通常习惯地取初始通常习惯地取初始时间时间 。由于线性时不变系统的分析只与相对时间由于线性时不变系统的分析只与相对时间有关有关,这种处理也不失一般性这种处理也不失一般性.但若因某种但若因某种需要需要,将初始时间取为将初始时间取为 ，此时，此时,零输入零输入响应更有一
12、般的形式：响应更有一般的形式：(6).零输入响应的几何表征零输入响应的几何表征.对线性定常连续系统对线性定常连续系统,齐次方程解的表达齐次方程解的表达式表明式表明:在时刻在时刻 状态点状态点 ,几何上对应于几何上对应于状态空间中由初始状态点状态空间中由初始状态点 ,经线性变换经线性变换 导出一个变换点导出一个变换点.基于此基于此,可推知可推知,零零输入响应输入响应 随时间随时间t的演化过程的演化过程,几何上即为几何上即为状态空间中由初始状态点出发和由各个时状态空间中由初始状态点出发和由各个时刻变换点构成的一条轨迹刻变换点构成的一条轨迹.2.解的性质解的性质(矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质
13、)矩阵指数函数矩阵指数函数 在线性系统分析中具有重在线性系统分析中具有重要意义要意义,为此可基于定义为此可基于定义,给出给出 的性质的性质.性质：性质：3齐次方程的拉普拉斯解法齐次方程的拉普拉斯解法.同样先考虑纯量微分方程同样先考虑纯量微分方程 将方程两端作拉氏变换将方程两端作拉氏变换 则则将这种方法推广到矩阵微分方程的解将这种方法推广到矩阵微分方程的解 对对 两边取拉氏变换，则有两边取拉氏变换，则有 或或 即即从而从而 由于由于 所以所以从而从而一般形式一般形式 明显地明显地 指出了指出了 的一种算的一种算法法.二状态转移矩阵二状态转移矩阵1.概念概念推论推论1.对线性定常系统对线性定常系统
14、 是是 的一个基本矩的一个基本矩阵。阵。证明：证明：设设 ,若若 是一个基本矩阵是一个基本矩阵,则则有有 ,将将 代入，并利用代入，并利用 的微分性的微分性质得到质得到 ,且且 非奇异。非奇异。故故 是线性定常连续系统一个基本矩阵。是线性定常连续系统一个基本矩阵。推论推论2.对线性定常连续系统的状态转移矩阵对线性定常连续系统的状态转移矩阵 可由基可由基本矩阵本矩阵 表出表出 推论推论3.状态转移矩阵的唯一性状态转移矩阵的唯一性对线性定常连续系统的状态转移矩阵对线性定常连续系统的状态转移矩阵 是唯一是唯一的，且在按定义确定的，且在按定义确定 时，与所选择的时，与所选择的 无关。无关。推论推论4.
15、状态转移矩阵的形式。状态转移矩阵的形式。对对 的情形下，的情形下，对对 的情形下，的情形下，推论推论5.零输入响应的形式。零输入响应的形式。根据零输入响应的几何表征，显然根据零输入响应的几何表征，显然 是是将初始状态从将初始状态从 转移到转移到t时刻时刻x(t)。而。而 则是则是x(0)到到x(t)的转移的转移.故称故称 是状态转移矩是状态转移矩阵阵.2.状态转移矩阵的性质状态转移矩阵的性质.3.状态转移矩阵的算法状态转移矩阵的算法(1)按定义计算按定义计算(2)如果如果A是对角阵是对角阵,则则 (3)若若A的特征值互异的特征值互异,即互异即互异,则可则可通过变换通过变换,使使 ,从而从而,而
16、而其中其中 从而从而 (4)三线性定常系统非齐次方程的解三线性定常系统非齐次方程的解 1.零状态响应零状态响应考虑连续线性定常系统，令系统的初始状考虑连续线性定常系统，令系统的初始状态态 相应状态方程相应状态方程结论结论零状态响应零状态响应：连续线性定常系统的：连续线性定常系统的零状态响应零状态响应 ,即上述方程的解具有如下即上述方程的解具有如下表达式：表达式：当当 时时讨论：讨论：（1）的数学特征的数学特征 即易证：即易证：称矩阵指数函数和输入作用函数的影响在时称矩阵指数函数和输入作用函数的影响在时序上是对偶的，这种对偶在数学上称为卷序上是对偶的，这种对偶在数学上称为卷积分。积分。（2）的几
17、何特征的几何特征若令若令 则零状态响应则零状态响应显然显然 是是t时刻输入作用的等价状态，从而时刻输入作用的等价状态，从而零状态响应零状态响应 是是 （等价状态）以（等价状态）以 为变换为变换阵导出的变换点，在几何上代表状态空间阵导出的变换点，在几何上代表状态空间中各个时刻中各个时刻t输入作用等价状态的变换点构输入作用等价状态的变换点构成的一条轨道。成的一条轨道。（3）零状态响应的运动属性）零状态响应的运动属性 是随时间是随时间t演化的轨迹，在属性上属于演化的轨迹，在属性上属于输入驱动下的强迫运动。输入是导致零状输入驱动下的强迫运动。输入是导致零状态响应的唯一激励。态响应的唯一激励。（4）零状
18、态响应对任意状态点的可达属性）零状态响应对任意状态点的可达属性对零状态响应对零状态响应 ，如果对任意指定的状态，如果对任意指定的状态空间的状态点空间的状态点 都存在一个输入和有限时都存在一个输入和有限时间间 ，使成立，使成立 ，那么称，那么称 具有能具有能达性，显然能达性取决于达性，显然能达性取决于A,B属性。属性。（5）零状态响应相对于任意初始时刻的表达）零状态响应相对于任意初始时刻的表达式式若更为一般地取初始时刻若更为一般地取初始时刻 ，则零状态响，则零状态响应为应为零状态响应形式的证明：零状态响应形式的证明：证：考虑如下显等式：证：考虑如下显等式：对上式从对上式从0到到t积分（取积分（取 ），并注意到），并注意到 ,得得 两边同乘以两边同乘以 得得 得证。得证。2.线性系统的非齐次响应。线性系统的非齐次响应。该问题亦是线性时不变连续系统同时作用该问题亦是线性时不变连续系统同时作用有初始状态和输入时的响应有初始状态和输入时的响应 那么根据前述结论，可得到如下结论。那么根据前述结论，可得到如下结论。（迭加原理）（迭加原理）结论：结论：连续时间线性时不变系统的状态运动规律连续时间线性时不变系统的状态运动规律（或非齐次响应），即同时作用有初始状态和输（或非齐次响应），即同时作用有初始状态和输入状态方程的解，对初始时刻入状态方程的解，对初始时刻 情形具有情形具有若若 则则 其中其中