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1、1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1 1/29/29关于概率论第概率的公理化定义及概率的性质第一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2 2/29/29发生的概率定义为发生的概率定义为发生的概率定义为发生的概率定义为如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则如果样本空间为有界区间、空间有界区域，则 “面积面积”改为改为改为改为“长度长度长
2、度长度”、“体积体积”设随机试验的样本空间为有界区域设随机试验的样本空间为有界区域 事件事件试验结果落在区域试验结果落在区域 中中的面积的面积的面积的面积称为称为几何概型几何概型事件事件 发生的概率与位置无关发生的概率与位置无关,只与只与 的面积有关，的面积有关，这体现了某种这体现了某种“等可能性等可能性”第二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率3 3/29/29 (约会问题约会问题)两人相约两人相约7 7点到点到点到点到8 8点在某地会面，先到者点在某地会面，先到者点在某地会面，先
3、到者点在某地会面，先到者等候另一人等候另一人等候另一人等候另一人2020分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率分钟，过时离去。试求这两人能会面的概率。这是一个几何概型，所求概率是这是一个几何概型，所求概率是 设设 分别表示两人达到的时间，分别表示两人达到的时间，则两人能会面的充要条件是则两人能会面的充要条件是第三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率4 4/29/29例3 蒲丰投针问题 平面上画有间隔为d 的等
4、距平行线，向平面任意投掷一枚长为l 的针，求针与平行线相交的概率.第四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率5 5/29/29解：解：以以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以又以 表示针与此直线间的交角.易知样本空间易知样本空间满足：满足：0 0 x x d d/2;0 .形成形成x x-平面上的一个矩形，其面积为：S S =d(d(/2)./2).第五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的
5、公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率6 6/29/29 A=“针与平行线相交”的充要条件是:x l sin(/2).针是任意投掷的，所以这个问题可用几何方法 求解得第六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率7 7/29/29由蒲丰投针问题知：长为l 的针与平行线相交的概率为:2l/d.而实际去做 N 次试验，得 n 次针与平行线相交，则频率为:n/N.用频率代替概率得：2lN/(dn).历史上有一些实验数据.的随机模拟第七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1
6、.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率8 8/29/29因为概率为实数因为概率为实数,故故若若 是两两不相容的事件是两两不相容的事件,则则故由可列可加性，有故由可列可加性，有有限可加性有限可加性第八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率9 9/29/29若若 则则因因 互不相容互不相容,故由有限可加性有故由有限可加性有再由概率非负性再由概率非负性得得事件解释事件解释为区域为区域概率解释为区域面积第九张，PPT共三十二页，
7、创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1010/29/29对任何事件对任何事件 有有(加法公式加法公式)对于三事件对于三事件 有有挖挖挖补由定义第十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1111/29/29对于对于 个事件，有个事件，有全加减二减二加三加三挖补规律:加奇减偶加奇减偶减四减四第十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概
8、率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1212/29/29 AB=，P(A)=0.6，P(AB)=0.8，求 B 的对立事件的概率。解：由 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=P(A)+P(B)例4 得 P(B)=P(AB)P(A)=0.80.6=0.2，所以 P()=10.2=0.8.第十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1313/29/29例5解：因为 P(AB)=P(A)P(AB)，所以先求 P(AB)由加法公式得 P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.4
9、+0.30.6=0.1 所以 P(AB)=P(A)P(AB)=0.3 P(A)=0.4，P(B)=0.3，P(AB)=0.6，求 P(AB).第十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1414/29/29例6解：因为A、B、C 都不出现的概率为=1P(A)P(B)P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)P(ABC)=11/41/41/4+0+1/6+1/60=15/12=7/12 P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=0,P(AC)=P(BC)=1/6,求 A、B、C
10、 都不出现的概率.第十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1515/29/29例7 口袋中有n1个黑球、1个白球，每次从口袋中随机地摸出一球，并换入一只黑球.求第k 次取到黑球的概率.利用对立事件解：记A为“第k 次取到黑球”，则A的对立事件为“第k 次取到白球”.而“第k 次取到白球”意味着：“第1次第k1次取到黑球，而第k 次取到白球”第十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率
11、事件与概率1616/29/29例8解：用对立事件进行计算,记 A=“至少出现一次6点”，则所求概率为 一颗骰子掷4次，求至少出现一次6点的概率.第十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1717/29/29第十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1818/29/29因为概率是事件(集合)的函数，所以先讨论事件(集合)的“极限”.本节给出可列可加性的充要条件.1.3.4 概
12、率的连续性第十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率1919/29/29若事件序列 Fn n满足：满足：F1 1 F F2 Fn 则称则称Fn 为为单调不减事件序列，其极限事件为事件序列，其极限事件为事件序列的极限若事件序列Fn满足：F1F2 Fn 则称Fn为单调不增事件序列，其极限事件为第十九张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2020/29/29 设P()是一个集合函数
13、，(1)若任对单调不减集合序列F Fn n，有，有 则称则称P()是是下连续下连续的.集合函数的连续性 (2)若任对单调不增集合序列Fn，有 则称P()是上连续的.第二十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2121/29/29 性质1.3.7 若P()是事件域F上的一个概率函数，则P()既是下连续的，又是上连续的.概率的连续性第二十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率22
14、22/29/29性质1.3.8若若P P()是事件域是事件域F上满足：非负、正则的集合满足：非负、正则的集合函数，函数，则P()有可列可加性的有可列可加性的充要条件是它是它具有有限可加性和下连续性.可列可加性的充要条件第二十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2323/29/29N N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、NMM个合格品个合格品.(口袋中有口袋中有M 个白球，个白球，N M 个黑球个黑球)常见模型(1)不返回抽样从中不返回任取n 个,则此 n 个中有 m 个不合格
15、品的概率为：此模型又称 超几何模型.n N,m M,nmNM.第二十三张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2424/29/29口袋中有5 个白球、7个黑球、4个红球.从中不返回任取3 个.求取出的 3 个球为不同颜色的球的概率.思 考 题第二十四张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2525/29/29 N N 个产品，其中个产品，其中M个不合格品、个不合格品、N NM个合格
16、品.从中有返回地任取从中有返回地任取n 个个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：常见模型(2)返回抽样条件：m n,即 m=0,1,2,n.第二十五张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2626/29/29n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球的概率(nN)常见模型(3)盒子模型第二十六张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与
17、概率2727/29/29求n 个人中至少有两人生日相同的概率.看成 n 个球放入 N=365个盒子中.P(至少两人生日相同)=1P(生日全不相同)用盒子模型得：pn=P(至少两人生日相同)=生日问题p20=0.4058,p30=0.6963,p50=0.9651,p60=0.9922 第二十七张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2828/29/29n 个人、个人、n n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率.记记 A Ai i =“=“第 i i 个人拿对自己的帽子个人拿对自
18、己的帽子”，i i=1,n.n.求 P P(A A1A A2An n)，不可用对立事件公式，不可用对立事件公式.用加法公式：用加法公式：常见模型(4)配对模型第二十八张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率2929/29/29P(Ai i)=1/n n,P P(A AiA Aj j)=1/)=1/n(n1),1),P P(Ai iA AjAk)=1/n n(n 1)(n n 2),P P(A1A2A An n)=1/)=1/n n!P(A1A2An)=)=配对模型(续)第二十九张，PPT
19、共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率3030/29/29 (匹配问题匹配问题)将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发将四把能打开四间不同房门的钥匙随机发给四个人给四个人给四个人给四个人,试求至少有一人能打开门的概率试求至少有一人能打开门的概率.由对称性及乘法原理得由对称性及乘法原理得由对称性及乘法原理得由对称性及乘法原理得不妨给门和钥匙编上号不妨给门和钥匙编上号.则所求概率为则所求概率为则所求概率为则所求概率为记记第第 把钥匙打开把钥匙打开 号门号门第三十张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率3131/29/29习题习题：P.54 14,16,24ENDEND第三十一张，PPT共三十二页，创作于2022年6月1.4 1.4 概率的公理化定义及概率的性质概率的公理化定义及概率的性质第一章第一章 事件与概率事件与概率3232/29/29感感谢谢大大家家观观看看第三十二张，PPT共三十二页，创作于2022年6月