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1、第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 以上各章所述平差方法，其参数的最优线性无偏估以上各章所述平差方法，其参数的最优线性无偏估计是基于观测数据仅含偶然误差和随机模型正确计是基于观测数据仅含偶然误差和随机模型正确为前提的。因此，一个完整的最优的平差系统，为前提的。因此，一个完整的最优的平差系统，除了采用最小二乘准则对平差参数进行最优估计除了采用最小二乘准则对平差参数进行最优估计外，还要保证观测数据的正确性和平差数学模型外，还要保证观测数据的正确性和平差数学模型的精确性。后者要借助于数理统计的方法，对观的精确性。后者要借助于数理统计的方法，对观测数据和平差模型进行假设检验
2、，这是保证平差测数据和平差模型进行假设检验，这是保证平差系统质量的一个组成部分。系统质量的一个组成部分。学习本章内容的目的：学习本章内容的目的：第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 主要内容：主要内容：随机变量的函数分布随机变量的函数分布 参数的区间估计参数的区间估计 统计假设检验统计假设检验第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量我们说我们说x x服从服从的正态分布的正态分布第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变
3、量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量1)1)、服从标准正态分布服从标准正态分布如果如果则则为正态分布的概率为为正态分布的概率为a a的侧分位点的侧分位点第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量1)1)服从标准正态分布服从标准正态分布双双侧侧分分位位第六章第六章 参数的区
4、间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量2)2)、如果、如果于是于是第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随机变量2)2)、如果、如果于是，从总体于是，从总体x x和和y y中抽取两组子样，则子样中抽取两组子样，则子样均值之差均值之差第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从正态分布的随机变量服从正态分布的随
5、机变量为什么我们如此关心正态分布？为什么我们如此关心正态分布？第一、在相当宽的条件下，许多独立随机变第一、在相当宽的条件下，许多独立随机变量之和近似服从正态分布；变量个数趋于无量之和近似服从正态分布；变量个数趋于无穷大时，其总和就趋于正态分布。穷大时，其总和就趋于正态分布。第二、实用中，正态分布作为测量误差的第二、实用中，正态分布作为测量误差的数学模型可以带来计算上的便利，并且基本数学模型可以带来计算上的便利，并且基本上是符合实际情况的。上是符合实际情况的。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布2.2.服从服从 分布的随机变
6、量分布的随机变量服从标准正态分布服从标准正态分布如果如果服从标准正态分布的随机变量的平方和。服从标准正态分布的随机变量的平方和。vv自由度，当自由度，当v v趋于无穷大时，趋于无穷大时，分分布趋于正态分布布趋于正态分布第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布2.2.服从服从 分布的随机变量分布的随机变量密度函数密度函数第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布1.1.服从服从 分布的随机变量分布的随机变量第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设
7、检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布2.2.服从服从 分布的随机变量分布的随机变量如果如果第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布3.3.服从服从t t分布的随机变量分布的随机变量设设y y为为NN（0 0，1 1），），z z为为变量，变量，y y、z z统计独立，则统计独立，则唯一参数是自由度唯一参数是自由度v v第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布3.3.服从服从t t分布的随机变量分布的随机变量第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参
8、数的区间估计和假设检验 统计量：统计量：设设x1x1，x2x2，xnxn是来自总体是来自总体X X的一个样本，的一个样本，g g（x1x1，x2x2，xn xn）是是x1x1，x2x2，xnxn的一个函数，且的一个函数，且g g中不中不含任何未知参数，称含任何未知参数，称g g（x1 x1，x2x2，xn xn）是一个统计量。是一个统计量。常用的样本方差和样本均值都是统计量。常用的样本方差和样本均值都是统计量。一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布4.4.抽样分布与抽样分布定理抽样分布与抽样分布定理第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 抽样分布：统计量的分布抽样
9、分布：统计量的分布 抽样分布定理：设抽样分布定理：设x1x1，x2x2，xnxn是来自总体是来自总体 的一个样本，的一个样本，分别是样本均值和样本方差，于是分别是样本均值和样本方差，于是 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布4.4.抽样分布与抽样分布定理抽样分布与抽样分布定理第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布4.4.抽样分布与抽样分布定理抽样分布与抽样分布定理独立独立和和（1）（2）（3）（4）第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 1 1）上述几种分布均与正态分布有关系。从定义看，其）上
10、述几种分布均与正态分布有关系。从定义看，其它几种分布都是正态分布的函数。而观测值和偶然误它几种分布都是正态分布的函数。而观测值和偶然误差服从正态分布，所以，依据抽样分布定理，我们可差服从正态分布，所以，依据抽样分布定理，我们可以得到观测值某些函数的分布；以得到观测值某些函数的分布；2 2）虽然各种分布都有其原始的定义，也都有具体的分）虽然各种分布都有其原始的定义，也都有具体的分布密度函数，但从实际来讲，我们更需要知道的却是，布密度函数，但从实际来讲，我们更需要知道的却是，哪些统计量服从这些分布，以及从分布密度表中查取哪些统计量服从这些分布，以及从分布密度表中查取相应密度值。相应密度值。3)3)
11、在抽样定理中，采用测量平差符号，用在抽样定理中，采用测量平差符号，用L L代替随机变代替随机变量量x x，而而x x代表代表L L的真值，用中误差的真值，用中误差mm代替代替s s。一、随机变量的函数分布一、随机变量的函数分布4.4.综述综述第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计1 1、参数估计的概念、参数估计的概念区间估计：根据子样观测值对总体参数可能取值范区间估计：根据子样观测值对总体参数可能取值范 围的一种估计，即总体参数以某种给定围的一种估计，即总体参数以某种给定 的概率取值于多大区间内的概率取值于多大区间内置信概率（置信度
12、）：给定的概率置信概率（置信度）：给定的概率置信区间：根据置信度确定的区间置信区间：根据置信度确定的区间置信限：置信区间的两端点（子样函数）置信限：置信区间的两端点（子样函数）第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计1 1、参数估计的概念、参数估计的概念置信度置信度置信区间置信区间置信限置信限第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计1 1、参数估计的概念、参数估计的概念1 1）为什么我们表示平差值及其精度时总写成）为什么我们表示平差值及其精度时总写成2 2）极限误差的确切含义
13、又是什么？）极限误差的确切含义又是什么？3 3）我们可以得到的置信区间到底是谁的可能）我们可以得到的置信区间到底是谁的可能取值的范围？取值的范围？第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计2 2、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估计1 1）根据总体均值）根据总体均值u u和方差和方差 来估计单一观测量来估计单一观测量 x xi i的置信区间的置信区间如果如果则则第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计2 2、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估
14、计1 1）根据总体均值）根据总体均值u u和方差和方差 来估计单一观测量来估计单一观测量 x xi i的置信区间的置信区间概率表达式概率表达式X Xi i的置的置信区间信区间第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计2 2、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估计2 2）根据观测值）根据观测值x xi i和方差和方差 来估计总体均值来估计总体均值u u 的置信区间的置信区间概率表达式概率表达式u u的置的置信区间信区间第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计2 2
15、、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估计3 3）根据样本均值）根据样本均值 和方差和方差 ，估计总体均，估计总体均值的置信区间值的置信区间设样本均值设样本均值构造统计量构造统计量第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计2 2、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估计3 3）根据样本均值）根据样本均值 和方差和方差 ，估计总体均，估计总体均值的置信区间值的置信区间概率表达式概率表达式u u的置信区间的置信区间第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 二、参数的区间估计二、参数的区间估计
16、2 2、统计量为正态分布的区间估计、统计量为正态分布的区间估计3 3）根据总体均值）根据总体均值u u 和方差和方差 ，估计样本均，估计样本均值的置信区间值的置信区间概率表达式概率表达式样本均值的样本均值的置信区间置信区间第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述1)1)统计假设检验和参数估计一起构成数理统计统计假设检验和参数估计一起构成数理统计的核心内容的核心内容推断理论推断理论2)2)参数估计理论解决由子样确定总体分布参参数估计理论解决由子样确定总体分布参数问题；统计假设检验是依据子样来推断数问题；统计
17、假设检验是依据子样来推断某些结论的可靠性和成立的条件等。某些结论的可靠性和成立的条件等。3)3)例如，正态总体的数学期望是否等于某已知的数值，正例如，正态总体的数学期望是否等于某已知的数值，正态总体的方差是否等于已知值，两个正态总体的方差和数学态总体的方差是否等于已知值，两个正态总体的方差和数学期望是否相等。期望是否相等。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述3)3)统计假设检验的方法统计假设检验的方法第一、先做一个假设，称为原假设（零假设），记为第一、先做一个假设，称为原假设（零假设），记为H H0
18、0；第二，构造适当且分布已知的统计量；第二，构造适当且分布已知的统计量；第三、根据一定的置信度，确定该统计量应出现的区间，第三、根据一定的置信度，确定该统计量应出现的区间，用子样值计算该统计量的数值；用子样值计算该统计量的数值；第四、如果此数值落入置信区间内，原假设正确，接受原第四、如果此数值落入置信区间内，原假设正确，接受原假设；假设；第五、否则，由于小概率事件一般不发生，拒绝原假设，第五、否则，由于小概率事件一般不发生，拒绝原假设，接受备选假设接受备选假设第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述3)3
19、)统计假设检验的方法统计假设检验的方法例如，如果从正态总体中抽取容量为例如，如果从正态总体中抽取容量为n n的样本，设总体方差的样本，设总体方差已知，由抽样分布定理知已知，由抽样分布定理知标准化标准化第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述3)3)统计假设检验的方法统计假设检验的方法上式中，假设方差已知，只有数学期望上式中，假设方差已知，只有数学期望u u未知。我们又知，未知。我们又知，如果样本来自于正态总体，就有如果样本来自于正态总体，就有问题：上述总体均值问题：上述总体均值u u是否等于某一特定的数值
20、是否等于某一特定的数值u u0 0第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述3)3)统计假设检验的方法统计假设检验的方法设设H H0 0：u uu u0 0；如果原假设成立，则一定有如果原假设成立，则一定有 如果样本均值确实满足不等式，我们没有理由否定如果样本均值确实满足不等式，我们没有理由否定原假设。否则，在一次试验中，小概率事件就发生原假设。否则，在一次试验中，小概率事件就发生了，我们就只能接受备选假设。了，我们就只能接受备选假设。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计
21、假设检验三、统计假设检验1 1、假设检验概述、假设检验概述3)3)统计假设检验的方法统计假设检验的方法单单尾尾检检验验双双尾尾检检验验第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法设从总体设从总体 抽取容量为抽取容量为n n的子样，则的子样，则 对总体均值对总体均值 u u进行检验。这种服从正态分布的统进行检验。这种服从正态分布的统计量称为计量称为u u变量，所进行的检验方法称变量，所进行的检验方法称u u检验法。检验法。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2
22、 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 双尾检验：原假设和备选假设双尾检验：原假设和备选假设 依依双尾检验双尾检验第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 得接受域得接受域 ：标准正态分布函数的双侧分位数：标准正态分布函数的双侧分位数 a a：双尾处概率之和双尾处概率之和 。检验检验u u0 0的数值是否落于该区间的数值是否落于该区间 第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 单尾检验（左尾）：原假
23、设和备选假设单尾检验（左尾）：原假设和备选假设 依依左尾检验左尾检验第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 接受域接受域第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 单尾检验（右尾）：原假设和备选假设单尾检验（右尾）：原假设和备选假设 依依右尾检验右尾检验第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法检验过程检验过程 接受域接受
24、域 ：标准正态分布函数的上侧分位数：标准正态分布函数的上侧分位数 a a：右尾处概率右尾处概率第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、u u检验法检验法u u检验要求检验要求 1 1）2 2）方差已知）方差已知 说明：要满足上述两个条件，均要求子样容量很大，一说明：要满足上述两个条件，均要求子样容量很大，一般情况下，当般情况下，当n200n200时，以中误差代替方差、以及均值时，以中误差代替方差、以及均值满足正态分布的假设可以认为是严密的，当满足正态分布的假设可以认为是严密的，当n30n30时，检时，检验结果近似可信。容量小于验结
25、果近似可信。容量小于3030时，采用时，采用t t检验法检验法第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验2 2、t t检验法检验法作用：主要用于检验总体和子样均值作用：主要用于检验总体和子样均值 统计量统计量 对于对于u u检验，以子样均方差代替总体方差，构成检验，以子样均方差代替总体方差，构成t t检验统检验统计量。此法常用于小样本检验。计量。此法常用于小样本检验。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验3 3、例、例 某三角网中某三角网中421421个三角形闭合差的平均值个三角形闭
26、合差的平均值0.040.04秒，秒，已知闭合差的均方差为已知闭合差的均方差为0.620.62秒，问该闭合差的秒，问该闭合差的数学期望是否为数学期望是否为0 0？解：根据已知条件解：根据已知条件 我们知道如果三角形闭合差中仅含偶然误差，则我们知道如果三角形闭合差中仅含偶然误差，则u u0 0，原假设和备选假设：原假设和备选假设：H0H0：u u0 0 ；H1 H1：u u 0 0第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验3 3、例、例 构造统计量构造统计量 带入已知数据，得到带入已知数据，得到u u1.32,1.32,选定选定a a0.050
27、.05，查正态分布查正态分布表，得到表，得到C Ca/2a/2=1.96=1.96，即即u1.96u1.96。所以，接受原假设，即所以，接受原假设，即从三角形闭合差的均值看，系统误差不显著从三角形闭合差的均值看，系统误差不显著 第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验 三、统计假设检验三、统计假设检验注意注意 u u是样本容量是样本容量n n的增函数，换言之，对于不同样本容量，的增函数，换言之，对于不同样本容量，若样本均值相同，样本容量小的可能通过假设，样本容若样本均值相同，样本容量小的可能通过假设，样本容量大的可能拒绝原假设。可见，假设检验对小样本宽，量大的可能拒绝原假设。可见，假设检验对小样本宽，大样本严。大样本严。第六章第六章 参数的区间估计和假设检验参数的区间估计和假设检验自学内容自学内容检验法检验法F F检验法检验法