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1、第二章第二章 误差理论与最小二乘原理误差理论与最小二乘原理Error Theory and The Least Squares PrincipleError Theory and The Least Squares Principle 第六讲第六讲 误差传播律在测量上的应用误差传播律在测量上的应用（复习）复习）思考题思考题 1 1、菲列罗公式解决测量中的什么问题？、菲列罗公式解决测量中的什么问题？2 2、算术均值的精度是多少？仅仅依靠增加观测次数算术均值的精度是多少？仅仅依靠增加观测次数是否可以无止境地提高均值的精度是否可以无止境地提高均值的精度?为什么为什么?3 3、水准测量的精度和路线长有
2、怎样的关系？、水准测量的精度和路线长有怎样的关系？4 4、三角高程的精度和两点间的距离有什么关系、三角高程的精度和两点间的距离有什么关系?复复 习习 1算术平均值的中误差为算术平均值的中误差为 。3三角高程观测高差的中误差为三角高程观测高差的中误差为 。2水准观测高差的中误差等于水准观测高差的中误差等于 。4菲列罗测角中误差公式菲列罗测角中误差公式 。复复 习习一测回角度的中误差一测回角度的中误差测回互差测回互差：互差限差：互差限差：解：解：（1 1）互差中误差互差中误差：得得（2 2）由平均值的中误差公式由平均值的中误差公式复复 习习6水准测量每公里高差的中误差等于水准测量每公里高差的中误差
3、等于5mm，测量路线由测量路线由16km构成闭合环，环闭合差的限差等于构成闭合环，环闭合差的限差等于 。解：解：依题意，依题意，环闭合差是起点和终点相同的一段环闭合差是起点和终点相同的一段观测高差，高差的路线长观测高差，高差的路线长16km，所以闭合差的中误差等于所以闭合差的中误差等于复复 习习解：解：1 1、三角网中、三角网中,按细则要求按细则要求,均要根据菲列罗公式计算测均要根据菲列罗公式计算测角中误差角中误差.2 2、菲列罗公式说明、菲列罗公式说明,可以在不知道测角真误差的情况下可以在不知道测角真误差的情况下计算中误差计算中误差.3 3、算术平均值的精度比其中任一观测值精度高、算术平均值
4、的精度比其中任一观测值精度高4 4、水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比、水准测量高差中误差与测站数的平方根成正比;与路与路线长的平方根成正比线长的平方根成正比.5 5、三角高程测量忽略测边误差、三角高程测量忽略测边误差,其高差中误差与点间的其高差中误差与点间的距离成正比距离成正比.第六讲第六讲 误差传播律在测量上的应用误差传播律在测量上的应用（复习）复习）偶然误差与系统误差合并影响的精度估计偶然误差与系统误差合并影响的精度估计 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error 权与权逆阵的传播权与权逆阵的
5、传播 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.2 2、The Propagation of Systematic ErrorThe Propagation of Systematic Error第第七七讲讲3 3、The Effect of Systematic and Random The Effect of Systematic and Random ErrorError 偶然误
6、差与系统误差合并影响的精度估计偶然误差与系统误差合并影响的精度估计 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error 权与权逆阵的传播权与权逆阵的传播 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of Weight The Definition of Weight 5 5、E Evaluating Weight and Weight valuating Weight and Weight MatrixMatrix第第七七讲讲
7、6 6、Propagation of Weight Inverse MPropagation of Weight Inverse MatrixatrixNo.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.真真误差的差的数学数学期望等于零期望等于零 观测值的的数学数学期望等于其期望等于其真真值条件：观测值中仅含有偶然误差条件：观测值中仅含有偶然误差N
8、o.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.In practice,sometimes we cannot ignore In practice,sometimes we cannot ignore the residual influence of systematic error.the residual influence of sys
9、tematic error.We We must must think think about about the the systematic systematic error error when we calculate the when we calculate the bound of error.bound of error.At At present,we present,we have have not not the the unitive unitive way way to to process the systematic error.process the syste
10、matic error.No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.设一量设一量n n次等精度观测值次等精度观测值L L1 1，L L2 2，LnLn，真值为，真值为X X，真误差，真误差又假设在又假设在 中，既含有偶然误差中，既含有偶然误差 ，又含有系统误差，又含有系统误差系统误差系统误差 不是随机量，上式取数学期望有不是随机量，上式取数
11、学期望有当存在系统误差时，真误差的数学期望不等于零！当存在系统误差时，真误差的数学期望不等于零！No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.又因为又因为 称为偏差，也是观测值的准确度称为偏差，也是观测值的准确度包含系统误差时，仅用偶然误差的方差估计精度是不够的。包含系统误差时，仅用偶然误差的方差估计精度是不够的。No.7 Precision
12、 Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.以观测值的以观测值的均方误差均方误差来表征观测值的精来表征观测值的精度，其定义为度，其定义为系统误差不是随机量，系统误差不是随机量，而且与偶然误差独立而且与偶然误差独立No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The
13、Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.根据方差定义根据方差定义代之以中误差的形式代之以中误差的形式实用公式实用公式 理理解解为为 的的平平均均值值，一一般般通通过过试试验验得得到到No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error1 1、The Effect of Systematic Error on The Effect of Systematic Error on Obs.Obs.当系统误差影
14、响不超过偶然当系统误差影响不超过偶然误差的误差的1/31/3时，可忽略其影响时，可忽略其影响解解No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error2 2、The Propagation of Systematic ErrorThe Propagation of Systematic Error设函数设函数取微分取微分令令于是于是No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error2 2、The Propagatio
15、n of Systematic ErrorThe Propagation of Systematic Error顾及顾及于是于是式中式中No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic Error系统误差和偶然误差联合传播公式系统误差和偶然误差联合传播公式3、The Effect of Systematic and Random Error当当k1=k2=1k1=k2=1时时 用钢尺测距用钢尺测距,共量了共量了n n个尺段个尺段,设每一尺段的照准和读数中误差设每一尺段的照准和读数中误差为为m m,而尺长检定中误差
16、为而尺长检定中误差为m m,求全长距离观测值的中误差求全长距离观测值的中误差.解解函数关系式函数关系式Example 1Example 1No.7 Precision Estimate for Combining Random Error and Systematic ErrorExample 2Example 2 用长为用长为L L的钢尺测距的钢尺测距,共量了共量了9 9个尺段个尺段,设每一尺段的照设每一尺段的照准和读数中误差为准和读数中误差为m m=4 4mm,mm,而尺长检定中误差为而尺长检定中误差为m m=11mm,mm,求全长距离观测值的中误差求全长距离观测值的中误差.解解Examp
17、le 3Example 3解：解：(1)函数式：函数式：Example 3Example 3解：解：(2)函数式：函数式：Example 3Example 3本题的错误解法：本题的错误解法：先求每一尺段的综合中误差，再计算全长的中误差，然后计先求每一尺段的综合中误差，再计算全长的中误差，然后计算往返中数的中误差和闭合差的中误差及限差。算往返中数的中误差和闭合差的中误差及限差。1.8 1.8 权及权逆阵的传播权及权逆阵的传播4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight WeightThe WeightThe proportion pro
18、portion relations relations of of the the observations variance.observations variance.Why do we introduce the weight?Why do we introduce the weight?No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight1 1 权的定的定义设有观测值设有观测值L1L1，L2L2，LnLn，它们的中误差分别为，它们的
19、中误差分别为任选一常数任选一常数 ，定义，定义称为对应观测值称为对应观测值LiLi的权，权的严格计算形式的权，权的严格计算形式No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix1 1 权的定的定义No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight2 2 单位位权中中误差差在数值上与权等于在数值上与权等于1 1时的观测值的中误差相等，即当时的观测值的中误差相等，即当观测值观测值LiLi的
20、权等于的权等于1 1，称，称LiLi为单位权观测值为单位权观测值 ：权等于：权等于1 1的观测值的中误差的观测值的中误差No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight权权与与中中误误差差平平方方成成反反比比，是是表表征征精精度度的的相相对对指指标标。测测量量条条件件越越好好，观观测测值值的的精精度度越越高高，中中误误差差越越小小，权权越越大大；反反之之，测测量量条条件件差差，中误差大，权越小。中误差大，权越小。P Pay attent
21、ion to the following:ay attention to the following:单单位位权权中中误误差差可可以以在在观观测测值值中中误误差差中中选选取取，也也可可以以任任意意选选取取，此此时，观测值序列中可能没有单位权观测值时，观测值序列中可能没有单位权观测值 同同一一组组权权中中，只只能能选选定定一一个个单单位位权权中中误误差差，否否则则，就就会会破破坏坏权权之之间的比例关系间的比例关系No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definitio
22、n of Weight 单位权的不同选取，不影响平差结果单位权的不同选取，不影响平差结果 权一般情况下无量纲，但也可以含有权一般情况下无量纲，但也可以含有P Pay attention to the following:ay attention to the following:中误差和权都是衡量精度高低的数值，中误差和权都是衡量精度高低的数值，中误差是绝对数值，权是相对数值中误差是绝对数值，权是相对数值No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition o
23、f Weight回忆极大似然估计和最小二乘估计的一致性（独立不等精度一个量）回忆极大似然估计和最小二乘估计的一致性（独立不等精度一个量）即下式最小即下式最小No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight上式左乘上式左乘2 2 不改变求最小值的结果不改变求最小值的结果又因为又因为 权的定义权的定义于是于是或记为或记为 No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The
24、Definition of WeightThe Definition of Weight式中式中 后后式式称称为为权权矩矩阵阵（观观测测值值独独立立），其其对对角角线线元元素素是是相相应观测值的权应观测值的权No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight多维正态分布极大似然估计准则多维正态分布极大似然估计准则 定义定义 使得使得No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4
25、4、The Definition of WeightThe Definition of Weight我们来看看权阵我们来看看权阵P P的含义的含义观测值独立时观测值独立时No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight我们来看看权阵我们来看看权阵P P的含义的含义 观测值不独立时观测值不独立时No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of
26、 WeightThe Definition of Weight结论：结论：观观测测值值独独立立时时，权权矩矩阵阵的的对对角角线线元元素素是是对对应应观观测测值值的的权权；观观测测值值不不独独立立时时，权权矩矩阵阵的的对对角角线线元元素素一一定定不不是是对应观测值的权。对应观测值的权。3 3 权矩阵权矩阵 观测值不独立时，称为相关权矩阵观测值不独立时，称为相关权矩阵No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight4 4 权倒数和权逆阵权倒
27、数和权逆阵 权倒数：权倒数：权逆阵：权逆阵：4 4、The Definition of WeightThe Definition of Weight4 4 权倒数和权逆阵权倒数和权逆阵 权逆阵：权逆阵：权逆阵的对角线元素是权逆阵的对角线元素是对应观测值的权倒数对应观测值的权倒数No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix5 5、E Evaluating Weight and Weight valuating Weight and Weight MatrixMatrix1)The weight of arithmetic mean1)T
28、he weight of arithmetic mean 算术中数中误差平方算术中数中误差平方 设一次观测权为设一次观测权为p p，算术中数权，算术中数权算术中数的权是一次观测值权的算术中数的权是一次观测值权的n n倍倍No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix5 5、E Evaluating Weight and Weight valuating Weight and Weight MatrixMatrix2)The weight in leveling2)The weight in leveling取取S S0 0是单位权观测值
29、的路线长度是单位权观测值的路线长度水准测量测量的权和路线长成反比水准测量测量的权和路线长成反比式中式中则有则有根据权的定义根据权的定义于是于是No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix5 5、E Evaluating Weight and Weight valuating Weight and Weight MatrixMatrix3)The weight in trigonometric leveling3)The weight in trigonometric leveling取取S S0 0是单位观测值的路线长度是单位观测值的
30、路线长度三角高程测量的权和三角高程测量的权和路线长的平方成反比路线长的平方成反比故有故有No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix6 6、Propagation of Weight Inverse MPropagation of Weight Inverse Matrixatrix1 1 权逆阵的传播权逆阵的传播协方差矩阵传播协方差矩阵传播因为因为No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix6 6、Propagation of Weight Inverse MPropaga
31、tion of Weight Inverse Matrixatrix2 2 相关权逆阵的传播相关权逆阵的传播No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix6 6、Propagation of Weight Inverse MPropagation of Weight Inverse Matrixatrix3 3 权倒数传播权倒数传播特殊形式特殊形式No.7 Weight and Propagation of Weight Inverse Matrix6 6、Propagation of Weight Inverse MPropagati
32、on of Weight Inverse MatrixatrixNote:Note:1)1)观观测测值值在在非非独独立立时时，权权阵阵中中的的元元素素不不是是对对应应观观测测值值的的权权；而而权权逆逆阵阵中中的的元元素素却却是是对对应应观观测测值值的的权权倒倒数数。所所以以，为为了了求求某某些些量量的的权权，我们总是要计算权倒数或权逆阵。我们总是要计算权倒数或权逆阵。2)2)只有权倒数和权逆阵传播，权和权阵不传播。只有权倒数和权逆阵传播，权和权阵不传播。例题例题L1L2f3f2f1取单位权中误差取单位权中误差2 3m2一般情况下，测量上的原始观测值都是独立的，或者假定为独立的。而相关观测值都是
33、原始观测值的函数，其协方差矩阵或权逆阵是从方差传播公式或权逆阵传播公式导出的。已知已知求角度的权阵求角度的权阵解解阅读其它相关文献注意事项阅读其它相关文献注意事项1 1、协因数和协因数矩阵即是我们常说的权与权逆阵、协因数和协因数矩阵即是我们常说的权与权逆阵2 2、相关系数的概念、相关系数的概念表明表明x x、y y之间联系的紧密程度之间联系的紧密程度独立一定不相关，但不相关不一定独立，随机独立一定不相关，但不相关不一定独立，随机变量服从正态分布时，独立与不相关等价变量服从正态分布时，独立与不相关等价作业作业1.48 1.50 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59 1.611.48 1.50 1.51 1.54 1.56 1.58 1.59 1.611.64 1.66 1.70 1.72 1.75 1.76 1.64 1.66 1.70 1.72 1.75 1.76