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1、3.5 线性定常系统的稳定性及稳定判据v稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。v对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。v自动控制理论的基本任务(之一)v分析系统的稳定性问题v提出保证系统稳定的措施 一、稳定的概念和定义(a)稳定的x0(b)不稳定的x0(c)大范围稳定的x0 x0(d)小范围稳定的球的平衡状态(a)稳定的x0(b)不稳定的x0稳定性：系统原处于平衡状态，在受到扰动作用后都会偏离原来的平衡状态。当扰动作用消失后，系统经过一段过渡过程后能否回复到原来的平衡状态或足够准确地回复到原来的平衡状态，这种性能称为系统的稳定性。当扰动作用消失后，系统能恢复到原来的平衡状态，
2、则称该系统是稳定的。反之，系统是不稳定的。系统的稳定性又分为两种：一是大范围稳定，即起始偏差可以很大，但系统仍稳定，另一种是小范围稳定，即起始偏差必须在一定范围内系统才稳定，超出了这个限定值则不稳定。对于线性系统，如果在小范围内稳定，则它一定也是大范围内稳定的。而对于非线性系统，在小范围内稳定，在大范围内就不一定是稳定的。(c)大范围稳定的x0 x0(d)小范围稳定的稳定性是在扰动消失以后，系统自身的一种恢复能力，因而它是系统的一种固有特性。对线性系统来说，稳定性只取决于系统的结构和参数，而与系统的初始条件和外作用信号无关。一般说来，系统的稳定性表现为其时域响应的收敛性。线性控制系统的稳定性：
3、若线性控制系统在扰动(t)的作用下，其过渡过程随时间推移而逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐进稳定，简称为稳定；反之，若在扰动(t)的作用下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称该系统为不稳定。线性系统是稳定的二、线性系统的稳定条件设n阶系统闭环传递函数为式中，0l0，si(i=1，2，3，n)是系统的n个特征根。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：从上述关系式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为ai aj 0，(i，j=1，2，3，n)即，闭环特征方程各项系数都大于零或闭环特征方程各项系数符号相同且不缺项。2、劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)闭
4、环特征方程将各项系数，按下面的格式排成劳斯表sna0a2a4a6sn-1a1a3a5a7sn-2b1b2b3b4sn-3c1c2c3c4s2e1e2s1f1s0g1劳斯表中的有关系数为sna0a2a4a6sn-1a1a3a5a7sn-2b1b2b3b4sn-3c1c2c3c4s2e1e2s1f1s0g1系统稳定性：如果劳斯表中第一列所有元素均为正值，则特征方程式的根都在s的左半平面，相应的系统是稳定的。如果劳斯表中第一列出现负元素，第一列元素符号变化次数就是特征方程式在右半s平面上根的个数，相应的系统不稳定。sna0a2a4a6sn-1a1a3a5a7sn-2b1b2b3b4sn-3c1c2c
5、3c4s2e1e2s1f1s0g1注意：在排列特征方程式系数时，空位以零填补。在运算过程中出现空位时，也以零填补。试用劳斯判据判别系统的稳定性，若不稳定指出右根数。解：列劳斯表该表第一列元素符号不全为正，因而系统是不稳定的；且第一列元素符号变化了两次，所以特征方程有二个根在s的右半平面。例 3-5 设系统的特征方程式为s4135s3240s2150s1-600s05001、劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。(1)若劳斯表第一列元素中的符号有变化，其变化的次数就等于系统在s右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定。(2)如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则
6、表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定。以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。解决的办法请看例题四、劳斯判据的特殊情况系统的稳定性由于劳斯表中第一列上面元素的符号与其下面元素的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为不(临界)稳定。解：列劳斯表例 已知系统的特征方程式为试判别相应系统的稳定性。s311s222s10()s022、劳斯表中出现全零行 用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。解决的办法特征方程中含有一些大小相等、符号相反的实根或共轭虚根。相应的
7、系统为不稳定。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。请看例题系统的稳定性显然这个系统处于临界(不)稳定状态。例 已知系统的特征方程为 试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表s6182016s5212160s421216s3000824s2616s18/30s016五、劳斯判据的应用1、判定系统的稳定性。如果系统不稳定，则可知右根个数。2、求取使系统稳定的参数取值范围。例 3-8 系统结构图如图3-27所示，试求使系统稳定时的K取值范围。解 系统的闭环传递函数为R(s)C(s)图 3-27 控制系统-系统的特征方程为劳斯表为s30.0251s20.35Ks11-0.025K/0.35s0K要保证系统稳定，劳斯表中第1列元素必须全大于零，即K0，1-0.025K/0.35 0故的K取值范围是 0K0K-0.6750解得0.675K4.8