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1、第第2章章 信号和频谱信号和频谱l2.2.2 傅里叶变换傅里叶变换 一个非周期确知信号s(t)的傅里叶（Fourier）变换：（2-2-5）称为该信号的频谱密度频谱密度，简称频谱频谱。的傅里叶反变换就是原信号：（2-2-6）这对傅里叶变换关系可简记为 当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。当引入冲激函数之后，傅里叶变换对周期信号和非周期信号都适用。【例2-2】试求幅为A，宽为 的单个矩形脉冲（门函数）的频谱。解：对该信号进行傅里叶变换可得其频谱为 式中，称为抽样函数，且有 。谱的第1个零点频率为 。图2-3 矩形脉冲信号及其频谱函数第一零点f=1/评注：（1）非周期矩形脉
2、冲信号的频谱是连续频谱。（2）信号带宽与脉冲持续时间（脉宽 ）成反比，即 。这意味着，若要压缩信号的持续时间则以展宽频带为代价。主瓣宽度（指第一个零点频率范围）定义为信号带宽(零点带宽)：注意：带宽是指正频率部分的频谱宽度。可见，脉宽脉宽 越窄，越窄，B 越宽越宽。l【例2-3】已知 ，求 的频谱（密度）。解：利用欧拉公式可得 根据傅里叶变换的频移特性可得 另一解法：利用傅里叶变换的频域卷积性质求解。评注：上式通常称为调制定理，它在通信系统中的调制与解调过程中经常用到。2.3 随随 机机 过过 程程 l本节内容是本课程的数学基础，因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，需要用随机过程的理论来
3、描述。随机过程的基本概念和数字特征；平稳、高斯、窄带过程的统计特性；随机过程通过线性系统；高斯白噪声的统计特性。2.4 平稳随机过程 l2.4.1 平稳性平稳性 严（狭义）平稳严（狭义）平稳：随机过程的统计特性不随时间的推移而改变。宽（广义）平稳宽（广义）平稳：均值与 t 无关 自相关函数仅与时间间隔有关 v 严平稳必然宽平稳，反之不一定（高斯例外）。v 通信系统中的信号与噪声大多可视为宽平稳过程。2.5 高斯随机过程高斯随机过程 正态随机过程l 是一种最常见，最易处理的随机过程。例如：通信系统 里的热噪声。l2.5.1 定义与特性定义与特性 高斯过程的n维（n=1，2，）分布都服从正态分布。
4、高斯过程的统计特性完全由它的数字特征决定。它的一维分布完全可由均值和方差来描述。v（1）若高斯过程是宽平稳的，则也是严平稳的。v（2）若高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的。v（3）高斯过程经过线性系统后的过程仍是高斯过程。以上几个性质在对高斯过程进行数学处理时十分有用。2.6 随机过程通过线性系统 对于线性时不变系统，其输出过程 是输入过程 与系统单位冲激响应 的卷积，即 根据上式，若给定 的统计特性，则可求得 的统计特性，结果如表2-5所示。表2-5平稳随机过程通过线性系统 表2-5中，为线性系统的频率响应，且 ；H(0)是线性系统在 处的频率响应，即直流增益；是线性系
5、统的功率增益。l两个重要结论：v结论结论1：对于均值为零、方差为 的平稳高斯窄带过程 ，它的同相分量 和正交分量 同样是平稳高斯过程，且均值皆为零，方差都等于 （相当于平均功率相等）。v结论结论2：2.8 通信系统中的噪声 例子：电子设备中的电阻性器件所产生的热噪声，它是一种零均值的高斯白白噪声噪声。常被用作信道中的噪声模型。l2.8.1 白噪声白噪声 白噪声是一种带宽无限的平稳平稳过程，它具有恒定的功率谱密度具有恒定的功率谱密度和尖锐的自相关函数：式中，是一个常数，表示单边功率谱密度，单位是瓦/赫。白噪声仅在 （同一时刻）时的取值才相关。若白噪声的取值服从高斯分布，则称之为高斯白噪声高斯白噪
6、声。l2.8.2 带限白噪声带限白噪声 这是白噪声通过带宽有限的信道或滤波器的情形。常见形式有：设低通或带通滤波器的频率特性函数为 ，则白噪声通过 的输出噪声的功率谱为 （2-8-3）的积分面积等于输出噪声功率：（2-8-4）为了便于计算 ，引入等效噪声带宽（或称等效矩形带宽）Bn，而Bn正是滤波器的功率传输函数 的等效矩形宽度。利用等效噪声带宽Bn的概念，实际滤波器的特性可以用矩形滤波器的特性（见图中虚线）来等效。这时，可认为 在带宽Bn内是恒定的，若设 ，则可简便地由下式计算：式中，和 分别为白噪声的双边和单边功率谱密度。低通白噪声低通白噪声是白噪声经过理想矩形低通滤波器后的情形，见图（a），它的（双边）功率谱密度为 带通白噪声带通白噪声是白噪声通过理想矩形带通滤波器的情形，见图（b）。它的（双边）功率谱密度为 当 时，带通白噪声也称为窄带白噪声窄带白噪声，它的表达式和统计特性与2.7节所描述的窄带随机过程相同。仿照式（2-7-2）和结论1，窄带白噪声n(t)可表示为 （2-8-10）并且，、和 的均值都为0，而平均功率相同：。