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1、广州市第十三中学广州市第十三中学 数学科数学科 汤俭汤俭 引例引例1:1:某一次函数的图象经过点某一次函数的图象经过点(-1,2),(-1,2),且函数且函数y y的值随的值随自变量自变量x x的增大而减小，请你写一个符合上述条件的函的增大而减小，请你写一个符合上述条件的函数关系式。（只写一个函数关系式，不必考虑所有的数关系式。（只写一个函数关系式，不必考虑所有的情形）情形）引例引例2:2:如图如图1 1，ABC=DCB,ABC=DCB,请补充一个请补充一个条件条件 ，使，使ABCDCB.ABCDCB.引例引例3:3:已知：四边形已知：四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD
2、相交于点相交于点O,O,给出给出下列下列5 5个条件：个条件：AB/CD OA=OCAB=CD AB/CD OA=OCAB=CD BAD=DCB AD/BC.BAD=DCB AD/BC.从以上从以上5 5个条件中任意选取个条件中任意选取2 2个条个条件，能推出四边形件，能推出四边形ABCDABCD是平行四边形的有（用序号表示）：是平行四边形的有（用序号表示）：开放探索题是近年来中考命题中的一个新方开放探索题是近年来中考命题中的一个新方向，其解法灵活且具有一定的探索性，向，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题按解题目标的操作模式分为规律探索这类题按解题目标的操作模式分为规律探索型、数学建模型、操
3、作设计型、问题探索型等；型、数学建模型、操作设计型、问题探索型等；按未知的是解题假设、解题目标、解题推理按未知的是解题假设、解题目标、解题推理来分，有条件开放题、结论开放题、策略开放题、来分，有条件开放题、结论开放题、策略开放题、组合开放题。组合开放题。开放探索题本身具有多种开放性：包括条件的开放探索题本身具有多种开放性：包括条件的开放、问题的开放、解题策略的开放、以及答案的开放、问题的开放、解题策略的开放、以及答案的开放，因而在思维训练中有其独特的作用：开放，因而在思维训练中有其独特的作用：1、激励作用：唤起兴趣，产生激励思维的内驱力。、激励作用：唤起兴趣，产生激励思维的内驱力。2、磨砺作用
4、：要求我们对结论作出大胆的合理猜想，、磨砺作用：要求我们对结论作出大胆的合理猜想，在解题方法上能出奇制胜，别出心裁。在解题方法上能出奇制胜，别出心裁。从专业角度说，课堂教学的有效性是指通过课从专业角度说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学使学生获得发展。堂教学使学生获得发展。发展就其内涵而言，指的是知识、技能，过程、发展就其内涵而言，指的是知识、技能，过程、方法与情感、态度、价值观三者（三维目标）的协方法与情感、态度、价值观三者（三维目标）的协调发展。调发展。通俗地说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学通俗地说，课堂教学的有效性是指通过课堂教学活动，学生在学业上有收获，有提高，有进步。活动，学生在
5、学业上有收获，有提高，有进步。“课堂教学的有效性特征（或表现）最核心的一课堂教学的有效性特征（或表现）最核心的一点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不点是看学生是否愿意学、主动学以及怎么学、会不会学会学”。（一）、改造课本的例题习题，使之具有开放性（一）、改造课本的例题习题，使之具有开放性 将一些条件、结论完整的例题改造成给出条件，先猜结将一些条件、结论完整的例题改造成给出条件，先猜结论，再进行证明的形式；也可以改造给出多个条件，需要整论，再进行证明的形式；也可以改造给出多个条件，需要整理、筛选以后才能求解或证明的题目；还可以改造成要求运理、筛选以后才能求解或证明的题目；还可以改造成要求
6、运用多种解法或得出多个结论的题目，以加强发散式思维的训用多种解法或得出多个结论的题目，以加强发散式思维的训练。此外，将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展练。此外，将题目的条件、结论拓广，使其演变为一个发展性问题，或给出结论，再让学生探求条件等，都是使常规性性问题，或给出结论，再让学生探求条件等，都是使常规性题目变为开放题的有效方法。题目变为开放题的有效方法。【例【例1】华东师大版华东师大版八年八年级级（下）（下）P62问题问题2的研究解答的研究解答在科学与在科学与艺术艺术知知识竞赛识竞赛的的预选赛预选赛中共有中共有20道道题题，对对于每一道于每一道题题，答，答对对得得10分，答分，答错错
7、或不答扣或不答扣5分，分，总总得分不少于得分不少于80分者通分者通过预过预选赛选赛，育才中学，育才中学25名学生通名学生通过过了了预选赛预选赛，他，他们们分分别别可能答可能答对对了多了多少道少道题题？解：解：设设通通过预选赛过预选赛的学生可能答的学生可能答对对了了x道道题题，则则答答错错或不答或不答的的题题有（有（20-x）道，由）道，由题题意，意，得得解得：解得：所以，所以，这这些学生可能答些学生可能答对对的的题题目数是目数是12,13,14,15,16,17,18,19,20除了上述解法外，你还有没有其他方法？除了上述解法外，你还有没有其他方法？设设至少答至少答错错或不答道或不答道x题题，
8、由，由题题意意即得即得因此可因此可设设至少答至少答对对x道道题题，由，由题题意，得意，得解得解得所以，可能答所以，可能答对对的的题题目目为为12,13,14,15,16,17,18,19,20道。道。方法方法1即至少答对即至少答对12道题，所以答对的题目是道题，所以答对的题目是 12,13,14,15,16,17,18,19,20道道方法方法2【例例2 2】如如图图，在平行四，在平行四边边形形ABCDABCD中，点中，点E E、F F在在对对角角线线ACAC上，且上，且AE=CFAE=CF，请请你以你以F F为为一个一个端点，和端点，和图图中已中已标标明字母的某一点明字母的某一点连连成一条成一
9、条新新线线段，猜想并段，猜想并证证明它和明它和图图中已有的某一条中已有的某一条线线段相等（只需段相等（只需证证明一明一组线组线段相等即可）段相等即可）1 1、连结连结 2、猜想：猜想：3、证证明：明：此题改编于华东师大版课本八年级上此题改编于华东师大版课本八年级上P37P37例例5 5【例【例3】如图，】如图，AB是是 O的直径，的直径，BD=OB,CAB=30,请请根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除根据已知条件和所给图形，写出三个正确结论（除AO=BO=BD外）外）此题改编于华东师大版课本九年级上此题改编于华东师大版课本九年级上P58P58练习练习3 3（二）、利用一题多变，一题多
10、解，多题同法（二）、利用一题多变，一题多解，多题同法拓宽学生的思维空间拓宽学生的思维空间 解开放性问题的关键是牢固掌握基础知识，加解开放性问题的关键是牢固掌握基础知识，加强强“一题多解一题多解”，“一题多变一题多变”，“一题多用一题多用”，“多题同法多题同法”，“多题同果多题同果”等的训练，经过归纳、等的训练，经过归纳、类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论。类比、模拟、联想等推理的手段，得出正确的结论。开放性问题有利于激发创新意识，启迪创新思维，开放性问题有利于激发创新意识，启迪创新思维，培养创新精神，也是中考命题的一个热点。培养创新精神，也是中考命题的一个热点。一题多变一题多变【例【
11、例4】变变形形1：变变形形2：变变形形3：变变形形4：变变形形5：变变形形6：变变形形7：此题改编于华东师大版课本九年级上此题改编于华东师大版课本九年级上P24P24复习题复习题1717【例【例5】已知点】已知点E,F,G,H分别是平行四边形分别是平行四边形ABCD各边的中各边的中点，请判断四边形点，请判断四边形EFGH的形状的形状?并做进一步的思考。并做进一步的思考。1.当满足什么条件时，四边形当满足什么条件时，四边形EFGH是是菱形菱形?矩形？正方形？矩形？正方形？2.已知点已知点D,E,F分别是三角形分别是三角形ABC各边的中点，那么，各边的中点，那么，当满足什么条件时，三角形当满足什么
12、条件时，三角形DEF是是等腰三角形等腰三角形?当满足什么条件时，三角形当满足什么条件时，三角形DEF是是等边三角形等边三角形?当满足什么条件时，三角形当满足什么条件时，三角形DEF是是直角三角形直角三角形?当满足什么条件时，三角形当满足什么条件时，三角形DEF是是等腰直角三角形等腰直角三角形?变化：变化：此题改编于华东师大版课本九年级下此题改编于华东师大版课本九年级下P62P62 课题学习课题学习:中点四边形中点四边形【例【例6】如图，点】如图，点E在正方形在正方形ABCD的边的边CD上运动，上运动，AC与与BE交于点交于点F,（1）如图）如图1，当点，当点E运动到运动到DC的的中点中点时，求
13、时，求ABF与四与四边形边形ADEF的面积之比；的面积之比；（2）如图）如图2，当点，当点E运动到运动到CE:ED=2:1时，求时，求ABF与四边形与四边形ADEF的面积之比；的面积之比；（3）如图）如图3，当点，当点E运动到运动到CE:ED=3:1时，求时，求ABF与四边形与四边形ADEF的面积之比；的面积之比；（4）当点）当点E运动到运动到CE:ED=n:1时时(n为正整数时为正整数时)，猜想，猜想ABF与与四边形四边形ADEF的面积之比；（不用计算，只写结果）的面积之比；（不用计算，只写结果）（5）请你利用上述图形，提出一个类似的问题。）请你利用上述图形，提出一个类似的问题。变化：变化：
14、一题多解一题多解【例【例7】当】当时，求时，求的值。的值。解法一：直接代入计算，这是笨拙的解法；解法一：直接代入计算，这是笨拙的解法；解法二：先进行分母有理化，得解法二：先进行分母有理化，得 然后再代入然后再代入；解法三：条件变为解法三：条件变为解法四：解法四：两边平方得两边平方得【例【例8】有一块长】有一块长16米，宽米，宽12米的矩形荒地，要建造一个花米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？解法解法1：设小路的宽为：设小路的宽为x米米 则则整理得整理得检验：因为小路的宽度为检验：因为小路的宽度为12
15、米，符合所列方程，但荒地的米，符合所列方程，但荒地的宽度为宽度为12米，小路的宽不可能是米，小路的宽不可能是12米，因此它不是实际问米，因此它不是实际问题的解，应舍去，取题的解，应舍去，取分析分析2：其中花园每个角的扇形都相同。：其中花园每个角的扇形都相同。解法解法2：因为：因为4个相同的扇形的面积之和恰为一个圆的个相同的扇形的面积之和恰为一个圆的面积，且其半径为面积，且其半径为x米米由题意：由题意：解得解得所以扇形半径约为所以扇形半径约为5.5米。米。此题改编于华东此题改编于华东师大版课本九年师大版课本九年级上级上P38P38练习练习7 7【例【例8】有一块长】有一块长16米，宽米，宽12米
16、的矩形荒地，要建造一个花米的矩形荒地，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能设计方案吗？分析分析3：设计如图：设计如图解法解法3：由题意，由题意，解得解得x=4当然，符合条件的设计方案是多种多样的。当然，符合条件的设计方案是多种多样的。多题同解多题同解【例【例9】（1）k取何值时对任意实数取何值时对任意实数x，代数式，代数式 （2）k取何值时，方程取何值时，方程 （3）k为何值时，对任意实数为何值时，对任意实数x，不等式不等式（4）k为何值时，函数为何值时，函数（三）、设计（三）、设计“开放型开放型”的训练题，的训练题，拓宽学
17、生的创新空间拓宽学生的创新空间 1 1、条件开放型问题、条件开放型问题【例【例10】如图，】如图，OA是是ABC的中线，要使的中线，要使 O与与AB边相切于点边相切于点D（1）要使）要使 O与与AC边相切，应增加条件边相切，应增加条件:（任写一（任写一个）个）（2）增加条件后，请你证明）增加条件后，请你证明 O与与AC边相切边相切图1HGABCEFBGCHAFE图2图3BCGHEFAPAGCBHFE【例【例11】己知点】己知点E、F在在的边的边 AB 所在的直线上，且所在的直线上，且FH/EG/AC,FH、EG分别交边分别交边BC所在的直线于点所在的直线于点H、G如图如图l，如果点，如果点E、
18、F在边在边AB上，那么上，那么 如图如图2，如果点，如果点E在边在边AB上，点上，点F在在AB的延长线上，的延长线上，那么线段那么线段EG、FH、AC的长度关系是的长度关系是_；如图如图3，如果点，如果点E在在AB的反向延长线上，点的反向延长线上，点F在在AB的的延长线上，那么线段延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是的长度关系是_；对对三种情况的结论，请任选一个给予证明三种情况的结论，请任选一个给予证明2 2、结论开放型问题、结论开放型问题 3 3、方案设计开放型问题、方案设计开放型问题【例【例12】如图所示，把边长为】如图所示，把边长为2厘米的正方形剪成四个全厘米的正方形剪成四个全
19、等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列等的直角三角形，请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并按要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并按实际大小画出拼后的图形来。实际大小画出拼后的图形来。（1）不是正方形的菱形）不是正方形的菱形（2）不是正方形的矩形）不是正方形的矩形（3）梯形）梯形（4）不是矩形和菱形的平行四边形）不是矩形和菱形的平行四边形（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形）不是梯形和平行四边形的凸四边形（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形【例【例13】如图，在】如图，在ABC和和DEF中中
20、,B、E、C、F在在同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选择同一条直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个个作为题设，余下的作为题设，余下的1个作为结论，写出一个真命题，并个作为结论，写出一个真命题，并加以证明。加以证明。AB=DE AC=DF ABC=DEF BE=CF4 4、组合开放型问题、组合开放型问题（四）生活永远是开放型应用题永不枯竭的源泉（四）生活永远是开放型应用题永不枯竭的源泉【例【例14】上海现行的出租车收费标准是：当路程】上海现行的出租车收费标准是：当路程不超过不超过3千米但不超过千米但不超过10千米时，超过部分的单价千米时，超过部分的单价2元元/千米（不足千米（不足1
21、千米按千米按1千米计算）；当路程超千米计算）；当路程超过过10千米时，超过部分的单价为千米时，超过部分的单价为3元元/千米（不足千米（不足1千米按千米按1千米计算），夜千米计算），夜23点至第二天凌晨点至第二天凌晨5点加点加收收30%。请讨论利用中途换乘出租车的依法以节。请讨论利用中途换乘出租车的依法以节省费用的可能性。省费用的可能性。1 1在学习时，应当允许学生在学习过程中存在学习时，应当允许学生在学习过程中存在一定的在一定的“路径差路径差”。2 2在学习中，要给学生充分的思考时间和活在学习中，要给学生充分的思考时间和活动空间。动空间。3 3应选择好联系实际的开放题，题量和难度应选择好联系实际的开放题，题量和难度要合适。要合适。4 4在编制开放题时，要掌握适度。在编制开放题时，要掌握适度。5 5适度开展数学开放题教学适度开展数学开放题教学6 6在评价学生时不要过分追求完整的在评价学生时不要过分追求完整的答案。答案。