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1、第第第第4 4章章章章 平衡方程的应用平衡方程的应用平衡方程的应用平衡方程的应用 静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念静定与静不定问题的概念 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡 桁架桁架桁架桁架 结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论4-1 4-2 4-1 4-2 物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡物体系的平衡 静定和静不定问题静定和静不定问题静定和静不定问题静定和静不定问题 静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：
2、未知量数目等于独立平衡方程数目静定体系：未知量数目等于独立平衡方程数目 超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目超静定体系：未知量数目多于独立平衡方程数目PPABCFAFBFCPPABFBFAD1m2m1mABCFqEPAQCBDE解得解得解得解得:PABFBxFByFAxFAy解：解：解：解：(1)(1)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得(2)(2)取取取取ABAB为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象代入（代入（代入（
3、代入（3 3）式得）式得）式得）式得已知：已知：已知：已知：P P=0.4kN=0.4kN，QQ=1.5kN=1.5kN，sinsin=4/5=4/5例例例例 题题题题 1 1ABABl l 求：求：求：求：支座支座支座支座AA、CC的反力。的反力。的反力。的反力。D,E为中点为中点AQCBPDEFAxFAyFCxFCyA AB BC CD DE EGF3 mG1 m6 m6 m6 m 三铰拱桥如图所示，已三铰拱桥如图所示，已知每段重知每段重G=40 kN，重心分别在，重心分别在D，E处，且桥面受一集中荷载处，且桥面受一集中荷载F=10 kN。试求各铰链中的力。试求各铰链中的力。例例 题题 2
4、解：解：解：解：1 1.取取取取ACAC段为研究对象。段为研究对象。段为研究对象。段为研究对象。A AC CD DF FCxCxG GF FAxAxF FAyAyF FCyCyG GF F CxCxF FBxBxF FByByC CE EB BF FF F CyCy2 2.再取再取再取再取BCBC段为研究对象，受力段为研究对象，受力段为研究对象，受力段为研究对象，受力分析如图。分析如图。分析如图。分析如图。联立求解，得联立求解，得联立求解，得联立求解，得 F FAxAx=-=-F FBxBx =F FCxCx =9.2 kN9.2 kN F FAyAy=42.5 kN=42.5 kN，F FB
5、yBy=47.5 kN=47.5 kN，F FCyCy=2.5 kN=2.5 kNFDCDBHPF1DBPACHLaa45ra求：求：求：求：A A、C C的约束的约束的约束的约束反力和反力和反力和反力和DCDC杆内力。杆内力。杆内力。杆内力。例例例例 题题题题 3 3解解:(1)取图示取图示BC和圆盘和圆盘为研究对为研究对象象PF1FCF FAxAxF FAyAyDBCH45（2）取图示部分为研究对象）取图示部分为研究对象已知已知已知已知:a=2ma=2m，q=3kN/mq=3kN/m例例例例 题题题题 4 4 求：求：求：求：支座支座支座支座AA、DD的反力。的反力。的反力。的反力。qAB
6、CDaaaqABqABCDFByFBxFAyFAxFDyFDx解：解：取取AB部分为研究对象部分为研究对象FAyFAx取整体为研究对象取整体为研究对象q=25N/mABCD4m4m3mP=500NM=600N.mq=25N/mABDP=500NCM=600N.mBFCFBF FAxAxF FAyAyMMA A求：求：A、C处的反力。处的反力。练习练习FDFCBABDPqMCE2aaaDMCABPqEFBC求：求：A、E、D处的反力。处的反力。练习练习FEFAxFAyEqaaaaaABCDFFAyAyFFAxAxFFEE求：求：求：求：A A、E E的约束的约束的约束的约束反力和反力和反力和反力
7、和BCBC杆内力。杆内力。杆内力。杆内力。例例例例 题题题题 5 5CDqFFDxDxFFDyDy解：解：解：解：(1)(1)取整体为研究对取整体为研究对取整体为研究对取整体为研究对象象象象解得：解得：解得：解得：(2)(2)取曲杆取曲杆取曲杆取曲杆CDCD为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得：解得：解得：解得：FFCCBCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy FBFAxFAyMA FB解：解：解：解：(1)(1)取取取取BCBC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得:(2)(2)取取取取ACAC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得
8、解得解得解得:求：求：求：求：AA、CC处的反力。处的反力。处的反力。处的反力。例例例例 题题题题 6 6已知：已知：已知：已知：M M=10kNm,q=2kN/m=10kNm,q=2kN/m理论力学创新思维训练理论力学创新思维训练P91解：解：解：解：(1)(1)取取取取DEDE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象(2)(2)取取取取BCBC为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象 图示结构，各杆的自重不计，图示结构，各杆的自重不计，图示结构，各杆的自重不计，图示结构，各杆的自重不计，已知已知已知已知q q=4k=4kNN/mm，M M=6k=6kNN.mm。试求：试求：试求：试求：杆杆
9、杆杆1 1、2 2所受的力及所受的力及所受的力及所受的力及A A、B B的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 7 7qABC4m3m3mDMMEDqEFExFEyF1BCMMF FBxBxF FByByF1F2(3)(3)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象1、本题是否还有其他解法？、本题是否还有其他解法？4mDqABC3m3mMME2、本题若不要求计算、本题若不要求计算1、2杆之力，试问该如何解决？杆之力，试问该如何解决？3、能否将本题进行些变化？该如何变？需要满足什么条件？、能否将本题进行些变化？该如何变？需要满足什么条件？FAxF
10、AyMAF FBxBxF FByBy4、教材、教材P85qABC2aaaaaPDqABC2aaaaaPD求：求：A处的反力。处的反力。CqBDF FBxBxF FByByF1qABCPDF1FAxFAyMA练习练习求求CE杆的内力。杆的内力。DCqABq30ABDCEaqqFCBF FAxAxF FAyAyF FDxDxF FDyDyFCEFBC练习练习求求A、E的反力。的反力。30ABDCEaqqGaqABCBCqF FBxBxF FByByFCDFAxFAyMAEDqFDCF FExExF FEyEyFDGFCDG测试测试求求CE杆的内力。杆的内力。qCABDG1.5aaa0.5aP=qa
11、E0.5a500NDCEFDxFDyFExFEy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB求：求：求：求：DD、E E的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 8 8解：解：解：解：(1)(1)取取取取CDECDE为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得(2)(2)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得解得解得解得:GEBFGxFGyFB(3)(3)取取取取BEGBEG为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象解得解得解得解得:500N500NDCEFDxF
12、DyFExFEy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB代入（代入（代入（代入（3 3）式得）式得）式得）式得:如果取整体为研究对象时，如果取整体为研究对象时，A支座的反力都要求出来么支座的反力都要求出来么？BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：解：解：解：(1)(1)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象(2)(2)取取取取DEGDEG杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：(3)(3)取取取取ADBADB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：aBCDAGEPaaaFCx
13、FCyFBxFByPDGEF FNENEB求：求：求：求：A A、DD、B B的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 9 9aaBBCCDDAAFFEEPPaaaaaa(a a)aaBBCCDDAAFFEEPPaaaaaa(b b)aaBBCCDDAAFFEEaaaaaaMM(c c)aaBBCCDDAAFFEEaaaaaaMM(d d)图示构架自重不计，图示构架自重不计，图示构架自重不计，图示构架自重不计，已知：已知：已知：已知：q q=1.5kN/m=1.5kN/m，P P11=10 kN=10 kN，P P22=20 kN=20 kN 求：求：求：求：支座支座
14、支座支座AA、B B处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。处的约束反力。例例例例 题题题题 10 10DABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mq解解:(1)取取DE部分为研究对部分为研究对象象DEP2P1FDFExFEyFDFAyFByFBxFAx(2)取整体为研究对象取整体为研究对象DABCEP2P12m 2m4m4m6m2m2m3mqFDFAyFByFBxFAx(2)取取BC部分为研究对部分为研究对象象BFByFBxFCxFCyCqBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFBFAxFAyMMA AFCxFCyFBFDxFDyFNEH解：解：解：解：(1)(1)
15、取取取取DEDE杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象(2)(2)取取取取BDCBDC杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象(3)(3)取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象取整体为研究对象解得：解得：解得：解得：求：求：求：求：A A、B B的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。例例例例 题题题题 11 11已知：已知：已知：已知：q q=50kN/m=50kN/m,MM=80kNm=80kNmPPPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB求：求：求：求：A A、DD的约束反力。的约束反力。的约束反力。的约束反力。例例
16、例例 题题题题 12 12解：解：解：解：(1)(1)取取取取BCBC杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：(2)(2)取取取取ABAB杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：代入（代入（代入（代入（3 3）式解得：）式解得：）式解得：）式解得：PPPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB(3)(3)取取取取CDCD杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象杆为研究对象解得：解得：解得：解得：CDF FDxDxF FDyDyMMD DFAyPFAxABPPPPABCFCyFCxFAxFAyPPPPA
17、BCDaaaa2a2aF FDxDxF FDyDyMMD DFAyFAx解出得解出得 FAx=P FAy=1.5P另解另解:(1)取取AB为研究对为研究对象象(2)取取ABC为研究对象为研究对象(3)取整体为研究对象取整体为研究对象4-3 4-3 平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算平面简单桁架的内力计算 桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；桁架的杆件都是直的；杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接；杆件用光滑的铰链连接；载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上；载荷均作用在节点上；重量平均分配在
18、节点上。重量平均分配在节点上。重量平均分配在节点上。重量平均分配在节点上。理想桁架理想桁架 桁架是一种由杆件彼此在两端用桁架是一种由杆件彼此在两端用桁架是一种由杆件彼此在两端用桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后铰链连接而成的结构，它在受力后铰链连接而成的结构，它在受力后铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。几何形状不变。几何形状不变。几何形状不变。节点法节点法节点法节点法 截面法截面法截面法截面法 1.1.以整体为研究对象，以整体为研究对象，求支求支求支求支座约束力。座约束力。座约束力。座约束力。解方程可得解方程可得解方程可得解方程可得解：解：解：解：A AB B
19、C C2 m 2 m 2 m2 m1 12 2 3 34 45 5F FAyAyF FByByFBxF FD D 平面桁架的尺寸和支座如图平面桁架的尺寸和支座如图平面桁架的尺寸和支座如图平面桁架的尺寸和支座如图所示。在节点所示。在节点所示。在节点所示。在节点DD处受一集中载荷处受一集中载荷处受一集中载荷处受一集中载荷F F=10=10 kNkN的作用。试求桁架各杆件所受的内的作用。试求桁架各杆件所受的内的作用。试求桁架各杆件所受的内的作用。试求桁架各杆件所受的内力。力。力。力。例例例例 题题题题 12 12 A AB BC C2 m 2 m 2 m2 m1 12 2 3 34 45 5FDA
20、AB BC C2 m 2 m 2 m2 m1 12 2 3 34 45 5FD2 2.取节点取节点取节点取节点A A为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。为研究对象，受力分析如图。F2F1FAyA解方程可得解方程可得解方程可得解方程可得F3F4C C3 3.取节点取节点取节点取节点C C为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象 。解方程可得解方程可得解方程可得解方程可得4 4.取节点取节点取节点取节点D D为研究对象。为研究对象。为研究对象。为研究对象。DF5FA AB BC CD DE EF FG GFEF FGG123 如图所示平面桁架，各杆件如图所
21、示平面桁架，各杆件的长度都等于的长度都等于1 m。在节点。在节点E上作用载上作用载荷荷FE=10 kN，在节点，在节点G上作用载荷上作用载荷FG=7 kN。试计算杆。试计算杆1，2和和3的内力。的内力。例例例例 题题题题 13 13 1 1.取桁架整体为研究对象，取桁架整体为研究对象，取桁架整体为研究对象，取桁架整体为研究对象，求桁架的支座约束力。求桁架的支座约束力。求桁架的支座约束力。求桁架的支座约束力。解：A AB BC CD DE EF FG G1 12 23 3FByFAxFEFGFAy解方程求得解方程求得解方程求得解方程求得mm2 2.求杆求杆求杆求杆1 1，2 2和和和和3 3的内
22、力。的内力。的内力。的内力。用截面用截面m-m将三杆截断，选将三杆截断，选取左段为研究对象。取左段为研究对象。F1A AC CD DE EFAxFAyF2FEF3解方程求得解方程求得解方程求得解方程求得A AB BC CD DE EF FG G1 12 23 3FByFAxFEFGFAy1FFFFF6aABb例题例题16求求1杆的内力杆的内力mn解：解：整体为研究对象整体为研究对象再以截面再以截面mn左面部分为研究对象左面部分为研究对象FAFBFFAF1F2F3CFAF4PPEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：解：解：解：(1)(1)取整体为研究对取整体为研究对取整体为研究对取整体为研
23、究对象象象象解得：解得：解得：解得：(2)(2)取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象取内部三角形为研究对象(3)(3)取节点取节点取节点取节点AA为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象aaaaaaPP21ABCDFAxFAyFNB求：求：求：求：桁架桁架桁架桁架1 1、2 2杆的力。杆的力。杆的力。杆的力。例例例例 题题题题 17 17(1)两杆相交，节点无外力作用，两杆相交，节点无外力作用，则两杆都是零杆则两杆都是零杆;(2)三杆相交，其中两杆共线，节三杆相交，其中两杆共线，节点无外力作用，则第三杆为零杆。点无外力作用，则第三杆为零杆。PPP123456789
24、10PPACBGDE123aaaaaCPPBGDEF3F1F2F4F5FBPPGDEF1F2F6F7mnqrPACDEaaaaaaa4B60P求求4杆的内力杆的内力F123456781091112131415161718192021222324内力为零的杆件：内力为零的杆件：1，2，3，4，7，8，9，16，21ABCDEGPnmFDE=0BDGPFDCFDEFDAFGCFB练习练习 已知：已知：等边三角形等边三角形ABC，其中，其中E、D、G为个边为个边中点。中点。求：求：CD杆的内力杆的内力 FMHABCDOEFG思考题思考题已知：各杆得自重不计。已知：各杆得自重不计。HAB平行于平行于E
25、FG,OCD垂直于垂直于AB,角度角度 30o,除除AB,CD外外,各杆得长度均为各杆得长度均为 。求。求AB杆的内力。杆的内力。解：解：选图选图(a)为隔离体图，求出为隔离体图，求出BC杆的杆的内力内力FBC 然后再以然后再以B为对象，求出为对象，求出FAB。参考受力图参考受力图(b)，选选 轴与轴与FOB垂直。垂直。BFBCFABFOB(b)FMCDEFFGxFGyFBCFAC(a)1.1.接触表面的粗糙性接触表面的粗糙性接触表面的粗糙性接触表面的粗糙性2.2.分子间的引力分子间的引力分子间的引力分子间的引力 一一.关于摩擦现象关于摩擦现象摩擦的分类摩擦的分类摩擦的分类摩擦的分类摩擦的机理
26、摩擦的机理摩擦的机理摩擦的机理摩擦的利弊摩擦的利弊摩擦的利弊摩擦的利弊按两物体的按两物体的相对运动形式相对运动形式分，有分，有滑动摩擦滑动摩擦和和滚动摩阻。滚动摩阻。按两物体间按两物体间是否有良好的润滑是否有良好的润滑，滑动摩擦又可分为滑动摩擦又可分为干摩擦干摩擦和和湿摩擦湿摩擦。4.4 考虑摩擦时的平衡问题考虑摩擦时的平衡问题 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题考虑摩擦时考虑摩擦时 的平衡问题的平衡问题 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题H 赛车起跑为什么赛车运动员起跑前车轮与为什么赛车运动员起跑前车轮与 地面摩擦生烟？地面摩擦生烟？几个
27、有意义的实际问题几个有意义的实际问题H 赛车结构为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？为什么赛车结构前细后粗；车轮前小后大？maFwFNF 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 采用什么办法，可以将左边轴的转动采用什么办法，可以将左边轴的转动传给右边的轴？传给右边的轴？几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题考虑摩擦时考虑摩擦时 的平衡问题的平衡问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题工程中的摩擦问题5-1 5-1 滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦F FP PF FNNF FssP PF FNN两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙
28、的物体，当其接触表面之间两个表面粗糙的物体，当其接触表面之间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力有阻碍相对滑动的阻力滑动摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力 静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定静滑动摩擦力的大小必须由平衡方程确定1.1.静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力静滑动摩擦力静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：静摩擦定律：最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与两物体最大静摩擦力的大小与
29、两物体间的正压力成正比间的正压力成正比间的正压力成正比间的正压力成正比2.2.最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力最大静滑动摩擦力F FP PF FNNF Fss3.3.动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力动滑动摩擦力5-3 5-3 摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象摩擦角和自锁现象1.1.摩擦角摩擦角摩擦角摩擦角F FNNF FssF FRARAAF FmaxmaxF FNNF FRARAAF FRARA=F FNN+F FSS全约束反力全约束反力全约束反力全约束反力 摩擦角摩擦角摩擦角摩擦角全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值全约束反力与法
30、线间夹角的最大值全约束反力与法线间夹角的最大值 F FRARAAF FNN摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数摩擦角的正切等于静摩擦系数2.2.自锁现象自锁现象自锁现象自锁现象物块平衡时，物块平衡时，物块平衡时，物块平衡时，0 0 F F F Fmaxmax ,因此因此因此因此 0 0 如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这力的作用线在摩擦角之内，则无论这个力怎样大，物块必保持
31、平衡。个力怎样大，物块必保持平衡。个力怎样大，物块必保持平衡。个力怎样大，物块必保持平衡。AF FRARAF FRR（2 2）非自锁现象）非自锁现象）非自锁现象）非自锁现象 如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力如果作用于物块的全部主动力的合力的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎的作用线在摩擦角之外，则无论这个力怎样小，物块一定会滑动。样小，物块一定会滑动。样小，物块一定会滑动。样小，物块一定会滑动。AFRFRA5-2 5-2 考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体
32、的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题考虑摩擦时物体的平衡问题 检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；检验物体是否平衡；临界平衡问题；临界平衡问题；临界平衡问题；临界平衡问题；求平衡范围问题。求平衡范围问题。求平衡范围问题。求平衡范围问题。考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点考虑摩擦的系统平衡问题的特点1.1.平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数平衡方程式中除主动、约束力外还出现了摩擦力，因而未知数增多。增多。
33、增多。增多。2.2.除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程除平衡方程外还可补充关于摩擦力的物理方程 F Fss f fssF FN N。3.3.除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程除为避免解不等式，可以解临界情况，即补充方程F Fmax max=f fssF FN N。常见的问题有常见的问题有常见的问题有常见的问题有 P PQQFsFN解：解：解：解：取物块为研究对象，并假定其平衡。取物块为研究对象，并假定其平衡。取物
34、块为研究对象，并假定其平衡。取物块为研究对象，并假定其平衡。解得解得解得解得 已知已知已知已知:QQ=400N=400N,P P=1500N=1500N,f fss=0.2=0.2,f f=0.18,=0.18,3030。问：问：问：问：物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。物块是否静止，并求此时摩擦力的大小和方向。例例例例 题题题题 1 1物块不可能静止，而是向下滑动。物块不可能静止，而是向下滑动。此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为此时的摩擦力应为动滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为P
35、PQQFmaxFN解：解：解：解：取物块为研究对象，先求其最大值。取物块为研究对象，先求其最大值。取物块为研究对象，先求其最大值。取物块为研究对象，先求其最大值。解得：解得：解得：解得：（2 2）求其最小值。）求其最小值。）求其最小值。）求其最小值。解得：解得：解得：解得：例例例例 题题题题 2 2已知：已知：已知：已知：P P，f fss，斜面倾，斜面倾角大于摩擦角。角大于摩擦角。求：求：求：求：平衡平衡平衡平衡时水平力时水平力时水平力时水平力 Q Q 的大小。的大小。的大小。的大小。P PQQFmaxFNP PQQmaxmaxFR P PQQminminFRFRP PQQmaxmax+P
36、PQQminminFR-例例例例 题题题题 3 3用几何法求解前一个例题用几何法求解前一个例题用几何法求解前一个例题用几何法求解前一个例题PPFF30 问题问题问题问题1 1 已知摩擦角已知摩擦角已知摩擦角已知摩擦角=2020，F=PF=P，问问问问物块动不动？为什么？物块动不动？为什么？物块动不动？为什么？物块动不动？为什么？PPFF30FR2015 问题问题问题问题2 2 已知摩擦角均为已知摩擦角均为已知摩擦角均为已知摩擦角均为 ，问欲使问欲使问欲使问欲使楔子打入后不致滑出，在两种情况下的楔子打入后不致滑出，在两种情况下的楔子打入后不致滑出，在两种情况下的楔子打入后不致滑出，在两种情况下的
37、 ，物角应为若干？物角应为若干？物角应为若干？物角应为若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBFRAFRBFNAFSAFNBFSB练习练习MeaABdbABOFNAFAD解：解：解：解：取推杆为研究对象取推杆为研究对象取推杆为研究对象取推杆为研究对象考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程考虑平衡的临界情况，可得补充方程已知：已知：已知：已知：f fss，b b。求：求：求：求：a a为多大，推杆才不致被卡。为多大，推杆才不致被卡。为多大，推杆才不致被卡。为多大，推杆才不致被卡。例例例例 题题题题 4 4FNBFBF用几何法求解例用几何
38、法求解例用几何法求解例用几何法求解例4 4CFABObad解解解解:由图示几何关系得由图示几何关系得由图示几何关系得由图示几何关系得已知：已知：已知：已知：P P=1000N=1000N，f fs s=0.52=0.52若杆重不计。若杆重不计。若杆重不计。若杆重不计。求：求：求：求：系统平衡时的系统平衡时的系统平衡时的系统平衡时的QQmaxmax。例例例例 题题题题 5 5ABCQQ5cm10cm30PBF FBCBCQQF FBABAF FBABAF FNNF FmaxmaxAOP P解解解解:(1)(1)取销钉取销钉取销钉取销钉B B为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象F FBABA=
39、2 2QQ(2)(2)取物块取物块取物块取物块AA为研究对象为研究对象为研究对象为研究对象 处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时处于滑动的临界平衡状态时 F FBABAF FNNF FAOP P 处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时处于翻倒的临界平衡状态时ABCQQ5cm10cm30PFNCFNDFsCFsD例题例题6 已知：木板已知：木板AO和和BO中间中间放一重放一重W的均质圆柱，的均质圆柱，P1=P2=P。设它们之间的摩擦系数为设它们之间的摩擦系数为f，板的，板的自重不计，求圆柱平衡的范围。自重不计，求圆柱平衡的范围
40、。解解:(1)若若P力小，圆柱有下滑的趋势。力小，圆柱有下滑的趋势。以圆柱为研究对象，由平衡方程得：以圆柱为研究对象，由平衡方程得：WCDABP1P22aro2WCDHCAP1oFNDFsCEFOyFOx再以再以OA板为研究对象，受力如图，板为研究对象，受力如图，由平衡方程得：由平衡方程得：(2)若若P较大，圆柱有向上滑得趋势。较大，圆柱有向上滑得趋势。再计算得过程中摩擦力改变方向，然再计算得过程中摩擦力改变方向，然后由前面得分析一样可得：后由前面得分析一样可得：则平衡时则平衡时P值得范围是：值得范围是：即即结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 思考题思考题1：已知如图，已知如图，B处存在
41、摩擦。就处存在摩擦。就（a）、（）、（b）分别回答下述问题：）分别回答下述问题：MFACBBAF(a)(b)(1)能否确定能否确定B处的法向反力？处的法向反力？(2)能否确定能否确定B处的摩擦力？处的摩擦力？(3)问题是静定，还是静不定的？问题是静定，还是静不定的？思考题思考题思考题思考题2 2：均质杆重均质杆重均质杆重均质杆重P P，长，长，长，长l l，置于粗糙的水平面上，两者间的静置于粗糙的水平面上，两者间的静置于粗糙的水平面上，两者间的静置于粗糙的水平面上，两者间的静摩擦系数为摩擦系数为摩擦系数为摩擦系数为f fss。现在杆的一端施加。现在杆的一端施加。现在杆的一端施加。现在杆的一端施
42、加与杆垂直的水平力与杆垂直的水平力与杆垂直的水平力与杆垂直的水平力F F，试求使杆处，试求使杆处，试求使杆处，试求使杆处于平衡时的于平衡时的于平衡时的于平衡时的F F Fmax.max.max.设杆的高度忽略不设杆的高度忽略不设杆的高度忽略不设杆的高度忽略不计。计。计。计。FqqFmaxABCxl-x 思考题思考题思考题思考题3 3：重量均为重量均为重量均为重量均为P P P的小球的小球的小球的小球A A、B B用一不计重量的杆连结。放置在用一不计重量的杆连结。放置在用一不计重量的杆连结。放置在用一不计重量的杆连结。放置在水平桌面上，球与桌面间摩擦系数水平桌面上，球与桌面间摩擦系数水平桌面上，
43、球与桌面间摩擦系数水平桌面上，球与桌面间摩擦系数为为为为 f f fs ss ，一水平力一水平力一水平力一水平力F F F 作用于作用于作用于作用于A A球，试球，试球，试球，试求系统平衡时求系统平衡时求系统平衡时求系统平衡时 F F Fmax max max。30ABF30FmaxABFSAFSBOFSBF1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSd dF F=d=dF FSSd dF FNN=F Fd d d dF FSS=f=fssd dF FNNdF=Ffsd为维持皮带平衡，应有为维持皮带平衡，应有为维持皮带平衡，应有为维持皮带平衡，应有思考题思考题思考题思考题4 4 皮带（或绳索）
44、绕在半径皮带（或绳索）绕在半径皮带（或绳索）绕在半径皮带（或绳索）绕在半径为为为为RR的圆柱上，其包角为的圆柱上，其包角为的圆柱上，其包角为的圆柱上，其包角为 ，摩擦系摩擦系摩擦系摩擦系数为数为数为数为f fss，其两端的拉力为，其两端的拉力为，其两端的拉力为，其两端的拉力为F F11及及及及F F2 2，求平衡时，求平衡时，求平衡时，求平衡时F F11与与与与F F22的关系。的关系。的关系。的关系。F F11F F22接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，接上题，如果将绳在圆柱上绕两周，且知且知且知且知F F22 =1kN=1kN，
45、求绳平衡时，求绳平衡时，求绳平衡时，求绳平衡时F F11的范的范的范的范围，绳与圆柱间的摩擦系数为围，绳与圆柱间的摩擦系数为围，绳与圆柱间的摩擦系数为围，绳与圆柱间的摩擦系数为f fss =0.5=0.5。解解解解:将数据代入将数据代入将数据代入将数据代入 上题公式上题公式上题公式上题公式F F2 2=1kN,=1kN,f fs s=0.5,=0.5,=4=4 如果允许如果允许如果允许如果允许 F F1 1 F F2 2，将数据代入，将数据代入，将数据代入，将数据代入 故：故：故：故：5-3 5-3 滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念滚动摩阻的概念FFPPFFNNFFssoAFFPPo
46、APPFFoAFFRRMMPPFFFFNNFFssoAMMFFPPoAFsFNdPPFFFFNNFFssoAMM保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滑动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：保证滚子不滚动：COMCFSCFNCFPCOFP解：解：以轮为研究对象以轮为研究对象(1)滚动时滚动时(2)滑动时滑动时F1=Fmax=f FNCF=f P=0.620001200 N 已知：已知：轮胎的半径轮胎的半径R40 cm,载载重重P2000 N，F作用与轮轴，滑动摩擦作用与轮轴，滑动摩擦系数系数f0.6，滚动摩擦系数，滚动摩擦系数0.24 cm，试求推动此轮的力试
47、求推动此轮的力F。例题例题19结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论2.物体系平衡物体系平衡问题问题的解答需注意的解答需注意选择选择研究研究对对象，宜象，宜先求出一个未知量。可以整体考先求出一个未知量。可以整体考虑虑；也可以从某一；也可以从某一构件开始，依次分析。构件开始，依次分析。总总之，之，应应尽量避免解尽量避免解联联立方立方程，力求程，力求简简易。易。本章研究平衡方程的本章研究平衡方程的应应用。首先分清静定与静用。首先分清静定与静不定不定问题问题，接着解决物体系的平衡，桁架及摩擦。，接着解决物体系的平衡，桁架及摩擦。1.静定或静不定问题静定或静不定问题是根据独立的平衡方程数目是根据独立
48、的平衡方程数目等于或少于未知量的数目而定。等于或少于未知量的数目而定。3.3.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：两种方法：两种方法：两种方法：节点法：节点法：节点法：节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意
49、每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于的数目不宜多于2 2个。个。个。个。截面法截面法截面法截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截中的一部分为研究
50、对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于于于于3 3。(1).(1).摩擦现象分为摩擦现象分为摩擦现象分为摩擦现象分为滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦滑动摩擦和和和和滚动摩阻滚动摩阻滚动摩阻滚动摩阻两类。两类。两类。两类。(2).(2).滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相对滑动滑动摩擦力是在两个物体相互接触的表面之间有相