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1、第三章第三章 线性代数线性代数 3.1 3.1 常用矩阵函数常用矩阵函数norm：矩阵或向量范数矩阵或向量范数 Forvectors.norm(V,P)=sum(abs(V).P)(1/P).norm(V)=norm(V,2).norm(V,inf)=max(abs(V).norm(V,-inf)=min(abs(V).例例x=12345;x=120300405;x=100002000300405;norm(x,1),norm(x,2),norm(x,3),norm(x,inf)Formatrices.norm(X)isthelargestsingularvalueofX,max(svd(X)
2、.norm(X,2)isthesameasnorm(X).norm(X,1)isthe1-normofX,thelargestcolumnsum,=max(sum(abs(X).norm(X,inf)istheinfinitynormofX,thelargestrowsum,=max(sum(abs(X).norm(X,fro)istheFrobeniusnorm,sqrt(sum(diag(X*X).norm(X,P)isavailableformatrixXonlyifPis1,2,inforfro.例例x=120300;400506;708009;norm(x,1),norm(x,2),
3、norm(x,inf),norm(x,fro)n dot(x,y)向量的内积向量的内积n det(A)方阵的行列式；方阵的行列式；nrank(A)矩阵的秩；矩阵的秩；ntrace(A)矩阵的迹；矩阵的迹；nrref(A)初等变换化矩阵初等变换化矩阵A为阶梯矩阵为阶梯矩阵ninv(A)矩阵的矩阵的逆逆；即；即 A-1npinv(A)矩阵的矩阵的广义逆广义逆A+n null(A)零空间的基阵零空间的基阵n roth(A)值空间的基阵值空间的基阵n orth(A)将将A标准正交化标准正交化n cond(A,flag)矩阵的条件数矩阵的条件数,flag=2,1,inf,fro;例：例：分别求分别求x=
4、1 3 7 8-2,y=3 9 3-3 9的的长度与它们的夹角。长度与它们的夹角。x=1 3 7 8-2;y=3 9 3-3 9;xx=norm(x,2);yy=norm(y,2);theta=acos(dot(x,y)/(xx*yy);s=xx,yy,theta例：例：给定一组线性无关的向量，将其标准正交化给定一组线性无关的向量，将其标准正交化a=magic(5);b=orth(a)nd=eig(A)：方阵的特征值；方阵的特征值；V,D=eig(A):A*V=V*Dn V,J=jordan(A):A*V=V*Jn c=condeig(A)：向量向量c c中包含中包含矩阵矩阵A A关于关于各各
5、 特征值的条件数特征值的条件数n V,D,c=condeig(A)：例例:nA=1 0 0;1 2 0;1 2 3,nd=eig(A),nV,D=eig(A),nC=condeig(A),V,D,C=condeig(A),例：例：观察观察7 7阶随机矩阵特征值的分布阶随机矩阵特征值的分布a=rands(7,7)%a=rands(7,7)%产生产生7 7阶随机矩阵阶随机矩阵e=eig(a)e=eig(a)title(title(特征值的分布特征值的分布););plot(real(e),imag(e),o)plot(real(e),imag(e),o)xlabel(xlabel(实轴实轴););y
6、label(ylabel(虚轴虚轴););注：注：本例验证了如下定理：实方阵的特征值或为实本例验证了如下定理：实方阵的特征值或为实 数或呈共轭对出现。数或呈共轭对出现。例：例：观察正交矩阵的特征值分布观察正交矩阵的特征值分布a=rands(7,7);a=rands(7,7);b=orth(a);%b=orth(a);%构造一个正交矩阵构造一个正交矩阵theta=0:0.01:2*pi;theta=0:0.01:2*pi;e=eig(b);e=eig(b);plot(real(e),imag(e),r*,cos(theta),sin(theta);plot(real(e),imag(e),r*,
7、cos(theta),sin(theta);axis equalaxis equaltitle(title(正交矩阵特征值的分布正交矩阵特征值的分布););xlabel(xlabel(实轴实轴););ylabel(ylabel(虚轴虚轴););注：注：本例验证了正交矩阵的特征值分布在复平面的单本例验证了正交矩阵的特征值分布在复平面的单 位圆上。位圆上。3.2 3.2 矩阵的运算矩阵的运算 一、一、矩阵的转置、乘积，逆矩阵的转置、乘积，逆nA=1 0 0;1 2 0;1 2 3,A_trans=AnH=1 2 3;2 1 0;1 2 3,nK=1 2 3;2 1 0;2 3 1nHK=H*KnH
8、_inv=inv(H),K_inv=K-1二、矩阵的左除和右除二、矩阵的左除和右除n左除左除“”“”：求矩阵方程求矩阵方程AX=BAX=B的解；的解；（A A、B B的行要保持一致）的行要保持一致）解为解为 X=ABX=AB；当当A A为方阵且可逆时有为方阵且可逆时有X=AB=inv(A)*BX=AB=inv(A)*B；n右除右除“/”“/”：求矩阵方程求矩阵方程XA=BXA=B的解的解 （A A、B B的列要保持一致）的列要保持一致）解为解为 X=B/A X=B/A，当当A A为方阵且可逆时有为方阵且可逆时有X=B/A=BX=B/A=B*inv(A)inv(A)【例例】“求求逆逆”法法和和“
9、左左除除”法法解解恰恰定定方方程程的的性性能能对比对比（1）构造一个条件数很大的高阶恰定方程）构造一个条件数很大的高阶恰定方程randn(state,0);A=gallery(randsvd,100,2e13,2);x=ones(100,1);b=A*x;cond(A)ans=1.9990e+013（2）用）用“求逆求逆”法求解法求解ticxi=inv(A)*b;ti=toceri=norm(x-xi)rei=norm(A*xi-b)/norm(b)ti=0.4400eri=0.0469rei=0.0047（3）用）用“左除左除”法求解法求解tic;xd=Ab;td=toc,erd=norm(
10、x-xd),red=norm(A*xd-b)/norm(b)td=0.0600erd=0.0078red=2.6829e-015ti=0.4400eri=0.0469rei=0.0047n求矩阵方程：求矩阵方程：设设A、B满足关系式：满足关系式：AB2B+A,求求B。其中其中A=3 0 1;1 1 0;0 1 4。n解：有解：有(A-2I)BAn程序程序：A=3 0 1;1 1 0;0 1 4;B=inv(A-2*eye(3)*A,BB=(A-2*eye(3)An观察结果：观察结果：三三.矩阵函数的计算矩阵函数的计算 给给定定n阶阶方方阵阵A，求求exp(A),sqrt(A),log(A)矩矩
11、阵函数的阵函数的Matlab函数分别为函数分别为expm(A),sqrtm(A),logm(A)例：例：求三个特殊矩阵函数求三个特殊矩阵函数a=magic(3);e=expm(a)%求矩阵函数求矩阵函数ee=exp(a)%求矩阵中每个元素的函数值求矩阵中每个元素的函数值s=sqrtm(a)ss=sqrt(a)l=logm(a)ll=log(a)L,U,P=lu(A)：PA=LUr=chol(A):A=LLT,r=LTQ,R=qr(A),Q,R=qr(A,0):A=QRU,S,V=svd(A):A=USVTQ,R=schur(A):QTAQ=RP,H=hess(A):PAP-1=H3.3 3.3
12、 常用矩阵分解函数常用矩阵分解函数n实方阵的初等化简分解实方阵的初等化简分解:nA1=3 1 3;2 5 2;1 2 3,n L,U=lu(A1)nA2=1 1 2;1 2 3;1 2 1;1 1 6,n Q,R=qr(A2),Q1,R1=qr(A2,0)nA3=2 1 1;1 4-1;1-1 3,n r=chol(A3)n奇异值分解奇异值分解:nA=1 1;1 1;0 0,n U,D,V=svd(A),U1,D1,V1=svd(A,0)n实方阵的正交相似化简实方阵的正交相似化简:Q,R=schur(A)nA1=3 1 0;-4-1 0;4 8-2,n Q1,R1=schur(A1)nA2=9
13、-31 49 30;1 0 0 0;1 1 0 0;0 0 1 0,n Q2,R2=schur(A2)nA3=2 1 1;1 4-1;1-1 3,n Q3,R3=schur(A3)n实方阵的上实方阵的上Hessenberg分解分解:P,H=hess(A)nA1=3 1 0;-4-1 0;4 8-2,n P,H=hess(A1)nP*H*inv(P)3.4 3.4 稀疏矩阵稀疏矩阵一一.稀疏矩阵的特点和存储稀疏矩阵的特点和存储在编辑器内建立一个在编辑器内建立一个数据文本文件数据文本文件:st.m行行列列aij1132121212213254212343332load st.msa=spconve
14、rt(st)sa=(1,1)3 (2,1)2 (1,2)1 (2,2)1 (3,2)5 (4,2)1 (2,3)4 (3,3)2二二.稀疏矩阵的运算稀疏矩阵的运算例例:a=full(sa)a=310214052010pa=0100;10000001;0010pa=0100100000010010pa*saans=2143100100521.稀疏矩阵的初等变换稀疏矩阵的初等变换行初等变换行初等变换pv=2 1 4 3;s1=sa(pv,:)列初等变换列初等变换pv=2 1 3;s2=sa(:,pv)s1=spa*sas1=(1,1)2(2,1)3(1,2)1(2,2)1(3,2)1(4,2)5(
15、1,3)4(4,3)2spa=sparse(pa)spa=(2,1)1(1,2)1(4,3)1(3,4)12.稀疏矩阵的分解函数稀疏矩阵的分解函数L,U,P=lu(sa)L,U=luinc(sa,0)r=chol(sa)r=cholinc(sa,0)Q,R=qr(sa)eigs(sa)svds(sa)例例A=41000;14100;01410;00141;00014;sa=sparse(A);L,U,P=lu(sa)用下面例子说明稀疏矩阵的处理优点用下面例子说明稀疏矩阵的处理优点xs.m%设设n=3000,输入输入n=3000;b=1:n;a1=sparse(1:n,1:n,1,n,n);a2
16、=sparse(2:n,1:n-1,1,n,n);a=4*a1+a2+a2;%输出用稀疏矩阵求解的时间输出用稀疏矩阵求解的时间t1tic;x=ab;t1=tocaa=full(a);%输出用满矩阵求解的时间输出用满矩阵求解的时间t2tic;xx=aab;t2=toc%为检验为检验x与与xx是否相同分别输出其分量之和是否相同分别输出其分量之和y=sum(x)yy=sum(xx)%结果结果y与与yy相同，而相同，而t1与与t2相差巨大相差巨大1.不用预优矩阵的共轭斜量法不用预优矩阵的共轭斜量法 x=pcg(a,b,tol,kmax)2.用预优矩阵的共轭斜量法用预优矩阵的共轭斜量法 (1)x=pcg
17、(a,b,tol,kmax,m)(2)r=chol(m)x=pcg(a,b,tol,kmax,r,r,x0)3.未给定预优矩阵的共轭斜量法未给定预优矩阵的共轭斜量法 r=cholinc(sa,0)x=pcg(a,b,tol,kmax,r,r,x0)3.5 3.5 用预条件共轭斜量法求解线性方程组用预条件共轭斜量法求解线性方程组其中其中a,m为为对称正定矩阵对称正定矩阵1.不用预优矩阵的不用预优矩阵的双共轭梯度法双共轭梯度法 x=bicg(a,b,tol,kmax)2.用预优矩阵的用预优矩阵的双共轭梯度法双共轭梯度法 l,u=lu(m)x=bicg(a,b,tol,kmax,l,u,x0)3.未
18、给定预优矩阵的未给定预优矩阵的双共轭梯度法双共轭梯度法 l,u=luinc(sa,0)x=bicg(a,b,tol,kmax,l,u,x0)3.6 3.6 求解大型稀疏非对称正定的线性方程组求解大型稀疏非对称正定的线性方程组一一.双共轭梯度法双共轭梯度法二二.广义极小残差法广义极小残差法gmres3.7 3.7 不可解问题不可解问题例：考察下面三个线性方程组的解例：考察下面三个线性方程组的解(A1)-x+y=1(A2)-x+y=1(A3)x+2y=-2-2x+2y=2-x+y=0-x+y=12x-y=0nA1=-1 1;-2 2,b1=1;2,x1=A1b1nA10=-1 1,b10=1,x1
19、0=A10b10nA2=-1 1;-1 1,b2=1;0,x2=A2b2nA3=1 2;-1 1;2-1,b3=-2;1;0,x3=A3b3注：注：系数矩阵系数矩阵A必须是行满秩或列满秩必须是行满秩或列满秩3.8 3.8 病态问题病态问题例：考察舍入误差对线性方程组解的影响例：考察舍入误差对线性方程组解的影响0.12065x+0.98775y=2.010450.12032x+0.98755y=2.00555nA=0.12065 0.98775;0.12032 0.98755,n b=2.01045;2.00555,x=AbnA=0.12065 0.98775;0.12032 0.98755,n
20、 b1=2.01145;2.00555,x1=Ab1nA1=0.12165 0.98775;0.12032 0.98755,n b=2.01144;2.00555,x2=A1b3.9 关于多项式的关于多项式的MATLAB命令命令 一、一、多项式表达方式的约定多项式表达方式的约定多项式多项式 用行向量表示用行向量表示 用比较习惯的方式显示多项式：用比较习惯的方式显示多项式：pp=poly2str(p,x)【例】【例】多项式多项式 可表示为可表示为p=2145pp=poly2str(p,x)二、二、多项式运算函数多项式运算函数r=roots(p)：求多项式的零点求多项式的零点p=poly(r):以
21、以r为零点的多项式为零点的多项式p=poly(A):A的特征多项式的特征多项式PA=polyval(p,S):按数组运算规则，计算多项式的值按数组运算规则，计算多项式的值 其中其中S，PA为矩阵为矩阵PM=polyvalm(p,S):按矩阵运算规则，计算多项式的值按矩阵运算规则，计算多项式的值,其中其中S，PM为矩阵为矩阵 p=conv(p1,p2)：多项式的乘积多项式的乘积q,r=deconv(p1,p2)：多项式的除法，多项式的除法，p1/p2 p1(x)=p2(x)q(x)+r(x)【例】由给定根向量求多项式系数向量。【例】由给定根向量求多项式系数向量。R=-0.5,-0.3+0.4*i
22、,-0.3-0.4*i;P=poly(R)PPR=poly2str(P,x)P=1.00001.10000.55000.1250PPR=x3+1.1x2+0.55x+0.125【例】求多项式【例】求多项式 的零点的零点。r=roots(1-615-2015-61)r=1.0042+0.0025i1.0042-0.0025i1.0000+0.0049i1.0000-0.0049i0.9958+0.0024i0.9958-0.0024i注：尽管利用注：尽管利用MATLAB使得从系数转换到零点或从零点转换到使得从系数转换到零点或从零点转换到系数都非常容易，但是使用时一定要注意计算的精度。如果存系数都
23、非常容易，但是使用时一定要注意计算的精度。如果存在重根，这种转换可能会降低精度。对于数值计算，计算重根在重根，这种转换可能会降低精度。对于数值计算，计算重根是最困难的问题之一。是最困难的问题之一。【例】求【例】求3阶方阵阶方阵A的特征多项式。的特征多项式。A=111213;141516;171819;PA=poly(A)PPA=poly2str(PA,x)PA=1.0000-45.0000-18.0000-0.0000PPA=x3-45x2-18x-2.8387e-015【例】求【例】求 的的“商商”及及“余余”多项式。多项式。p1=conv(1,0,2,conv(1,4,1,1);p2=10
24、11;q,r=deconv(p1,p2);cq=商多项式为商多项式为;cr=余多项式为余多项式为;disp(cq,poly2str(q,x)disp(cr,poly2str(r,x)商多项式为商多项式为x+5余多项式为余多项式为5x2+4x+3【例】两种多项式求值指令的差别。【例】两种多项式求值指令的差别。S=pascal(4)P=poly(S);PP=poly2str(P,s)PA=polyval(P,S)PM=polyvalm(P,S)S=1111123413610141020PP=s4-29s3+72s2-29s+1PM=1.0e-010*0.00160.00330.00900.0205
25、0.00450.01010.02860.06970.00950.02100.06530.15960.01630.03870.12260.3019PA=1.0e+004*0.00160.00160.00160.00160.00160.0015-0.0140-0.05630.0016-0.0140-0.2549-1.20890.0016-0.0563-1.2089-4.3779可以用命令可以用命令polyval或或polyvalm计算多项式的值计算多项式的值p=2 1 4 5;xi=2.5;yi=polyval(p,xi)yi=52.5000 yi=polyvalm(p,xi)yi=52.5000【例】求多项式的积分【例】求多项式的积分 poly_itg.mfunctionpy=poly_itg(p)n=length(p)py=p.*n:-1:1.(-1),0【例】将【例】将Chebyshev多项式展开为幂级数形式多项式展开为幂级数形式 Cheby_pw.mfunctionpn=Cheby_pw(n)pbb=1;ifn=0,pn=pbb;break;endpb=10;ifn=1,pn=pb;break;endfori=2:npn=2*pb,0-0,0,pbb;pbb=pb;pb=pn;end