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1、第第3 3章章 流体动力学基础流体动力学基础1 1教学目的和任务教学目的和任务1 1）教学目的）教学目的（1 1）掌握研究流体运动的方法，了解流体流动的基本概念；）掌握研究流体运动的方法，了解流体流动的基本概念；（2 2）掌握理想流体运动的基本规律，为后续流动阻力计算等）掌握理想流体运动的基本规律，为后续流动阻力计算等打下基础。打下基础。2 2）基本内容）基本内容（1 1）正确使用流体流动的）正确使用流体流动的连续性方程式连续性方程式；（2 2）弄清流体流动的基本规律）弄清流体流动的基本规律伯努利方程伯努利方程,掌握伯努利掌握伯努利方程的物理意义、几何意义、使用条件及其应用；方程的物理意义、几
2、何意义、使用条件及其应用；（3 3）动量方程动量方程的应用。的应用。2 2重点、难点重点、难点重点：重点：连续性方程、伯努利方程和动量方程。连续性方程、伯努利方程和动量方程。难点：难点：应用三大方程联立求解工程实际问题。应用三大方程联立求解工程实际问题。l3.1 3.1 研究流体运动的两种方法研究流体运动的两种方法l3.2 3.2 研究流体运动时的一些基本概念研究流体运动时的一些基本概念l3.3 3.3 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程l3.43.4无粘性流体的运动微分方程无粘性流体的运动微分方程l3.5 3.5 无粘性流体运动微分方程的伯努利积分无粘性流体运动微分方程的伯努利积分l3
3、.6 3.6 粘性流体运动的微分方程及伯努利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程l3.7 3.7 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程l3.8 3.8 测量流速和流量的仪器测量流速和流量的仪器l3.9 3.9 定常流动总流的动量方程及其应用定常流动总流的动量方程及其应用流体动力学：流体动力学：研究流体运动规律及流体运动与力的关系研究流体运动规律及流体运动与力的关系的力学的力学 研究方法：研究方法：工程流体工程流体理想流体理想流体实验修正实验修正实际流体实际流体第第3 3章章 流体动力学基础流体动力学基础3.1 3.1 研究流体运动的方法研究流体运动的方法一、流体运动要素一、流体运
4、动要素 研究流体的运动规律，就是要确定流体运动要素。研究流体的运动规律，就是要确定流体运动要素。概念：概念：表征流体运动状态的物理量，又称表征流体运动状态的物理量，又称流体运动参数流体运动参数，如，如 l1 1）每一运动要素都随空间与时间而变化；）每一运动要素都随空间与时间而变化；l2 2）各要素之间存在着本质联系。）各要素之间存在着本质联系。*流场流场充满运动的连续流体的空间。充满运动的连续流体的空间。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。在流场中，每个流体质点均有确定的运动要素。二、研究流体运动的两种方法二、研究流体运动的两种方法 研究流体运动的两种方法：研究流体运动的两种方法：拉格朗
5、日法拉格朗日法和和欧拉法欧拉法。（1 1）拉格朗日法）拉格朗日法“跟踪跟踪”法、质点系法法、质点系法以流场中以流场中每一流体质点为研究对象每一流体质点为研究对象，研究每一个流体质点在运动过程中，研究每一个流体质点在运动过程中的各运动要素随时间的变化规律。的各运动要素随时间的变化规律。将所有质点的运动规律综合起来，得到整个流体的运动规律。将所有质点的运动规律综合起来，得到整个流体的运动规律。认为流体的整个运动是每一个流体质点运动的总和。认为流体的整个运动是每一个流体质点运动的总和。质点的标识：质点的标识：因在每一时刻，每个质点都占有唯一的确定的空间位置，因在每一时刻，每个质点都占有唯一的确定的空
6、间位置，故通常以某时刻故通常以某时刻tt0各质点的空间坐标各质点的空间坐标（a、b、c）来区分，不同质来区分，不同质点具有不同的点具有不同的（a、b、c）值值。质点的空间位置（质点的空间位置（x、y、z）不是独立变量，是（）不是独立变量，是（a、b、c）和时间）和时间t的函的函数：数：式中式中a、b、c、t 统称为拉格朗日变量（变数）。统称为拉格朗日变量（变数）。若若t取定值而取定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬时取不同的值，表示在某一瞬时t所有质点在该空间区所有质点在该空间区域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。在流体力学中，通常不用拉
7、格朗日法，而用欧拉法。在流体力学中，通常不用拉格朗日法，而用欧拉法。（2 2）欧拉法）欧拉法“站岗站岗”法法以流场中以流场中每一空间位置为研究对象每一空间位置为研究对象，而不是跟随个别质点。而不是跟随个别质点。研究流体质点经过这些固定的空间位置时，运动要素随时间的变化规律研究流体质点经过这些固定的空间位置时，运动要素随时间的变化规律将每个空间点上质点的运动规律综合起来，得到整个流场的运动规律。将每个空间点上质点的运动规律综合起来，得到整个流场的运动规律。空间位置的标识：空间位置的标识：直接用其位置坐标（直接用其位置坐标（x、y、z）表示，不同的）表示，不同的x、y、z代代表空间不同的位置。表空
8、间不同的位置。流体质点的运动参数是时间流体质点的运动参数是时间t和空间位置（和空间位置（x、y、z）的函数，如）的函数，如式中，式中，x、y、z、t 称为欧拉变量（变数）。称为欧拉变量（变数）。l任意时刻任意时刻t通过某空间位置（通过某空间位置（x、y、z）的质点速度）的质点速度ul上式中，若（上式中，若（x、y、z）为常数，）为常数，t为变数，得到不同瞬时通过某一空间点为变数，得到不同瞬时通过某一空间点流体质点速度的变化情况；反之，得到同一瞬时通过不同空间点的流体流体质点速度的变化情况；反之，得到同一瞬时通过不同空间点的流体速度的分布情况，即瞬时流速场。速度的分布情况，即瞬时流速场。l特别注
9、意：特别注意：研究速度和加速度的分布可用欧拉法，但从速度求加速度却研究速度和加速度的分布可用欧拉法，但从速度求加速度却必须用拉格朗日法，即必须用拉格朗日法，即必须用必须用“质点的观点质点的观点”来研究。来研究。因为因为加速度是某一质点在单位时间内的速度变化加速度是某一质点在单位时间内的速度变化，所有求加速度时，所有求加速度时必须跟踪质点的速度变化。必须跟踪质点的速度变化。l注意：注意：所选的空间点不是任意的空间点，是流体质点在运动过程中先后所选的空间点不是任意的空间点，是流体质点在运动过程中先后经过的位置，经过的位置，是同一运动轨迹上的空间点是同一运动轨迹上的空间点。l不同时刻，每个流体质点应
10、有不同的空间位置，即不同时刻，每个流体质点应有不同的空间位置，即对同一质点来说不是对同一质点来说不是独立变量独立变量，质点在流场中的位置（质点在流场中的位置（x、y、z）与时间变量有关）与时间变量有关。l故对任意一流体质点来说，其位置变量（故对任意一流体质点来说，其位置变量（x、y、z）是时间）是时间t的函数，即的函数，即l可见，欧拉变数（可见，欧拉变数（x、y、z）与拉格朗日变数（）与拉格朗日变数（a、b、c）不同，后者）不同，后者a、b、c各自独立，而前者各自独立，而前者x、y、z非独立变量，是随时间变化的中间变量，非独立变量，是随时间变化的中间变量，故在欧拉法中真正独立的变量只有时间变量
11、故在欧拉法中真正独立的变量只有时间变量t。l加速度是速度的全导数，根据复合函数求导加速度是速度的全导数，根据复合函数求导l1 1、迹线、迹线 拉格朗日法拉格朗日法l 指流体质点的运动轨迹，表示流体质点在指流体质点的运动轨迹，表示流体质点在一段时间内的运动情况。一段时间内的运动情况。l如图曲线如图曲线AB就是质点就是质点M的迹线。的迹线。l在迹线上取一微元长度在迹线上取一微元长度dl，表示该质点在，表示该质点在dt时间内的位移微元，则速度为时间内的位移微元，则速度为 l在各轴的分量为在各轴的分量为3.2 3.2 流体流动的一些基本概念流体流动的一些基本概念迹线和流线迹线和流线迹线的微分方程迹线的
12、微分方程表示质点的轨迹表示质点的轨迹 2 2、流线欧拉法、流线欧拉法指在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使指在流场中某一瞬间作出的一条空间曲线，使这一瞬间在该曲线上各位置的流体质点所这一瞬间在该曲线上各位置的流体质点所具有的具有的流速方向流速方向与曲线在该位置的与曲线在该位置的切线方切线方向向重合。如图曲线重合。如图曲线CDCD流线仅表示某一瞬时，处在这一流线各位置上流线仅表示某一瞬时，处在这一流线各位置上的各流体质点的运动情况。的各流体质点的运动情况。流线不是某一流体质点的运动轨迹。故流线上的微元长度流线不是某一流体质点的运动轨迹。故流线上的微元长度dl不表示某个不表示某个流体质点的位移。
13、流体质点的位移。流线的一个重要特征：流线的一个重要特征：同一时刻的不同流线，相互不可能相交。同一时刻的不同流线，相互不可能相交。流线微分方程：流线微分方程：设某一位置的质点瞬时速度为设某一位置的质点瞬时速度为 ，取该位置沿切线方向，取该位置沿切线方向的微元长度的微元长度 ，两者方向一致，矢量积为零，即，两者方向一致，矢量积为零，即其投影形式其投影形式流线微分方程流线微分方程若已知速度分布，便若已知速度分布，便可求出具体流线形状可求出具体流线形状 流线与迹线区别：流线与迹线区别：流线与迹线区别：流线与迹线区别：流线流线流线流线是某一瞬时处在流线上的无数流是某一瞬时处在流线上的无数流是某一瞬时处在
14、流线上的无数流是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况，时间是参变量；体质点的运动情况，时间是参变量；体质点的运动情况，时间是参变量；体质点的运动情况，时间是参变量；迹线迹线迹线迹线则是一个质点在一段时间内运动则是一个质点在一段时间内运动则是一个质点在一段时间内运动则是一个质点在一段时间内运动的轨迹，时间是自变量。的轨迹，时间是自变量。的轨迹，时间是自变量。的轨迹，时间是自变量。【例题【例题3.13.1】有一平面流场，有一平面流场，求求t0时，过时，过(-1，-1)点的迹线和流线。点的迹线和流线。【解】：【解】：根据迹线方程根据迹线方程有有这里这里t是自变量，则有是自变量，则有以以t0时，
15、时，xy1代入得代入得c1c20，消去，消去t后后得迹线方程为得迹线方程为根据流线方程根据流线方程 有有式中式中t为参数，积分得为参数，积分得以以t0时，时，xy1代入得代入得c0，得流线方程为得流线方程为3.2.2 3.2.2 定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动据据“流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变”1 1 定常流动定常流动在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间变化，只是坐标的函数，在流场中，流体质点的一切运动要素都不随时间变化，只是坐标的函数，这种流动为这种流动为定常流动定常流动。表示为。表示为流
16、体运动与时间无关，如流体运动与时间无关，如 p=p(x,y,z)u=u(x,y,z)=(x,y,z)如图容器中水位保持不变的如图容器中水位保持不变的出水孔口处的流体的稳定泄流出水孔口处的流体的稳定泄流，就是定常流，就是定常流动，其流速和压强不随时间变化，为一形状一定的射流。动，其流速和压强不随时间变化，为一形状一定的射流。如如离心式水泵离心式水泵，若其转速一定，则吸水管中流体的运动就是定常流动，若其转速一定，则吸水管中流体的运动就是定常流动工程实际中大部分流体运动均可近似看作定常流动。工程实际中大部分流体运动均可近似看作定常流动。2 2非定常流动非定常流动流体质点的运动要素是时间和坐标的函数，
17、这种流动为流体质点的运动要素是时间和坐标的函数，这种流动为非定常流动非定常流动。如如p=p(x,y,z,t)u=u(x,y,z,t)如图容器中的水位不断下降，如图容器中的水位不断下降，经孔口流出的液体经孔口流出的液体速度和压强等随时间而速度和压强等随时间而变化，其孔口出流就是非定常流动。变化，其孔口出流就是非定常流动。定常流动中，定常流动中，定常流动中，定常流动中，流线形状不随时间改流线形状不随时间改流线形状不随时间改流线形状不随时间改变，流线与迹线重合。变，流线与迹线重合。变，流线与迹线重合。变，流线与迹线重合。在非定常流动中，在非定常流动中，在非定常流动中，在非定常流动中，流线的形状随时流
18、线的形状随时流线的形状随时流线的形状随时间而改变，流线与迹线不重合。间而改变，流线与迹线不重合。间而改变，流线与迹线不重合。间而改变，流线与迹线不重合。3.2.3 3.2.3 流管、流束与总流流管、流束与总流1.1.流管流管微小流束微小流束流管流管在流场中画一封闭曲线在流场中画一封闭曲线在流场中画一封闭曲线在流场中画一封闭曲线(不是流线不是流线不是流线不是流线)，它所包围的面积很小，经过该封闭，它所包围的面积很小，经过该封闭，它所包围的面积很小，经过该封闭，它所包围的面积很小，经过该封闭曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，称为曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，
19、称为曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，称为曲线上的各点作流线，由这无数多流线所围成的管状表面，称为流管。流管。流管。流管。各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动，不能穿出或穿入流管，各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动，不能穿出或穿入流管，各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动，不能穿出或穿入流管，各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动，不能穿出或穿入流管，即即即即垂直于流管表面方向没有分速度垂直于流管表面方向没有分速度垂直于流管表面方向没有分速度垂直于流管表面方向没有分速度。2.2.流束流束充满在流管中的全部流体，称为充满在流管中的全部流体，称为充满在流管
20、中的全部流体，称为充满在流管中的全部流体，称为流束流束流束流束。断面为无穷小的流束断面为无穷小的流束断面为无穷小的流束断面为无穷小的流束微小流束微小流束微小流束微小流束，认为其断面上各点运动要素相等。，认为其断面上各点运动要素相等。，认为其断面上各点运动要素相等。，认为其断面上各点运动要素相等。当断面当断面当断面当断面A0A0A0A0时，微小流束变为流线。时，微小流束变为流线。时，微小流束变为流线。时，微小流束变为流线。3.3.总流总流l 无数微小流束的总和称为无数微小流束的总和称为总流总流。l水管中水流的总体、风管中气流的总体水管中水流的总体、风管中气流的总体均为总流。如图均为总流。如图按周
21、界性质：按周界性质：有压流：有压流：总流四周全部被固体边总流四周全部被固体边界限制。如自来水管、矿井排水管、界限制。如自来水管、矿井排水管、液压管道；液压管道；无压流：无压流：总流周界一部分为固体限总流周界一部分为固体限制，一部分与气体接触，有自由液面。制，一部分与气体接触，有自由液面。如河流、明渠；如河流、明渠；射流：射流：总流四周不与固体接触。如总流四周不与固体接触。如孔口、管嘴出流。孔口、管嘴出流。3.2.4 过流断面、流速、流量过流断面、流速、流量1.1.过流断面过流断面 与微小流束或总流中各条流线相与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流垂直的横断面，称为此微小流束或总
22、流的束或总流的过流断面过流断面(又称过又称过水断面水断面)，过水断面有平面或，过水断面有平面或曲面；如图。曲面；如图。当流线平行时，过流断面是平面，当流线平行时，过流断面是平面，否则是曲面否则是曲面课前复习：课前复习：（1 1）拉格朗日法）拉格朗日法“跟踪跟踪”法、质点系法法、质点系法以流场中以流场中每一流体质点为研究对象每一流体质点为研究对象，研究每一个流体质点在运动过程中，研究每一个流体质点在运动过程中的各运动要素随时间的变化规律。的各运动要素随时间的变化规律。质点空间位置（质点空间位置（x、y、z）不是独立变量，是（）不是独立变量，是（a、b、c）和）和t的函数：的函数：若若t取定值而取
23、定值而a、b、c取不同的值，表示在某一瞬时取不同的值，表示在某一瞬时t各个质点在该空间区各个质点在该空间区域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。域的分布情况；反之，则表示该质点的运动轨迹。（2 2）欧拉法）欧拉法“站岗站岗”法法 以流场中以流场中每一空间位置为研究对象每一空间位置为研究对象，而不是跟随个别质点。而不是跟随个别质点。研究流体质点经过这些固定的空间位置时，运动要素随时间的变化规律研究流体质点经过这些固定的空间位置时，运动要素随时间的变化规律 流体质点的运动参数是时间流体质点的运动参数是时间t和空间位置（和空间位置（x、y、z）的函数）的函数 任意时刻任意时刻t通过某空间位置（
24、通过某空间位置（x、y、z）的质点速度）的质点速度l不同时刻，每个流体质点应有不同的空间位置，即不同时刻，每个流体质点应有不同的空间位置，即对同一质点来说位置对同一质点来说位置（x、y、z）不是独立变量）不是独立变量，与时间变量有关与时间变量有关：l可见，欧拉变数（可见，欧拉变数（x、y、z）非独立变量，拉格朗日变数（）非独立变量，拉格朗日变数（a、b、c）独）独立变量。立变量。l迹线表示一个质点在一段时间内运动的轨迹迹线表示一个质点在一段时间内运动的轨迹l时间时间t是自变量，是自变量，x、y、z是是t的因变量。的因变量。l流线是某一瞬时处在流线上的无数流体质点的运动情况流线是某一瞬时处在流线
25、上的无数流体质点的运动情况l式中式中ux、uy、uz是空间坐标是空间坐标x、y、z和时间和时间t的函数，时间的函数，时间t是参变量，在积是参变量，在积分时将其作为常数。分时将其作为常数。定常流动和非定常流动定常流动和非定常流动 流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变流体质点经过流场中某一固定位置时，其运动要素是否随时间而变 迹线和流线的区别迹线和流线的区别 3.2.3 3.2.3 流管、流束与总流流管、流束与总流1.1.流管流管由无数流线所围成的管状封闭表面，为由无数流线所围成的管状封闭表面，为由无数流线所围成的管状封闭表面，为由无数流线所围成的管状封闭表面，为流管。流管。
26、流管。流管。各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动各时刻流体质点只能在流管内部或流管外部流动。2.2.流束流束充满在流管中的全部流体，为充满在流管中的全部流体，为充满在流管中的全部流体，为充满在流管中的全部流体，为流束，流束，流束，流束，即即即即流管内所有流线的总和流管内所有流线的总和流管内所有流线的总和流管内所有流线的总和；断面无穷小的流束，为断面无穷小的流束，为断面无穷小的流束，为断面无穷小的流束，为微小流束微小流束微小流束微小流束，认为其断面上各点运动要素相等。，认为其断面上各点运动要素相等。，认为其
27、断面上各点运动要素相等。，认为其断面上各点运动要素相等。当断面当断面当断面当断面A0A0A0A0时，微小流束变为时，微小流束变为时，微小流束变为时，微小流束变为流线流线流线流线。3.3.总流总流无数微小流束的总和称为无数微小流束的总和称为无数微小流束的总和称为无数微小流束的总和称为总流，总流，总流，总流，即即即即封闭曲线取在流场周界上封闭曲线取在流场周界上封闭曲线取在流场周界上封闭曲线取在流场周界上。过流断面过流断面与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总
28、与微小流束或总流中各条流线相垂直的横断面，称为此微小流束或总流的流的流的流的过流断面过流断面过流断面过流断面(又称过水断面又称过水断面又称过水断面又称过水断面)一般来说，过流断面上各点的运动要素是不等的；但对于微元流束的一般来说，过流断面上各点的运动要素是不等的；但对于微元流束的同一过流断面上各点的运动要素在同一时刻可认为相等。同一过流断面上各点的运动要素在同一时刻可认为相等。2.2.流量流量 流量：流量：单位时间内通过过流断面的流体量单位时间内通过过流断面的流体量 分为分为体积流量体积流量Q 和和质量流量质量流量M两类两类单位时间内流过过水断面的流体体积，称为单位时间内流过过水断面的流体体积
29、，称为体积流量体积流量，简称流量简称流量，单，单位是位是m3/s 或或l/s。单位时间内流过过水断面的流体质量，称为单位时间内流过过水断面的流体质量，称为质量流量质量流量，单位是，单位是kg/s。体积流量与质量流量的关系为体积流量与质量流量的关系为 Q=M/微元流束的体积流量微元流束的体积流量dQ ：因微元流束的过流断面与速度方向垂直，故等因微元流束的过流断面与速度方向垂直，故等于过流断面面积与流速的乘积于过流断面面积与流速的乘积总流的体积流量总流的体积流量Q：等于同一过流断面上所有微小流束的流量和，即等于同一过流断面上所有微小流束的流量和，即 3.3.流速流速点速：点速：流场中某一空间位置处
30、的流体质点在单位时间内所经过的位移，称流场中某一空间位置处的流体质点在单位时间内所经过的位移，称为该流体质点经过此处时的速度，简称为为该流体质点经过此处时的速度，简称为点速点速。用。用u表示表示严格讲，由于粘性，同一过流断面上各点的流速是不等的。严格讲，由于粘性，同一过流断面上各点的流速是不等的。但但微元流束微元流束的过流断面很小，各点流速相差不大，一般的过流断面很小，各点流速相差不大，一般用断面中心处的流用断面中心处的流速速作为同一过流断面的流速。作为同一过流断面的流速。在在总流总流的同一过流断面上引入的同一过流断面上引入断面平均流速断面平均流速的概念（假想的均匀分布在过的概念（假想的均匀分
31、布在过流断面上的流速）流断面上的流速）断面平均流速：断面平均流速：体积流量与过水断面面积的比值，体积流量与过水断面面积的比值，用用v表示表示工程上常说的管道中流体的流速即是工程上常说的管道中流体的流速即是v。3.3 3.3 流体流动的连续性方程流体流动的连续性方程l流体连续地充满所占据的空间（流场），当流体流动时在其内流体连续地充满所占据的空间（流场），当流体流动时在其内部不形成空隙，这是部不形成空隙，这是流体运动的连续性条件流体运动的连续性条件。l根据流体运动时应遵循质量守恒定律，将连续性条件用数学形根据流体运动时应遵循质量守恒定律，将连续性条件用数学形式表示出来，即式表示出来，即连续性方程
32、连续性方程。l连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表达式。3.3.1 3.3.1 直角坐标系中的连续性方程直角坐标系中的连续性方程 连续性微分方程连续性微分方程 取取以以 点点为为中中心心的的微微元元六六面面体体，边边长长dx，dy，dz，分分别别平平行行于于直角坐标轴直角坐标轴x，y，z。O点在点在t t时刻的流速分量时刻的流速分量 ,密度密度 前表面中心点前表面中心点M M质点质点x x方向的分速度为方向的分速度为 后表面后表面N N点点x x方向的分速度为方向的分速度为 所取六面体无限小，认为在各表面所取六面体无限小，认为在各表面
33、上的流速均匀分布，则上的流速均匀分布，则 单位时间内沿单位时间内沿x x轴方向流入六面体的轴方向流入六面体的 质量质量 流出六面体的质量流出六面体的质量单位时间内在单位时间内在x x方向流出与流入六面体的质量差，方向流出与流入六面体的质量差，即即净流出量净流出量为为同理，单位时间内沿同理，单位时间内沿y y，z z方向净流出量分别为方向净流出量分别为 由连续介质假设，根据质量守恒原理：由连续介质假设，根据质量守恒原理：单位时间内流出与流入六面单位时间内流出与流入六面体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。则有。则有整理得整理得此
34、此式式为为连连续续性性微微分分方方程程的的一一般般形形式式，表表达达了了任任何何可可能能存存在在的的流流体体运运动动所所必须满足的连续性条件，即质量守恒条件必须满足的连续性条件，即质量守恒条件。适用于定常流及非定常流。适用于定常流及非定常流可压缩流体三可压缩流体三维流动的欧拉维流动的欧拉连续性方程连续性方程 对于定常流动对于定常流动的连续性方程为的连续性方程为 对于均质不可压缩流体对于均质不可压缩流体（为常数）为常数），则不论定常流或非定常流均有，则不论定常流或非定常流均有方方程程说说明明通通过过一一固固定定空空间间点点流流体体的的流流速速分分量量u ux x、u uy y、u uz z 沿沿
35、其其轴轴向向的的变变化化率率是互相约束的，表明对于是互相约束的，表明对于不可压缩流体其体积是守恒不可压缩流体其体积是守恒的。的。不可压缩流体不可压缩流体二维定常流动二维定常流动的连续性方程为的连续性方程为上述方程对于理想流体和实际流体均适用。上述方程对于理想流体和实际流体均适用。不可压缩流体不可压缩流体三维流动的连三维流动的连续性方程续性方程 定常流动定常流动流体流体的连的连续性方程续性方程 3.3.2 3.3.2 微元流束与总流的连续性方程微元流束与总流的连续性方程 3.3.2.1 3.3.2.1 微元流束的连续性方程微元流束的连续性方程如图，在总流中取一微元流束，过水断面分别为如图，在总流
36、中取一微元流束，过水断面分别为dAdA1 1、dAdA2 2，相应速度，相应速度u u1 1、u u2 2，密度，密度1 1、2 2。可压缩流体的定常流动：可压缩流体的定常流动：微元流束的形状不随时间改变，没有流体穿入、微元流束的形状不随时间改变，没有流体穿入、穿出流束表面，只有两断面穿出流束表面，只有两断面dAdA1 1、dAdA2 2上有流体的流入和流出上有流体的流入和流出dt时间内，经过时间内，经过dAdA1 1流入的流体质量为流入的流体质量为 经过经过dAdA2 2流出的流体质量为流出的流体质量为根据质量守恒定律，流入的质量必须等于流出的质量，即根据质量守恒定律，流入的质量必须等于流出
37、的质量，即对不可压缩流体对不可压缩流体1 1=2 2,则有则有不可压缩流体定不可压缩流体定常流动常流动微元流束微元流束的连续性方程。的连续性方程。物理意义：物理意义：在同在同一时间间隔内流一时间间隔内流过流束上任一过过流束上任一过流断面的流量均流断面的流量均相等相等可压缩流体定常可压缩流体定常流动流动微元流束的微元流束的连续性方程。连续性方程。3.3.2.2 3.3.2.2 总流的连续性方程总流的连续性方程将将 方程两边对相应的过水断面方程两边对相应的过水断面A A1 1及及A A2 2 积分，得积分，得平均密度平均密度1m1m、2m2m 1 1、2 2，引入，引入整理上式得整理上式得对不可压
38、缩流体，对不可压缩流体，为常数，则为常数，则 总流的连续性方程，总流的连续性方程，说明说明可压可压缩流体做定常流动缩流体做定常流动时，总流的时，总流的质量流量保持不变质量流量保持不变不可压缩流体定不可压缩流体定常流动常流动总流的连总流的连续性方程续性方程物理意义：物理意义：不可压缩流体做定常流动时，不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量保持不变总流的体积流量保持不变；各过；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过水断面面积过水断面面积处，流速处，流速；而过水断面面积；而过水断面面积处，流速处，流速。3.3.2.2 3.3.2.2 总流的连续性方程总流
39、的连续性方程总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导出的。总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导出的。若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用，只是形式若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用，只是形式有所不同。有所不同。流量的汇入和流出流量的汇入和流出【例题【例题3.23.2】在三元不可压缩流动中，已知在三元不可压缩流动中，已知求求uz的表达式。的表达式。解：解：由连续性方程由连续性方程 得得积分得：积分得：【例题【例题3.33.3】如教材如教材P46P46图图3.103.10，一旋风除尘器，一旋风除尘器，入口处为矩形断面入口处为矩形断面，面积，面积为为A2=100mm
40、20mm=100mm20mm，进风管为圆形断面进风管为圆形断面，直径为，直径为100mm100mm。求当入口流速为求当入口流速为v2=12m/s=12m/s时，进风管中的流速。时，进风管中的流速。解：解：根据连续性方程可知根据连续性方程可知 故：故：3.4 理想流体（无粘性）的运动微分方程理想流体（无粘性）的运动微分方程l表面力表面力只有垂直于受力面并指向内法只有垂直于受力面并指向内法线方向的流体动压力（动压强引起）线方向的流体动压力（动压强引起）l流体的动压强只是坐标和时间的函数流体的动压强只是坐标和时间的函数lX X轴向上所受表面力为轴向上所受表面力为lX X轴向上所受质量力为轴向上所受质
41、量力为根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律，X X轴向上的表面力和质量力之和应等于六面体内流轴向上的表面力和质量力之和应等于六面体内流体的质量与体的质量与x x轴向上的加速度的乘积，即轴向上的加速度的乘积，即理想流体的运动微分方程，又称欧拉运理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程动微分方程(1755)，表明理想流体所受表明理想流体所受外力与运动加速度之间的关系外力与运动加速度之间的关系，对可压对可压缩性和不可压缩性流体都适用缩性和不可压缩性流体都适用欧拉平衡微分方程是它的特例欧拉平衡微分方程是它的特例位变加速度：位变加速度：表示表示流体质点因空间位流体质点因空间位置变化（位移置变化（位移d
42、x,dy,dz）而引起的速度而引起的速度分量的变化率分量的变化率时变加速度：时变加速度：表示流体质点表示流体质点速度分量随时速度分量随时间的变化率间的变化率3.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分理想流体运动微分方程的伯努利积分 l无粘性流体运动微分方程在特定条件下的积分，称为伯努利积分。无粘性流体运动微分方程在特定条件下的积分，称为伯努利积分。l 积分的特定条件：积分的特定条件：l（1 1）流体是均质不可压缩的流体是均质不可压缩的，即，即 l（2 2）质量力有势质量力有势，则，则 势函数势函数W=W（x、y、z）的全微分为的全微分为l（3 3）定常流动定常流动，即，即 此时迹线与流线重合，流
43、线则符合条件此时迹线与流线重合，流线则符合条件 将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx、dy、dz，然后相加然后相加根据上述特定条件，得根据上述特定条件，得因因为常数，有为常数，有沿同一流线积分沿同一流线积分 理想流体运动微分理想流体运动微分方程的伯努利积分方程的伯努利积分表明：表明：对于对于不可压缩的理想流体不可压缩的理想流体，在，在有势质量力的作用下作定常流动时，有势质量力的作用下作定常流动时，处于同一流线上的所有流体质点，其处于同一流线上的所有流体质点，其积分函数值积分函数值 均相同。均相同。对于不同流线上的流体质点来说，其对于不同流线上的流体质点来
44、说，其积分函数值一般不等。积分函数值一般不等。如图在同一流线上任取两点如图在同一流线上任取两点a、b，有，有 质量力只有重力的情况质量力只有重力的情况 代入代入 有有 对于同一流线上的任意两点，有对于同一流线上的任意两点，有 对单位重量流体对单位重量流体通常称为不可压缩无粘性通常称为不可压缩无粘性流动的伯努利方程。流动的伯努利方程。微元微元流束适用，又称流束适用，又称不可压缩不可压缩无粘性流体微元流束的伯无粘性流体微元流束的伯努利方程努利方程。流体静力学基流体静力学基本方程是其特例本方程是其特例3.6 粘性流体运动的微分方程及伯努利方程粘性流体运动的微分方程及伯努利方程3.6.1 粘性流体运动
45、的微分方程粘性流体运动的微分方程 l对于实际流体，除受表面压力、质量力外，还受切应力的作用对于实际流体，除受表面压力、质量力外，还受切应力的作用l纳维纳维斯托克斯方程（斯托克斯方程（N-S方程）方程）与理想流体的欧拉运动微分方程相比，与理想流体的欧拉运动微分方程相比，N-S方程增加了粘性项方程增加了粘性项 ，表示表示单位质量粘性流体所受的切向应力单位质量粘性流体所受的切向应力。3.6.2 粘性流体运动的伯努利方程粘性流体运动的伯努利方程 l积分条件：有势质量力、定常流动、不可压缩积分条件：有势质量力、定常流动、不可压缩lN-S方程可变为方程可变为 单位质量粘性流体所受切向应力在相应轴的投影。单
46、位质量粘性流体所受切向应力在相应轴的投影。上式各乘上式各乘dx、dy、dz后后相加相加，得，得 上式第二项为切向应力在流线微元长度上式第二项为切向应力在流线微元长度dl上所作的功，为负功。上所作的功，为负功。wR为阻力功为阻力功 沿流线积分，得沿流线积分，得 表明在有势质量力作用下，粘性流体定常流动时，函数值沿流线不变。表明在有势质量力作用下，粘性流体定常流动时，函数值沿流线不变。在同一流线上任取在同一流线上任取1、2两点，有两点，有 若质量力只有重力若质量力只有重力，取垂直向上为，取垂直向上为z轴，有轴，有粘性流体定粘性流体定常流动常流动微分微分方程的伯努方程的伯努利积分利积分 表示单位质量
47、粘性流体沿流线从点表示单位质量粘性流体沿流线从点1到点到点2的过程中内摩擦力的过程中内摩擦力所作功的增量。所作功的增量。令令hl表示单位重量粘性流体沿流线从点表示单位重量粘性流体沿流线从点1到点到点2的路程上所接受的摩阻功。的路程上所接受的摩阻功。表明单位重量粘性流体在沿流线运动时，其有关值（即与表明单位重量粘性流体在沿流线运动时，其有关值（即与z、p、u有关的有关的函数值）的总和是沿流向而逐渐减少的。函数值）的总和是沿流向而逐渐减少的。可推广到微元流束，得到粘性流体微元流束伯努利方程可推广到微元流束，得到粘性流体微元流束伯努利方程。粘性流体运动粘性流体运动的伯努利方程的伯努利方程上述方程对于
48、理想流体和实际流体均适用。上述方程对于理想流体和实际流体均适用。不可压缩流体不可压缩流体三维流三维流动的连续性方程，适动的连续性方程，适于于定常流和非定常流，定常流和非定常流，体积守恒体积守恒定常流动定常流动流体流体的连的连续性方程续性方程 可压缩流体三维流动可压缩流体三维流动的欧拉连续性方程。的欧拉连续性方程。表达任何可能存在的表达任何可能存在的流体运动所必须满足流体运动所必须满足的连续性条件，即质的连续性条件，即质量守恒条件量守恒条件课前复习课前复习不可压缩流体定不可压缩流体定常流动常流动微元流束微元流束的连续性方程。的连续性方程。物理意义：物理意义：在同在同一时间间隔内流一时间间隔内流过
49、流束上任一过过流束上任一过流断面的流量均流断面的流量均相等相等可压缩流体定常可压缩流体定常流动流动微元流束的微元流束的连续性方程。连续性方程。总流的连续性方程，总流的连续性方程，说明说明可压可压缩流体做定常流动缩流体做定常流动时，总流的时，总流的质量流量保持不变质量流量保持不变不可压缩流体定不可压缩流体定常流动常流动总流的连总流的连续性方程续性方程物理意义：物理意义：总流的体积流量保总流的体积流量保持不变持不变；各过水断面平均流速；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比。与过水断面面积成反比。若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用。若沿程有流量流入或流出，总流的连续性方程仍然适用。流
50、量的汇入和流出流量的汇入和流出理想流体的运动微分方程，又称欧拉运理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程动微分方程(1755)，表明理想流体所受表明理想流体所受外力与运动加速度之间的关系外力与运动加速度之间的关系，对可压对可压缩性和不可压缩性流体都适用缩性和不可压缩性流体都适用欧拉平衡微分方程是它的特例欧拉平衡微分方程是它的特例位变加速度：位变加速度：流体流体质点因位移引起的质点因位移引起的速度分量的变化率速度分量的变化率时变加速度：时变加速度：流流体质点速度分量体质点速度分量随时间的变化率随时间的变化率l无粘性流体运动微分方程在特定条件下的积分，称为伯努利积分。无粘性流体运动微分方程在特