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1、第二章第二章 MATLAB的数值运算的数值运算 MATLAB具有强大的数值运算能力，它是基于矩阵的具有强大的数值运算能力，它是基于矩阵的运算工具。运算工具。2.1 基本语法结构基本语法结构nMATLAB语言的所有运算都是基于语言的所有运算都是基于矩阵矩阵运算来完成的运算来完成的n所有变量都定义为所有变量都定义为矩阵矩阵n所有的运算都是关于所有的运算都是关于矩阵矩阵的运算。的运算。n对于传统的标量运算，在对于传统的标量运算，在MATLAB中单独定义了点运算。中单独定义了点运算。2.1.1变量与赋值语句变量与赋值语句（1）变量名称：字母）变量名称：字母+数字，以字母开头，长度最大为数字，以字母开头
2、，长度最大为63个个字母，区分大小写字母，区分大小写（2）变量性质：全为矩阵，）变量性质：全为矩阵，size()函数。函数。2.1 基本语法结构基本语法结构 A=1 2;3 4;5 6;size(A)ans=3 2 矩阵用矩阵用“”作为标识符，作为标识符，1*1矩阵可省略矩阵可省略“”。矩。矩阵的阵的行元素之间用空格或行元素之间用空格或“，”分隔，各行之间用分隔，各行之间用“；”分隔。分隔。如：如：A=1 2;3 4;5 6%或或A=1,2;3,4;5,6 A=1 2 3 4 5 62.1 基本语法结构基本语法结构（3）变量赋值）变量赋值 常数赋值：如上例中矩阵常数赋值：如上例中矩阵A的赋值，
3、的赋值，x=9;字符串赋值：字符串赋值：f1=This is a string;表达式赋值：表达式赋值：f2=exp(-2*x)*sin(x/5);(4)变量查询变量查询 (A)变量值的查询：直接键入变量名变量值的查询：直接键入变量名 （B）变量信息：）变量信息：who,whos命令命令 whos A Name Size Bytes Class A 3x2 48 double arrayGrand total is 6 elements using 48 bytes2.1 基本语法结构基本语法结构2.1.2 函数语句函数语句 MATLAB中除赋值语句外的其他语句中除赋值语句外的其他语句a=1
4、2 3;b=4；5；6;%赋值语句赋值语句c=a*b%乘运算乘运算x=0.9;y=sin(x);2.1.3 结构变量结构变量1.结构变量的创建 1）直接创建patient.name=hello；patient.bill=50；patient.home=jinan；patientpatient=name:hello bill:50 home:jinanpatient(2).name=web；patient(2).bill=89；patient(2).home=uk；2）利用结构函数创建）利用结构函数创建S=STRUCT(field1,VALUES1,field2,VALUES2,.)s=stru
5、ct(type,big,little,color,red,x,3 4)数据的显示格式数据的显示格式2.1.4 变量精度变量精度nMATLAB中一律使用双精度数中一律使用双精度数n可用可用format命令设置数据的显示格式命令设置数据的显示格式nformat只是影响结果的显示，不影响计算与存储。只是影响结果的显示，不影响计算与存储。format(short)：短格式（短格式（5位定点数）位定点数）format long：长格式（长格式（15位定点数位定点数 ）format short e：短格式短格式e方式方式format long e：长格式长格式e方式方式 format bank：2位十进制
6、位十进制 99.12（银行货币形式）（银行货币形式）format hex：十六进制格式十六进制格式2.1.5 永久变量永久变量matlab中预定义的一些特殊的量。中预定义的一些特殊的量。i,j 虚数单位虚数单位 Realmin 最小的正浮点数，最小的正浮点数，pi 圆周率圆周率 Realmax 最大的浮点数，最大的浮点数，eps 浮点运算的相对精度浮点运算的相对精度 Inf 无穷大无穷大 NaN not a number，不定值，不定值1/0Warning:Divide by zero.ans=Inf0/0Warning:Divide by zero.ans=NaN2.2 矩阵运算矩阵运算2.
7、2.1 矩阵变量赋值方法矩阵变量赋值方法1.直接赋值直接赋值 a=1 1+2i;2+i exp(1)a=1.0000 1.0000+2.0000i 2.0000+1.0000i 2.7183 2.增量赋值增量赋值格式：格式：x=初值：增值：终值初值：增值：终值 x=1:0.1:1.2x=1.0000 1.1000 1.2000增量缺省时默认为增量缺省时默认为12.2.1 矩阵变量赋值方法矩阵变量赋值方法3.初等矩阵赋值初等矩阵赋值zeros(m,n)m*n全全0矩阵矩阵ones(m,n)m*n全全1矩阵矩阵eyes(m,n)m*n单位矩阵单位矩阵rand(m,n)m*n随机矩阵，随机矩阵，01
8、之间均匀分布之间均匀分布randn(m,n)m*n随机矩阵，正态分布，期望值随机矩阵，正态分布，期望值0rand(3,4)ans=0.9218 0.4057 0.4103 0.3529 0.7382 0.9355 0.8936 0.8132 0.1763 0.9169 0.0579 0.00992.2.1 矩阵变量赋值方法矩阵变量赋值方法例例2.9 已知控制系统的已知控制系统的3个特征根，构造系统的伴随矩阵。个特征根，构造系统的伴随矩阵。sysroot=-1 2 3;%3个特征根个特征根a=poly(sysroot);%得到特征方程的系数向量得到特征方程的系数向量b=a(4),a(3),a(2
9、);comp=zeros(2,1),eye(2);-b;comp=%控制系统的伴随矩阵为控制系统的伴随矩阵为 0 1 0%|0 1|0 0 1%|:.|-6 -11 -6%|0 .1|%|-a(n)a(n-1)-a(2)|2.2.2 矩阵常规运算矩阵常规运算矩阵的常规运算应符合矩阵维数的要求，其常规运算符有：矩阵的常规运算应符合矩阵维数的要求，其常规运算符有：+；-；*；.*；;.;/;./a；inv(a)矩阵翻转矩阵翻转fliplr,flipud,rot90关于除法关于除法左除左除“”:相当于相当于Ax=B的解，的解，x=A-1B。右除右除“/”：相当于：相当于xA=B的解，的解，x=BA-
10、1 a=1 2;3 4 a=1 2;3 4 b=2 3;b=2 3;c=a/b c=a/bc=c=0.6154 0.6154 1.3846 1.3846 2.2.3 矩阵特征运算矩阵特征运算特征值函数特征值函数 eig()奇异值函数奇异值函数 svd（）（）范数函数范数函数 norm（）（）秩函数秩函数 rank迹函数：矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。迹函数：矩阵所有对角线上元素的和称为矩阵的迹。trace（）（）条件数函数：判断矩阵的条件数函数：判断矩阵的“病态病态”程度。程度。cond（）（）矩阵的行列式运算函数矩阵的行列式运算函数 det（）（）例：计算矩阵的特征值与奇异值例：计算
11、矩阵的特征值与奇异值 a=1 2;3 4 eig(a)ans=-0.3723 5.3723 svd(a)ans=5.4650 0.36602.2.4 矩阵分解运算矩阵分解运算1.奇异值分解奇异值分解:对任意矩阵对任意矩阵A，存在酉阵，存在酉阵U、V，使得，使得U*S*V=A,其中其中S=diag(s1,s2,sp),si非负，且非负，且 称称si为矩阵为矩阵A的第的第i个奇异值个奇异值 U,S,V=svd(X)其中其中XUSVa=1;1;U,S,V=svd(a)U=-0.7071 -0.7071 -0.7071 0.7071S=1.4142 0V=-12.2.4 矩阵分解运算矩阵分解运算2.L
12、U分解分解 L,U=lu(A)又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵又称三角分解，目的是分解成一个下三角阵L和和一个上三角阵一个上三角阵U的乘积，即的乘积，即ALU a=1 2 3;2 4 1;4 6 7;l,u=lu(a)l=0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0u=4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.50002.2.4 矩阵分解运算矩阵分解运算3.QR分解分解 Q,R=qr(A)做矩阵的正交三角形分解做矩阵的正交三角形分解将矩阵A做正交化 分 解，使 得Q*R=A，其中Q为正交矩阵（
13、其范数为1，指令norm(Q)=1)，R为对角化的上三角矩阵。a=1 1 1;2-1-1;2-4 5;q,r=qr(a)q=-0.3333 -0.6667 -0.6667 -0.6667 -0.3333 0.6667 -0.6667 0.6667 -0.3333r=-3 3 -3 0 -3 3 0 0 -32.3 基本数学函数基本数学函数MATLAB的基本数学函数十分丰富，包括的基本数学函数十分丰富，包括：n三角函数：三角函数：sin,sinh(双曲正弦），双曲正弦），asin(反正弦），反正弦），asinh,cos,cosh,acos,acosh，atan2(四象限反正切）四象限反正切）n指
14、数函数：指数函数：exp,log,log10,sqrt(平方根）平方根）n复数函数：复数函数：abs,angle,congj(共轭复数），共轭复数），image,realn数值数值运算运算：fix（向向0取整），取整），floor(向负无穷取整），向负无穷取整），ceil(向正无穷取整），向正无穷取整），round(向最近整数圆整）向最近整数圆整）rem(求余），求余），sign(根据符号取值）根据符号取值）n矩阵函数：矩阵函数：expm,logm,例：例：sin(2)ans=0.9093 log(8)ans=2.07942.4 点运算点运算a.b a，b两数组必须有相同的行和列两数组相应元素
15、两数组必须有相同的行和列两数组相应元素相乘。相乘。a./b 都是都是a的元素被的元素被b的对应元素除的对应元素除数组乘方数组乘方(.)元素对元素的幂，例：元素对元素的幂，例：a=1 2 3;b=4 5 6;z=a.2z=1.00 4.00 9.00z=a.bz=1.00 32.00 729.002.5 逻辑关系运算符逻辑关系运算符=等于等于eq =不等于不等于ne 大于大于gt =大于等于大于等于ge&逻辑与逻辑与and|逻辑或逻辑或 or 逻辑非逻辑非nota=1:3;4:6;7:9;x=5;y=ones(3)*5;xa=x b=0 1 0;1 0 1;0 0 1;a=1:3;4:6;7:9
16、a=1 2 3 4 5 6 7 8 9 ab=a&bab=0 1 0 1 0 1 0 0 1 nb=bnb=1 0 1 0 1 0 1 1 02.5 逻辑关系运算符逻辑关系运算符逻辑关系函数逻辑关系函数any向量的任意元素不为向量的任意元素不为0则返回真则返回真all向量的所有元素不为向量的所有元素不为0则返回真则返回真isempty判断空矩阵判断空矩阵isequal判断相等矩阵判断相等矩阵isnumeric判断数值矩阵判断数值矩阵islogical 判断逻辑数组判断逻辑数组logical转换数值为逻辑型转换数值为逻辑型isnan判断不定数判断不定数isinf判断无穷大元素判断无穷大元素isf
17、inite判断有限大元素判断有限大元素find寻找非零元素坐标寻找非零元素坐标2.5 逻辑关系运算符逻辑关系运算符a=magic(5);a2=all(a3)a2=1 1 0 0 0a11=any(a(:,1)10)a11=1a22=any(a10)a22=1 1 1 1 1a=17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9matlab语言把多项式表达成一个行向量，语言把多项式表达成一个行向量，该向量中的元素是按多项式降幂排列的。该向量中的元素是按多项式降幂排列的。f(x)=anxn+an-1xn-1+a0 可用
18、行向量可用行向量 p=an an-1 a1+a0表示表示poly 产生特征多项式系数向量产生特征多项式系数向量特征多项式一定是特征多项式一定是n+1维的维的特征多项式第一个元素一定是特征多项式第一个元素一定是12.6 多相式运算多相式运算例例:a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00 p是多项式是多项式p(x)=x3-6x2-72x-27的的matlab描述方法，我们可用：描述方法，我们可用：p1=poly2str(p,x)函数文件，显示函数文件，显示数学多项式的形式数学多项式的形式p1=x3-6 x2-72 x-272.6
19、 多相式运算多相式运算2.6 多相式运算多相式运算2.roots 求多项式的根求多项式的根a=1 2 3;4 5 6;7 8 0;p=poly(a)p=1.00 -6.00 -72.00 -27.00r=roots(p)r=12.12 -5.73 显然显然 r是矩阵是矩阵a的特征值的特征值 -0.39用用poly令其返回多项式形式令其返回多项式形式p2=poly(r)p2=1.00 -6.00 -72.00 -27.00matlab规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列规定多项式系数向量用行向量表示，一组根用列向量表示。向量表示。2.6 多相式运算多相式运算3.conv,convs多项式乘
20、运算多项式乘运算4.deconv多项式除运算多项式除运算5.polyder函数多项式的微分函数多项式的微分2.7、代数方程组求解、代数方程组求解matlab中有两种除运算：左除和右除。中有两种除运算：左除和右除。对于方程对于方程ax+b，a 为为anm矩阵，有三种情矩阵，有三种情况：况：(n为方程个数，为方程个数，m为未知数个数为未知数个数）当当n=m时，此方程成为时，此方程成为“恰定恰定”方程方程 当当nm时，此方程成为时，此方程成为“超定超定”方程方程 当当nm时，此方程成为时，此方程成为“欠定欠定”方程方程 matlab定义的除运算可以很方便地解上定义的除运算可以很方便地解上述三种方程述
21、三种方程1.恰定方程组的解恰定方程组的解方程方程ax=b(a为非奇异为非奇异)x=a-1 b 矩阵逆矩阵逆两种解两种解:x=inv(a)*b 采用求逆运算解方程采用求逆运算解方程 x=ab 采用左除运算解方程采用左除运算解方程 方程方程ax=ba=1 2;2 3;b=8;13;x=inv(a)*b x=ab x=x=2.00 2.00 3.00 3.00 =a x =b例:x1+2x2=8 2x1+3x2=132.超定方程组的解超定方程组的解方程方程 ax=b,m n=5;d=1 1.2 5;y,x,t=step(n,d)ym=max(y)ym=1.4166 tm=spline(y,t,ym)
22、tm=1.44352.8.2 相关分析相关分析主要有两个函数：主要有两个函数：cov()和和corrcoef()1.协方差矩阵函数协方差矩阵函数cov()Cov(X)计算计算Cov(X)=E(X-EX)T(X-EX)Cov(X,Y)计算两个向量计算两个向量X Y的协方差的协方差2.相关矩阵系数相关矩阵系数P=corrcoef(X)计算相关矩阵计算相关矩阵P=corrcoef(X,Y)计算两个向量计算两个向量X Y的相关系数的相关系数插值的定义插值的定义是对某些集合给定的数据点之间函数的是对某些集合给定的数据点之间函数的估值方法。估值方法。当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非当不能很
23、快地求出所需中间点的函数时，插值是一个非常有价值的工具。常有价值的工具。Matlab提供了一维、二维、提供了一维、二维、三次样条等许多插值选择三次样条等许多插值选择2.9 函数插值运算函数插值运算table1 table2 interp1 interp2 spline 插值函数插值函数Table1和和table2已基本被已基本被interp1和和interp2代替代替2.9 函数插值运算函数插值运算1.一维插值函数一维插值函数interp1调用格式：调用格式：YI=interp1(x,y,XI,method)X、y是已知的基准数据向量对，且是已知的基准数据向量对，且x必须单调排列，必须单调排列
24、，XI为插为插值点坐标值向量，值点坐标值向量，method为插值算法，默认为线性插值。为插值算法，默认为线性插值。x=0:2*pi/10:2*pi;y=sin(x);xi=0:2*pi/180:2*pi;yi=interp1(x,y,xi);yii=sin(xi);stem(x,y);hold on plot(xi,yi)plot(xi,yii,r)2.9 函数插值运算函数插值运算2.二维插值函数二维插值函数interp2调用格式：调用格式：ZI=interp1(x,y,z,XI,YI,method)X、y、z是已知的基准数据，是已知的基准数据，XI、YI自变量对组，自变量对组，method为
25、插值算法，默认为线性插值。为插值算法，默认为线性插值。3.三次样条函数插值三次样条函数插值Yy=spline(x,y,xx)根据样点数据（根据样点数据（x,y），求），求xx对应的三对应的三次样条插值次样条插值yy。例：例：x=0:2*pi/360:2*pi;y=sin(x).*cos(x);xi=0:2*pi/45:2*pi;yi=spline(x,y,xi);plot(x,y)plot(xi,yi,r)2.9 函数插值运算函数插值运算因求因求f（x）的极大值等价于求）的极大值等价于求-f（x）的极小值，故）的极小值，故MATLAB中只有处理极小值的指令中只有处理极小值的指令X=fminbn
26、d(fun,x1,x2)1.一元函数的极小值点一元函数的极小值点2.多元函数的极小值点多元函数的极小值点X=fminsearch(fun,x0)单纯形法单纯形法X=fminunc(fun,x0)拟牛顿法拟牛顿法X0是一个向量，表示极值点位置的初始猜测是一个向量，表示极值点位置的初始猜测例例1：f(x)=x2+3x+2在在-5 5区间的最小值区间的最小值 f=fminbnd(x2+3*x+2,-5,5)f=-1.50002.10 函数优化（函数极值点）函数优化（函数极值点）function f=myfun01(x)f=x2+3*x+2;s=fminsearch(myfun01,-5)s=-1.5
27、000f=inline(x2+3*x+2);a=fminsearch(f,-5)a=-1.5000例例2：f(x)=100(y-x2)2+(1-x)2在在x=-1.2,y=1的最小值的最小值function f=xun(x)f=100*(x(2)-x(1).2).2+(1-x(1).2;X0=-1.2,1;x=fminsearch(xun,x0)x=1.0000 1.00002.10 函数优化（函数极值点）函数优化（函数极值点）2.11 数值运算数值运算2.11.1 数值积分数值积分常用一元函数求闭区间积分运算的函数如下：常用一元函数求闭区间积分运算的函数如下：Quad 采用自适应采用自适应s
28、impson法计算积分，精度较高，较常用法计算积分，精度较高，较常用Quadl 采用自适应采用自适应lobatto法计算积分，精度高，最常用法计算积分，精度高，最常用Trapz 采用梯形法求定积分，速度快，精度差采用梯形法求定积分，速度快，精度差Cumsum 等宽矩形法求一个区间上的积分曲线，精度差，一般不用等宽矩形法求一个区间上的积分曲线，精度差，一般不用调用格式：调用格式：Quad（l）（）（fun，a，b，）%fun可为字符串或可为字符串或m函数函数例：求例：求 fun=exp(-x.*x);quad(fun,0,1)ans=0.7468 quadl(fun,0,1)ans=0.7468
29、quad(exp(-x.*x),0,1)ans=0.7468 F=inline(exp(-x.*x);quad(F,0,1)ans=0.7468 quad(myfun01,0,1)ans=0.7468 x=1 2 3 4 5;diff(x)ans=1 1 1 1x=1 2 3 4 5;2 5 4 7 6;0 2 3 4 8;diff(x)ans=1 3 1 3 1 -2 -3 -1 -3 22.11 数值运算数值运算2.11.2 微分方程数值求解（初值常微分方程）微分方程数值求解（初值常微分方程）Ode23 采用低阶算法采用低阶算法 ode45 采用中阶算法采用中阶算法计算步骤计算步骤：（1）
30、列出微分方程和相应的初始条件）列出微分方程和相应的初始条件（2）运用变量替换，把高阶方程化为一阶微分方程）运用变量替换，把高阶方程化为一阶微分方程（3）定义描述微分方程的）定义描述微分方程的m文件文件（4）利用）利用ode函数解方程。函数解方程。例：求解微分方程例：求解微分方程解：解：（1）降阶）降阶2.11.2 微分方程数值求解微分方程数值求解(2)定义定义m函数函数function xs=nonel(t,x)xs=zeros(2,1);xs(1)=x(2);xs(2)=-2*x(1)-x(1)2-0.5*x(2);（3）求解）求解 t0=0;tf=20;x0=0 1;tspn=t0 tf;
31、t,x=ode23(nonel,tspn,x0);plot(t,x)2.11 数值运算数值运算2.11.3 非线性方程组数值求解非线性方程组数值求解FSOLVE(FUN,X0)使用最小二乘法求解非线性方程组，其中使用最小二乘法求解非线性方程组，其中FUN为定义的方程组，为定义的方程组，X0为初值向量或初值矩阵。为初值向量或初值矩阵。例：求解非线性方程组例：求解非线性方程组初值为初值为x(0)=Y(0)=z(0)=1先定义方程组的先定义方程组的m函数函数equ.m：function xs=equ(xi)x=xi(1);y=xi(2);z=xi(3);xs=zeros(3,1);xs(1)=sin(x)+y2+log(z)-7;xs(2)=3*x+2y-z3+1;xs(3)=x+y+z-5;x0=1 1 1;xyz=fsolve(equ,x0)xyz=0.5991 2.3959 2.0050