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1、一阶(谓词)逻辑n量词n谓词、函数n个体词n个体域n全总个体域:世界上的万事万物n特性谓词:表示所关注的对象的性质2023/1/141一阶逻辑苏格拉底三段论n重新符号化：,F(),x,an设：F(x)：x是人。G(x)：x是要死的。a：苏格拉底。n前提：x(F(x)G(x)，F(a)结论：G(a)凡人都是要死的。苏格拉底是人。所以，苏格拉底是要死的。2023/1/142一阶逻辑注意：n在论域不同时，命题符号化的形式也不同n若未给出论域，则以全总个体域为论域n论域确定后，使用全称量词与存在量词符号化形式不同n多个量词同时出现时，不能随意颠倒次序 xy(xy)xy(xy)2023/1/143一阶逻
2、辑谓词演算的形式系统n字母表n公式n公理n推理规则形式语言形式推理2023/1/144一阶逻辑一阶语言与一阶逻辑n一阶语言是用于一阶逻辑的形式语言n一阶逻辑是建立在一阶语言上的逻辑体系2023/1/145一阶逻辑一阶语言n谓词演算形式系统语言项（合式）公式非逻辑符号逻辑符号2023/1/146一阶逻辑非逻辑符号n个体常元:a,b,c,a1,b1,c1,n函数符号:f,g,h,f1,g1,h1,n谓词符号:F,G,H,F1,G1,H1,n把函数和谓词中的变元直接写到符号后的括号中,如F(x,y,x),g(x,y)等 n非逻辑符号集合常记为L2023/1/147一阶逻辑逻辑符号n个体变元:x,y,
3、z,x1,y1,z1,n量词符号:,n联结词符号:,n括号与逗号:(,),，2023/1/148一阶逻辑字母表n个体常元:a,b,c,a1,b1,c1,n函数符号:f,g,h,f1,g1,h1,n谓词符号:F,G,H,F1,G1,H1,n个体变元:x,y,z,x1,y1,z1,n量词符号:,n联结词符号:,n括号与逗号:(,),，2023/1/149一阶逻辑L生成的一阶语言n个体常元:a,b,c,a1,b1,c1,n函数符号:f,g,h,f1,g1,h1,n谓词符号:F,G,H,F1,G1,H1,n非逻辑符号并不一定都出现n一阶语言随着非逻辑符号的不同而不同，称为由非逻辑符号集合L生成的一阶语
4、言。2023/1/1410一阶逻辑L生成的一阶语言举例n如：非逻辑符号n个体常元:0n函数符号:+nL1=0,+n如：非逻辑符号n个体常元:0，1n函数符号:+,*nL2=0,1,+,*2023/1/1411一阶逻辑L生成的一阶语言说明n非逻辑符号与所描述的特定对象有关。n逻辑符号是逻辑系统中的符号。n一阶逻辑研究一阶语言的一般性质，而不是针对某个特定的一阶语言。对一个具体的应用而言，L通常是不言自明的，由使用的全部非逻辑符号组成。2023/1/1412一阶逻辑一阶(first order)逻辑的合式公式n项n原子公式n合式公式2023/1/1413一阶逻辑项(term)n个体常项和个体变项是
5、项n若(x1,x2,xn)是n元函数,t1,t2,tn是项,则(t1,t2,tn)是项n所有的项都是有限次地应用上述规则形成的n例如:a,x,f(a),g(a,x),g(x,f(a)2023/1/1414一阶逻辑原子公式(atomic formula)n若R(x1,x2,xn)是n元谓词,t1,t2,tn是项,则R(t1,t2,tn)是原子公式n例如:F(a),G(a,y),F(f(a),G(x,g(a,y)2023/1/1415一阶逻辑合式公式(well-formed formula)n原子公式是合式公式n若A是合式公式，则(A)是合式公式n若A,B是合式公式，则(AB),(AB),(AB)
6、,(AB)也是合式公式n若A是合式公式，则xA,xA也是合式公式n只有有限次地应用上述规则形成的符号串才是合式公式2023/1/1416一阶逻辑合式公式（举例）n x(F(x)y(G(y)H(x,y)n F(f(a,a),b)n F(x,y)n约定：省略多余括号n最外层n优先级递减：,;,2023/1/1417一阶逻辑合式公式中的变项n量词辖域:在xA,xA中,A是量词的辖域.例如:x(F(x)y(G(y)H(x,y)n指导变项:紧跟在量词后面的个体变项.例如:x(F(x)y(G(y)H(x,y)n约束出现:在辖域中与指导变项同名的变项.例如:x(F(x)y(G(y)H(x,y)n自由出现:既
7、非指导变项又非约束出现.例如:y(G(y)H(x,y)2023/1/1418一阶逻辑合式公式中的变项(举例)nH(x,y)xF(x)y(G(y)H(x,y)nx 与 y 是指导变项 n x与y是约束出现n x与 y是自由出现n注：同一变元在同一公式中可能既有约束出现又有自由出现2023/1/1419一阶逻辑闭式(closed form)n闭式:无自由出现的变项n一般来说,闭式表示的是命题,例如 nF(a)nxF(x)nF(x)ny(G(y)H(x,y)后两个不是闭式2023/1/1420一阶逻辑赋值(解释interpret)n对一个合式公式的赋值包括给出n个体域n谓词n函数n个体常项的具体含义
8、2023/1/1421一阶逻辑赋值(举例)nF(f(a,a),b)n赋值1：个体域是全体自然数;a:2;b:4;f(x,y)=x+y;F(x,y):x=y 原公式赋值成:“2+2=4”。n赋值2：个体域是全体实数;a:3;b:5;f(x,y)=x-y;F(x,y):xy 原公式赋值成:“3-35”。2023/1/1422一阶逻辑赋值是否存在一种公式在任何赋值下都取相同的真值呢？2023/1/1423一阶逻辑一阶逻辑永真式(tautology)n永真式:在各种赋值下取值均为真(逻辑有效式)n命题逻辑永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式)n永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)n命题逻辑永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式)n可满足式：非永假式2023/1/1424一阶逻辑代换实例n在含命题变项p1,p2,pn的命题公式中,每个命题变项代换成一阶逻辑公式所得到的式子,称为原来公式的代换实例.n例：F(x)G(y)xF(x)G(y)2023/1/1425一阶逻辑一阶逻辑公式分类n例：xF(x)xF(x)nxF(x)(G(y)xF(x)nxF(x)yG(y)n(xF(x)yG(y)yG(y)2023/1/1426一阶逻辑习题nP66 10,11,12,152023/1/1427一阶逻辑