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1、第十章第十章 谓词逻辑谓词逻辑第一节 谓词逻辑概述一、命题逻辑与谓词逻辑二、个体词与谓词三、量词一、命题逻辑与谓词逻辑l 通过前面关于命题逻辑的学习，我们知道命题逻辑是关于联结词的推理理论。在命题逻辑中，简单命题被当做基本单位来讨论，简单命题分为：主项、谓项、联项、量项，对其内部结构不再分析。如， 如果某甲作案，那么他一定有作案动机，如果某甲作案，那么他一定有作案动机， 某甲没有作案动机，某甲没有作案动机， 所以，某甲没作案。所以，某甲没作案。 这个推理的根据就是关于“如果，那么”的推导规则。这种关于联结词联结词的推理理论，就是命题逻辑。l 而谓词逻辑和命题逻辑不一样，在谓词逻辑中，简单命题不
2、是被当作基本单位来讨论，而是要讨论其内部结构，以此作为出发点展开推演。例如， 所有的作案者都有作案动机，所有的作案者都有作案动机， 某甲没有作案动机，某甲没有作案动机， 所以，某甲不是作案者。所以，某甲不是作案者。 这个推理的前提和结论都是简单命题，推理的根据主要涉及量词。这种关于量词量词的推理理论，现代逻辑称为谓词逻辑。 谓词逻辑是命题逻辑的发展。与命题逻辑不同，它把简单命题加以分析，区别出哪些是个体词，哪些是谓词，哪些是量词，抽象出它们的形式，然后研究这些命题形式的逻辑性质和关系，找出有效推理的形式和规律。考察和研究这一部分的逻辑理论，就构成了谓谓词逻辑。词逻辑。二、个体词与谓词二、个体词
3、与谓词l 1.个体词、谓词的涵义个体词、谓词的涵义l 在谓词逻辑中，命题被分解为个体词、谓词和量词（以及联结词）这些更小的逻辑单位。l 那么，简单命题从内容上不外乎两类：一类表达一类表达事物具有或不具有某种性质；一类表达事物与事事物具有或不具有某种性质；一类表达事物与事物之间具有或不具有某种关系。物之间具有或不具有某种关系。例如，l （1 1）我是学生。）我是学生。l 表达“我”这个人具有“学生”这一性质。l （2 2）王五不是李四的朋友。）王五不是李四的朋友。l 指出名叫“王五”和“李四”的两个人之间没有“朋友”这种关系。 由此可见，命题至少可分为两部分：一是指称事物的那部分，如“我”、“王
4、五”、“李四”；二是指称性质或关系的那部分，如“是学生”、“是的朋友”。 应当指出的是，这里所谓的事物是极其广泛的，指客观存在的个体，包括有形的自然实体（如某个人）和无形的抽象客体（如某个自然数）。这些广泛的一个事物统称为个体个体。 性质和关系则是依附个体、说明个体的，如“是红的”、“大于”等等。性质和关系统称为属性。属性。 表示个体的语词表示个体的语词叫个体词。个体词。在自然语言中，个体词一般是名词。如“马克思”、“北京”、“世界上最高的山”等。 表示属性的语词表示属性的语词叫谓词。谓词。在自然语言中，谓词通常是联结词加形容词或名词组成词组，或者就是动词或动词词组。如“是光荣的”、“是导体”
5、、“大于”、“支持”等。l 2. “2. “. .元谓词元谓词”的表述的表述l 谓词是用于说明个体词的。谓词是用于说明个体词的。l 说明一个个体词的谓词是一元谓词，如“是光荣的”、“是导体”；l 说明两个个体词的谓词是二元谓词，如“是的朋友”、“大于”等；l 说明三个个体词的谓词是三元谓词，如“在和之间”、“在和之后”等；l 依次类推，说明n个个体词的谓词是n元谓词。l 3.3.个体词、谓词的符号化个体词、谓词的符号化l 对于一个简单命题而言，至少可将其分解为两部分：个体词、谓词。那么，如何将个体词和谓词用符号化来表示呢？l 我们总是在一定范围内讨论个体的性质、个体之间的关系。表示个体词的符号
6、一般由个体变元和个体常项。l 个体变元表示一定范围内的不确定个体，记为小写的：个体变元表示一定范围内的不确定个体，记为小写的： x,y,z,x,y,z,;x;x1 1,x ,x2 2,x ,x3 3, ,; ;l 个体常项表示一定范围内确定的个体，记为小写的：个体常项表示一定范围内确定的个体，记为小写的： a,b,c,a,b,c,; ; 个体变元的变化范围即变域，逻辑上一般称为论域论域或个体域个体域，记为D D。个体词就是指称D中个体的语词。l 表示性质或关系的符号是谓词符号，记为大写的：l D,E,F,G,H,I,。l 谓词符号和个体词符号结合后形成的公式，可以刻画形式简单的语句。其中，与个
7、体变元结合后， 一元谓词形成的公式可记为：Dx,Ex,Fx,; 二元谓词形成的公式可记为：Dxy,Exy,Fxy,;或者，xDy,xEy,xFy,; n元谓词形成的公式可记为：Dx1x2x3.xn, Ex1x2x3.xn ， Fx1x2x3.xn，。因此，命题一旦被分解为个体词和谓词后，对于原来只能用命题变元表示的简单命题，现在可以用较小的逻辑单位更精确地符号化了。比如，如果用a表示专有名称“张三”，用D表示一元谓词“会死”。那么命题：张三会死。可表示为张三会死。可表示为DaDa。读时，先读个体符号词，后读谓词符号。如果用F表示二元谓词“是的朋友”，那么：FxyFxy表示表示x x是是y y的
8、朋友；的朋友；FxyFxy表示表示x x不是不是y y的朋友。的朋友。 对于命题逻辑中的个联结词： 、 、仍在原来的意义上使用。三、量词三、量词l 1.量词的涵义量词的涵义l 前面讲到可将命题分为个体词和谓词。但是，仅仅包含个体词和谓词的表达式也不全部都是具有真假的简单命题。l 如，语句语句FxFx断定断定“x x是紫色的是紫色的”，但由于x是指称不确定个体的个体变元，因而Fx没有真假，不是命题，是没有真假的命题函数，即从个体到真值的函数。这种语句，有时称为开语句。l 那么，如何使得Fx这样的表达式有真假呢？可采取两种方法。l 第一，用个体常项代替个体变元。第一，用个体常项代替个体变元。如，令
9、a表示“这朵玫瑰花”，那么Fa就表示语句“这朵玫瑰花是紫色的”。这种语句称为闭语句。闭语句是有真假的命题。l 第二，对个体变元加以量化。第二，对个体变元加以量化。例如，在论域D中对Fx进一步断定：对于所有的x来说，Fx成立；或者断定：至少存在着一个x，Fx成立。l 也就是断定：所有的个体是紫色的；或者断定：至少有一个是紫色的。这样的断定就是命题，它们有真假。l 在量化过程中，我们使用了量词这类对谓词逻辑来讲非常重要的语词。因此，需要把命题划分为个体词、谓词、量词。l 量词就是表示论域D中个体词数量的语词。量词分为两种：一种是全称量词，如“每一个”、“所有”、“凡”等，它们指称论域D中个体的全部
10、；另一种是存在量词，如“存在”、“有些”、“有”等，它们指称论域D中个体至少有一个存在。l 在传统逻辑中，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题。在现代逻辑中，全称量词用全称量词用“”和个体变元表示，如和个体变元表示，如“所有所有x”x”或或“任何任何x”x”均记为均记为“x ”x ”。l 存在量词用存在量词用“？”和个体变元表示，如和个体变元表示，如“有有x”x”、“存在存在x”x”、“至少有一个至少有一个x”x”，均记为，均记为“？x”x”。l “x”和“？x”都是符号化量词，即逻辑的量词，它们的意义是确定的，都是逻辑常项。l 2.2.直言命题的符号化形式直言命题的符号
11、化形式l AEIO四种直言命题，均可以通过谓词逻辑将其符号化。例如，（1 1）凡事物都是发展的。）凡事物都是发展的。l 如果用x表示（1）的个体词，用D表示谓词“是发展的”，那么（1）可表示为：xDx。l 读成：“对所有x而言，x都是发展的。”l （2）凡自然数都大于零。l 如果不限制论域，那么这个命题的翻译比较复杂，它不能写成：x（x都大于零）。因为其是说：“对于所有的x，x都大于零”。由于对论域没加限制，所以个体变元可以泛指宇宙中的任何个体。这样其意指宇宙中所有个体均大于零，这和（2）的含义不符。l 因此，全称肯定命题应译成蕴含式：l xx（x x是自然数是自然数x x大于零）大于零）l
12、如果用N和E分别表示“是自然数”、“大于零”。那么例（2）的完全符号化为：l xx（NxNxExEx）l （3）所有大学生都不是儿童。l 如果用S表示“是大学生”，用C表示“是儿童”，则全称否定命题可以符号化为：l xx（SxSxCxCx）l 读成读成：“对所有x而言，如果x是大学生，那么x不是儿童”。l 可见，全称命题一般应译为蕴含式。l （4）有的大学生是儿童。l 可符号化为：？：？x x（SxSxCxCx）l 读作读作：“存在x，x 是大学生而且x是儿童”。l （5）有人不是中国人。l 如果用H表示“是人”，用C表示“是中国人”，则可将命题（5）符号化为：l ？x x（HxHxCx x）
13、l 可见，特称命题一般译为合取式。那么，那么，SAPSAP、SEPSEP、SIPSIP、SOPSOP四种命题形式，如果四种命题形式，如果s s不是个体词，那么可不是个体词，那么可取谓词语言（取谓词语言（S S，P P），其中），其中s s、p p都是一元谓词，则可都是一元谓词，则可以得到这些命题在谓词逻辑中对应的符号化形式。以得到这些命题在谓词逻辑中对应的符号化形式。（见板书）如果（见板书）如果s s是个体词，此时没有形如是个体词，此时没有形如SIPSIP、SOPSOP的命题，而的命题，而SAPSAP、SEPSEP在谓词逻辑中的形式。（见板书）在谓词逻辑中的形式。（见板书）l 3.3.专有名词
14、和二元谓词的符号化专有名词和二元谓词的符号化l （6 6）小李没有同任何人吵架。）小李没有同任何人吵架。l 如果用a表示专有名词“小李”，用D表示二元谓词“同吵架”，用M表示“是人”，那么例（6）可译为：l x（MxDax）l （7 7）有些大一学生认识小李。）有些大一学生认识小李。l 如果用F表示“是大一学生”，用R表示“认识”，则例（7）可译为：l ？X（FxRxa）l 注意：以上对命题符号化时，由于没有限制论域（个体域、变域），论域就包括整个宇宙中所有个体（事物）的集合，即全域全域。但我们通常在一定的范围内讨论问题，所以个体变元的论域被限制在一个特定范围内，量词也就只表示这个特定范围内个
15、体数量的语词。l 例如，如果我们以自然数作为个体域D，那么x这个量词就只表示“所有的自然数”，这样例（2）就可以符号化为： xEx。l 如果以大学生为个体论域D，？x就表示“至少一个大学生”。这样例（4）就可符号化为：？xCx。l 对一个命题可以采用限制或不限制论域这两种方式把它形式化。l （8 8）有的学生做对所有试题。）有的学生做对所有试题。l 如果用S表示“是学生”，T表示“是试题”，R表示“做对”，那么如果不限制论域，例（8）可以形式化为：l ？X X（SxySxy（TyTyRxyRxy）l 如果把个体变元x的变域限制为X=学生，把个体变元y飞变域限制为Y=试题。那么，例（8）可形式化为：l ？xyRxyxyRxy