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1、第第第第7 7 7 7章章章章 组合变形组合变形组合变形组合变形7-1 7-1 概概 述述一、组合变形一、组合变形 构件在外载作用下，常常同时产生两种或两种以上的基构件在外载作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，当本变形，当几种基本变形所对应的应力或变形属同一量级时几种基本变形所对应的应力或变形属同一量级时，在杆件设计计算时均需要同时考虑，这类构件的变形称为在杆件设计计算时均需要同时考虑，这类构件的变形称为组组合变形合变形。实例实例水坝水坝qPg g h二、组合变形下强度计算的方法二、组合变形下强度计算的方法1.1.计算步骤计算步骤(1)(1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作
2、用条件的外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的 静力等效力系。静力等效力系。(2)(2)内力分析：作出各基本变形的内力图，确定其危险截面内力分析：作出各基本变形的内力图，确定其危险截面 位置及其内力分量。位置及其内力分量。(3)(3)应力分析：根据基本变形下横截面上的应力变化规律，确应力分析：根据基本变形下横截面上的应力变化规律，确 定危险点的位置及其应力分量，并按叠加原理定危险点的位置及其应力分量，并按叠加原理 作出危险点的应力状态。作出危险点的应力状态。(4)(4)强度分析：按危险点的应力状态及材料的破坏可能性，选强度分析：按危险点的应力状态及材料的破坏可能性，选 取适当的强度
3、理论建立强度条件，进行强度计算。取适当的强度理论建立强度条件，进行强度计算。叠加原理：叠加原理：杆件在几个载荷同时作用下所产生的效果，就等杆件在几个载荷同时作用下所产生的效果，就等 于每个载荷单独作用下所产生的效果的总和。于每个载荷单独作用下所产生的效果的总和。2.2.计算原理及限制条件计算原理及限制条件(1)(1)圣维南原理：以静力等效力系替代构件原有的载荷。因此，圣维南原理：以静力等效力系替代构件原有的载荷。因此，要求构件为细长杆，且所求应力的截面稍离外要求构件为细长杆，且所求应力的截面稍离外 力作用点处。力作用点处。(2)(2)叠加原理：按各基本变形计算后进行叠加，要求构件材料叠加原理：
4、按各基本变形计算后进行叠加，要求构件材料 符合胡克定律，且变形很小。符合胡克定律，且变形很小。三、组合变形下的变形计算三、组合变形下的变形计算(1)(1)外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的外力分析：将载荷简化成符合各基本变形外力作用条件的 静力等效力系。静力等效力系。(2)(2)变形变形(位移位移)计算：按各基本变形计算相应的变形（截面位计算：按各基本变形计算相应的变形（截面位 移）。对于不同变形性质的位移相互独移）。对于不同变形性质的位移相互独 立，对于同一变形性质的位移进行叠加。立，对于同一变形性质的位移进行叠加。注：注：平面弯曲时平面弯曲时,剪力引起的最大剪应力值一般远小
5、于正应力剪力引起的最大剪应力值一般远小于正应力 值，也远小于扭矩引起的最大剪应力值，值，也远小于扭矩引起的最大剪应力值，在组合变形的应在组合变形的应 力计算中，由剪力引起的剪应力一般都忽略不计力计算中，由剪力引起的剪应力一般都忽略不计 。7-2 7-2 斜弯曲斜弯曲一、斜弯曲：一、斜弯曲：横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或横向力通过梁横截面的弯心，不与形心主惯性轴重合或 平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。平行，而是斜交，梁的挠曲线不再与荷载纵平面重合或平行。例：下列图中给出几种常见截面，其中图（例：下列图中给出几种常见截面，其中图（b b）、（）、（c c）、
6、）、（d d）、（）、（f f）是斜弯曲；图（是斜弯曲；图（a a）是平面弯曲；图（是平面弯曲；图（e e）是斜弯曲与扭转的组合变形。是斜弯曲与扭转的组合变形。二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法 现以下图所示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力现以下图所示矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时应力和变形的计算。和变形的计算。五、强度条件五、强度条件 危险点（危险点（K K1 1 或或K K2 2）处于二向应力状态，其主应力为：处于二向应力状态，其主应力为：第三或第四强度理论，强度条件为：第三或第四强度理论，强度条件为：将将s s和和t t代入上式，并注意到圆截面的代入上式，并注意到圆截面的Wt
7、=2W，可得到用危可得到用危险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件：险截面上的弯矩和扭矩表示的强度条件：例例图示空心圆杆，内径图示空心圆杆，内径d=24mm，外径外径D=30mm，P1=600N，r1=200mm，r2=300mm，=100MPa，试用第三强试用第三强度理论校核此杆的强度。度理论校核此杆的强度。80P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx外力分析：外力分析：弯弯扭扭组组合合变变形形解：解：外力向形心简化并分解外力向形心简化并分解每个外力分量对应每个外力分量对应的内力方程和内力图的内力方程和内力图P2=406N解续解续内内力力分
8、分析析：危危险险面面内内力力为为：应力分析：应力分析：应力分析：应力分析：安安全全My(Nm)x7.05M Z (N m)X(Nm)Mzx71.2540.6M (N m)XMmaxM(Nm)71.3x41.2=T(Nm)x120+7-47-4拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 当构件同时承受轴向力与横向力时，将同时产生轴向当构件同时承受轴向力与横向力时，将同时产生轴向拉压和平面弯曲两种基本变形。拉压和平面弯曲两种基本变形。现以图（现以图（a a）示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形示矩形截面杆为例分析拉弯、压弯组合变形的强度计算。的强度计算。二、内力分析二、内力分析一、外力分析一、外力分析
9、三、应力分析三、应力分析三、正应力分布图三、正应力分布图 固定端右邻截面上的正应力分布如图所示。固定端右邻截面上的正应力分布如图所示。拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲：因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为：因为危险点处于单向应力状态，故其强度条件为：例：斜梁例：斜梁 对于工程中常见的斜梁如图（对于工程中常见的斜梁如图（a a），），亦可按上述方法分亦可按上述方法分析。图（析。图（a a）可看作图（可看作图（b b）和图（和图（c c）的组合，显然的组合，显然ACAC段段的变形为压弯组合变形，的变形为压弯组合变形，BCBC段的变形为拉弯组合变形。段的变形为拉弯组合变形。例题：例题：图（
10、图（a a）示某多层建筑的底层柱，截面为示某多层建筑的底层柱，截面为b3 3h=4003 3500mm2的矩形，柱高的矩形，柱高H=4200mm，试计算试计算柱横截面上的最大压应力，最大剪应力和最大拉应力。柱横截面上的最大压应力，最大剪应力和最大拉应力。解：解：1 1、内力计算、内力计算 ：画出：画出柱的轴力图、弯矩图和剪柱的轴力图、弯矩图和剪力图如图（力图如图（b b）、（）、（c c）、）、（d d）示。示。出现在任一横截面的中性轴上：出现在任一横截面的中性轴上：4 4、最大剪应力、最大剪应力在在B B截面左边缘处截面左边缘处 3 3、最大拉应力、最大拉应力2 2、最大压应力、最大压应力在
11、在 B B 截面右边缘处截面右边缘处解续解续7-57-5偏心拉伸（压缩）偏心拉伸（压缩）截面核心截面核心 当外力作用线与杆的轴线平行，但不重当外力作用线与杆的轴线平行，但不重合时，杆件的变形称为合时，杆件的变形称为偏心拉压偏心拉压。双向偏心压缩双向偏心压缩单向偏压缩单向偏压缩一、概念：一、概念：xPzy(yp,zp)xyzPMyxyPMyMzz二、应力分析二、应力分析：PMZMyxyzPMyMz在偏心拉压情况下，各横截面上的内力分量相同，在偏心拉压情况下，各横截面上的内力分量相同，应力情况也相同。故任一点应力情况也相同。故任一点K(y，z)处的应力为处的应力为或或三、强度计算三、强度计算从右图
12、可以看出，任一横截面上的角点从右图可以看出，任一横截面上的角点A和和C即即为危险点，为危险点，A和和C点的正应力分别是截面上的最点的正应力分别是截面上的最大拉大拉应力应力 和最大压应力和最大压应力 。xyPMyMzzAC因危险点因危险点A，C均处于均处于单向应力状态单向应力状态，故，故强度条件为：强度条件为：例：例：校核下图所示矩形截面松木短柱的强度。已知校核下图所示矩形截面松木短柱的强度。已知P1=50kN，e=ez=20mm，P2=5kN，材料许用应力材料许用应力解：解：固定端上邻截面为危险截面，固定端上邻截面为危险截面，其内力大小为：其内力大小为：由直接观察可知，点由直接观察可知，点A点
13、处有最大压点处有最大压应力，应力，C点处有最大拉应力点处有最大拉应力 ，又因，又因 所以应对这两个危险点所以应对这两个危险点的强度分别进行校核的强度分别进行校核 。在在A A点处：点处：在在C C点处：点处：所以松木短柱的强度足够。所以松木短柱的强度足够。例例：PP图示钢板受力图示钢板受力P=100kN，厚度厚度t=10mm。试求最大正应试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？则挖空宽度为多少？解：解：内力分析内力分析如图如图坐标如图，挖孔处的形心坐标如图，挖孔处的形心PPMN2010020yzyCP
14、PMN应力分析如图孔移至板中间时孔移至板中间时2010020yzyC四、中性轴位置四、中性轴位置 由式由式 =0=0 可得中性轴方程，即可得中性轴方程，即可见，可见，偏心拉压时，横截面上中性偏心拉压时，横截面上中性轴为一条不通过截面形心的直线轴为一条不通过截面形心的直线。用截距表示的用截距表示的中性轴方程为中性轴方程为设设 和和 分别为中性轴分别为中性轴在坐标轴上的截距，则由上式可在坐标轴上的截距，则由上式可得：得：四、中性轴位置四、中性轴位置上式表明：上式表明：ay 与与yP，az 与与 zP 总总是符号相反，所以是符号相反，所以中性轴中性轴n-n与与偏心外力作用点的投影点分别位偏心外力作用
15、点的投影点分别位于截面形心的相对两侧于截面形心的相对两侧，在周边，在周边上作平行于中性轴的切线，上作平行于中性轴的切线，切点切点A1和和A2是截面上两侧距中性轴是截面上两侧距中性轴最远的两点最远的两点，故为危险点。，故为危险点。将该两点的坐标代入将该两点的坐标代入 式式即可求得横截面上数值最大的拉、压应力。即可求得横截面上数值最大的拉、压应力。五、截面核心五、截面核心 在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工在一般情况下中性轴将截面分成拉伸和压缩两个区域。工程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗程上常用的砖石、混凝土、铸铁等脆性材料的抗压性能好而抗拉能力差，对于这些材
16、料制成的偏心受压杆，拉能力差，对于这些材料制成的偏心受压杆，应避免截面上出应避免截面上出现拉应力现拉应力。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的。为此，要对偏心距（即偏心力作用点到截面形心的距离）的大小加以限制。距离）的大小加以限制。1.1.截面核心：截面核心：使横截面上只产生同号应力使横截面上只产生同号应力(均为拉应力或均均为拉应力或均为压应力时为压应力时)的偏心轴向外力作用的区域。的偏心轴向外力作用的区域。当偏心外力作用在截面当偏心外力作用在截面形心周围一个小区域内，形心周围一个小区域内，而对应的中性轴与截面周而对应的中性轴与截面周边相切或位于截面之外时，边相切或位于截面之外时，整个
17、横截面上就只有压应整个横截面上就只有压应力而无拉应力力而无拉应力。2.2.截面核心的性质及其确定截面核心的性质及其确定(1)(1)性质：性质：是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺是截面的一种几何特征，它只与截面的形状、尺 寸有关，而与外力无关寸有关，而与外力无关。(2)(2)确定：确定：根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标根据中性轴方程知，截面上中性轴上的点的坐标(y(y0 0,z,z0 0)与偏心压力作用点的坐标与偏心压力作用点的坐标(y yP P,z,zP P)间有固定的对应关系。间有固定的对应关系。利用这个关系得：利用这个关系得：所有与截面相切的中性轴，其相应的偏心所有与截面
18、相切的中性轴，其相应的偏心压力作用点必然在围绕截面形心的一条闭合曲线上，该闭合压力作用点必然在围绕截面形心的一条闭合曲线上，该闭合曲线就是截面的核心边界曲线就是截面的核心边界，其包围区域就是，其包围区域就是截面核心截面核心。(3)(3)规律：规律：截面直线边界截面直线边界 核心边界上的一个角点；核心边界上的一个角点；截面角点边界截面角点边界 核心边界上的一条直线；核心边界上的一条直线；截面曲线边界截面曲线边界 核心边界上的一条曲线。核心边界上的一条曲线。例：例：求右图示矩形截面的截面核心。求右图示矩形截面的截面核心。解：取截面切线解：取截面切线 l1作为中性轴，其截距：作为中性轴，其截距：并注
19、意到：并注意到：故故此即相应的压力作用点此即相应的压力作用点1 1的坐标。的坐标。同理可得与中性轴同理可得与中性轴 l2、l3、l4 对应的偏心力作用点对应的偏心力作用点2、3、4的位置。但是通过角点的位置。但是通过角点 a 而与截面相切的中性轴有无穷多个，而与截面相切的中性轴有无穷多个，由此法计算不简便。由此法计算不简便。解续解续截面上中性轴上的点的坐标截面上中性轴上的点的坐标(y0,z0)与偏心压力作用点的坐与偏心压力作用点的坐标标(yP,zP)间有固定的对应关系。间有固定的对应关系。角点角点a的坐标为的坐标为(y0,z0)=(-h/2,-b/2)代入中性轴方程代入中性轴方程得得解续解续 此即过角点此即过角点a的所有直线作的所有直线作为中性轴时，相应的压力作用点为中性轴时，相应的压力作用点的轨迹，即：过同一点的若干中的轨迹，即：过同一点的若干中性轴，对应的压力作用点性轴，对应的压力作用点(yP,zP)位于一条直线上。因此，位于一条直线上。因此，过角点过角点a a与矩形相切的各中性轴，与矩形相切的各中性轴，对应的截面核心边界线为对应的截面核心边界线为1 1、4 4 点间一段直线。点间一段直线。最后连接最后连接1 1、2 2点，点，2 2、3 3点，点，3 3、4 4点，点，4 4、1 1点即可得截面核心。点即可得截面核心。本章结束！谢谢大家！