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1、材料力学第七章 弯曲变形本讲稿第一页，共四十六页 第七章第七章第七章第七章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形71 概述概述72 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程73 积分法计算弯曲变形积分法计算弯曲变形74 叠加法计算弯曲变形叠加法计算弯曲变形75 梁的刚度条件梁的刚度条件76 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法本讲稿第二页，共四十六页 71 概述概述工程中的弯曲变形工程中的弯曲变形本讲稿第三页，共四十六页xyxyPy=y(x)梁在平面弯曲时，其轴线弯梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的成一平面曲线，称为梁的挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线。梁横截面形心的竖向位移称为截面的梁横
2、截面形心的竖向位移称为截面的挠度挠度挠度挠度，用，用y 来表示。挠来表示。挠度以向下为正，向上为负。度以向下为正，向上为负。梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的梁横截面绕中性轴转过的角度称为截面的转角转角转角转角，用，用 来表示。来表示。转角以顺时针为正，逆时针为负。转角以顺时针为正，逆时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程和和转角方程转角方程转角方程转角方程。本讲稿第四页，共四十六页xyxyPy=y(x)梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，梁变形时，横截面始
3、终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：由高等数学可知：小变形下，小变形下，很小，很小，tg ，于是得于是得 这就是梁的变形，挠度与转角的关系。这就是梁的变形，挠度与转角的关系。本讲稿第五页，共四十六页72 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 挠曲线的曲率与弯矩间的关系为挠曲线的曲率与弯矩间的关系为 由高等数学可知，曲线的曲率为由高等数学可知，曲线的曲率为 小变形下，小变形下，很小，很小，于是得，于是得本讲稿第六页，共四十六页xyMMxyMM 这就是梁的这就是梁的挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一次可求，由此微分方程
4、积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。转角，再积分一次可求挠度。本讲稿第七页，共四十六页73 积分法计算弯曲变形积分法计算弯曲变形 为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为转角方程转角方程挠度方程挠度方程 解题关键：解题关键：正确建立梁的弯矩方程正确建立梁的弯矩方程M（x）。）。若梁的各段弯矩方程不若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立；同，需分段建立；本讲稿第八页，共四十六页 每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和变形连续条件来确定。和变形连续条件来确定。边界条件（支承条件）边界条件（支承
5、条件）固定端：固定端：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：铰支座（固定铰支座和可动铰支座）：变形连续条件变形连续条件在两段梁的交界面：在两段梁的交界面：=0，y=0。y=0。确定积分常数。确定积分常数。本讲稿第九页，共四十六页 解题步骤：解题步骤：建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x 轴水平向右，轴水平向右，y 轴竖直向下；轴竖直向下；将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；将弯矩方程代入挠曲线近似微分方程，并积分两次；根据边界条件和变形
6、连续条件确定积分常数；根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。定截面的转角和挠度。本讲稿第十页，共四十六页例例1 求图示悬臂梁求图示悬臂梁B 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。ABq解：解：EIxxyqBll-xFs(x)M(x)本讲稿第十一页，共四十六页ABqEIxxyl确定积分常数：确定积分常数：本讲稿第十二页，共四十六页ABqEIxxyl转角方程转角方程挠度方程挠度方程本讲稿第十三页，共四十六页例例2 求图示外伸梁求图示外伸梁B 截面的转角和截面的转角和C 截面的挠度。截
7、面的挠度。EIABCPx1x2xyYA=P/2解：解：l/2l本讲稿第十四页，共四十六页EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l本讲稿第十五页，共四十六页EIABCPx1x2xyYA=P/2l/2l本讲稿第十六页，共四十六页例例3 用积分法计算图示简支梁的用积分法计算图示简支梁的 A，B，yC。EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2解：解：本讲稿第十七页，共四十六页EIABCxxyYA=ql/2l/2l/2qFB=ql/2本讲稿第十八页，共四十六页例例4 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连
8、续条件是什么？形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x2xqqABCxxylEAa本讲稿第十九页，共四十六页例例5 用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2l本讲稿第二十页，共四十六页74 叠加法计算弯曲变形叠加法计算弯曲变形一、简单梁简单荷载下的变形一、简单梁简单荷载下的变形ABEIlABEIlABEIlmPq本讲稿第二十一页，共四十六页ABmABl/2ABEIEIEIql/2
9、Pl/2l/2l/2l/2CCC本讲稿第二十二页，共四十六页二、叠加法计算梁的变形二、叠加法计算梁的变形ABl/2EIl/2PCm=PlABEIl/2l/2CABl/2EIl/2PC=+m=Pl=+本讲稿第二十三页，共四十六页三、几种基本变化三、几种基本变化 悬臂梁悬臂梁荷载在內侧，求端部位移荷载在內侧，求端部位移abABPCEIyB本讲稿第二十四页，共四十六页荷载在外侧，求内侧位移荷载在外侧，求内侧位移abABPCEIyBABPCCabPM=PbFs=P本讲稿第二十五页，共四十六页 外伸梁外伸梁PABClaycyc1BaABlaPFs=PM=PaPBBCBCCBayc1P本讲稿第二十六页，共
10、四十六页例例6 求图示梁求图示梁B，C 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。AB C EI l/2l/2q解：解：AB C EI qAB C EI q+本讲稿第二十七页，共四十六页AB C EI l/2l/2qAB C EI qAB C EI q+本讲稿第二十八页，共四十六页AB C EI l/2l/2qAB C EI C qFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8l/2本讲稿第二十九页，共四十六页例例7 求图示梁求图示梁A 截面的转角和挠度。截面的转角和挠度。ABCDP=qlEIql/2l/2l/2ABCDP=qlEIql/2l/2l/2BFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8Aq解：
11、解：本讲稿第三十页，共四十六页例例8 求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=Pa解：解：C 本讲稿第三十一页，共四十六页AB C 2EI aaPEI AC 2EI aB C PFs=PFs=PaB PEI M=PaC 本讲稿第三十二页，共四十六页例例9 求图示外伸梁自由端的转角和挠度。求图示外伸梁自由端的转角和挠度。ABCll/2qP=ql/2ABll/2P=ql/2Fs=ql/2M=Pl2/4FsBC解：解：BCPqEIEI本讲稿第三十三页，共四十六页75 梁的刚度
12、条件梁的刚度条件一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足梁要正常工作，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件强度条件强度条件强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件刚度条件刚度条件刚度条件。土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等土建类工程，主要要求梁的最大挠度与跨长之比要小于或等于容许值，即于容许值，即本讲稿第三十四页，共四十六页 机械类工程，传动轴是装在轴承上，机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的
13、转角必须小于或等于容许值，即轴承处的转角必须小于或等于容许值，即二、提高梁的抗弯能力的主要措施二、提高梁的抗弯能力的主要措施 增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度EI 因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、如采用工字形、槽形、箱形等。槽形、箱形等。本讲稿第三十五页，共四十六页 减小梁的跨度减小梁的跨度 因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地因梁的变形与跨度的若干次幂成正比，减小跨度可有效地降低梁的变形。如改
14、变支座位置、增加支座等。降低梁的变形。如改变支座位置、增加支座等。ABEIqlABEIlq本讲稿第三十六页，共四十六页76 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定计算梁的内力、应力、变形，首先要求出梁的支座反力。静定梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数梁的全部支座反力均可用平衡方程求之，但超静定梁的支座反力数多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。多于平衡方程数，需通过变形条件增加补充方程方可求解。ABCEIPl/2l/2FAFBMA本讲稿第三十七页，共四十六页ACEIPl/2l/2FAMAFBB 多余约束
15、可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相多余约束可以选择，无论去掉哪个多余约束，最终结果相同。同。去掉多余约束支座去掉多余约束支座B，将支座将支座B 的反力视为荷载，静定梁的反力视为荷载，静定梁AB在在荷载荷载P、FB作用下，作用下，B 端挠度为零。端挠度为零。本讲稿第三十八页，共四十六页BCEIPl/2l/2YAFBMAAP3Pl/16Pl/4M 图图本讲稿第三十九页，共四十六页 上述解超静定梁的方法称为上述解超静定梁的方法称为变形比较法变形比较法变形比较法变形比较法。具体解题步骤如下：。具体解题步骤如下：去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；去掉多余约束，代之以相应的多余约束反力；根据
16、多余约束处的变形关系建立补充方程；根据多余约束处的变形关系建立补充方程；解补充方程求出多余约束反力；解补充方程求出多余约束反力；将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，将多余约束反力视为主动力，将原超静定梁视为静定梁，然后按静定梁求解其它问题。然后按静定梁求解其它问题。本讲稿第四十页，共四十六页例例10 解图示超静定梁，并画弯矩图。解图示超静定梁，并画弯矩图。AB2aCaaEIPABCEIPFC解：解：去掉可动支座去掉可动支座C，代之以反力代之以反力FC。ABPBCFCFCFC2aFC本讲稿第四十一页，共四十六页ABCEIPFC=3P/32M图图3Pa/16Pa/2 本讲稿第四十二页，共四十六页例例11 求图示各梁的固端弯矩。求图示各梁的固端弯矩。ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1BCF2F2解：解：将各梁从将各梁从C 处拆开，代以处拆开，代以相应的约束反力。相应的约束反力。本讲稿第四十三页，共四十六页ABCDPEIEIEIa2aPDACCF1F1BCF2F2本讲稿第四十四页，共四十六页例例12 求图示结构中拉杆求图示结构中拉杆BC 的轴力。的轴力。BCAEAqaEIlBAEIqNBC解：解：去掉去掉BC 杆，带之以轴力杆，带之以轴力FNBC。本讲稿第四十五页，共四十六页本讲稿第四十六页，共四十六页