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1、数堂顶部曲面面积数堂顶部曲面面积的计算方法的计算方法 n n本实验主要涉及微积分，通过实验将复习曲面面积的计算、重积分和Taylor展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法问问 题题n n某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩因年久中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰据失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30米考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际米考虑到
2、可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多用量将会比教堂顶部面积多1.5据此，国王的据此，国王的财政大臣拨出了可制造财政大臣拨出了可制造5750平方米有规定厚度金平方米有规定厚度金箔的黄金建筑商人哈桑略通数学，他计算了一箔的黄金建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余于是，他以较低的承包下，觉得黄金会有盈余于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程价得到了这项装饰工程n n但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴恰是其半立轴恰是30米，而半长轴和
3、半短轴分别是米，而半长轴和半短轴分别是30.6米和米和29.6米这一来哈桑犯了愁，他担心米这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余黄金是否还有盈余?甚至可能短缺最后的结甚至可能短缺最后的结果究竟如何呢果究竟如何呢?数数 学学 模模 型型n n取椭球面中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭球面的方程为其中其中R=30，a=30.6，b=29.6，其表面积为，其表面积为其中积分区域其中积分区域D为为通过计算可得到通过计算可得到代入后将得到一个非常复杂的式子，事实上将无法代入后将得到一个非常复杂的式子，事实上将无法得到初等函数形式的原函数表达式。得到初等函数形式的原函数表达式。数值积分数值积分
4、摄动方法摄动方法n n简单来说，摄动方法就是对解析式中的小参数简单来说，摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而得到近似值的一种方法。进行展开，从而得到近似值的一种方法。收敛性说明收敛性说明n n关于摄动方法，函数是关于小参数的展开而不关于摄动方法，函数是关于小参数的展开而不是自变量的展开，而且有时虽然其展开式不收是自变量的展开，而且有时虽然其展开式不收敛，但仍然可用其有限项作为近似函数敛，但仍然可用其有限项作为近似函数实验任务 n n用两种方法计算教堂顶部面积。用两种方法计算教堂顶部面积。n n复活节金蛋是椭球面，半轴长分别是复活节金蛋是椭球面，半轴长分别是8cm、5.2cm、5cm，厚度为，厚度为0.24cm，重量是，重量是1680g，问该蛋是否是用纯金制作，问该蛋是否是用纯金制作(金的密度是金的密度是19.2g/cm3)？n nMonte Carlo 积分法积分法